数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件优质学案

这是一份数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件优质学案，文件包含141《充分条件与必要条件》导学案教师版docx、141《充分条件与必要条件》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共8页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系
2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系（重点）
3.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习充分条件与必要条件
三．课堂导学
王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今.“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”.
问题 最后一句“攻破楼兰”与“返回家乡”是什么关系?
知识点一 命题
1.定义:用语言、符号或式子表达的,可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题.
2.分类:判断为 真 的语句是真命题;判断为 假 的语句是假命题.
3.结构形式:“若p,则q”形式的命题中, p 称为命题的条件, q 称为命题的结论.
提醒 (1)并非任何语句都是命题,只有能判断真假的陈述句才是命题;(2)命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断;(3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题.
知识点二 充分条件与必要条件
提醒 (1)一般地,如果p⇒q且q p,则称p是q的充分不必要条件;(2)如果p q且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件;(3)如果p q且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
1.若a∈R,则“a＝1”是“｜a｜＝1”的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.无法判断
解析:A 当a＝1时,｜a｜＝1成立,但｜a｜＝1时,a＝±1,所以a＝1不一定成立.所以“a＝1”是“｜a｜＝1”的充分条件.
2.“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.无法判断
D.既不充分也不必要条件
解析:B “四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”,反之,“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”,所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件.故选B.
3.用符号“⇒”与“ ”填空:
(1)x2＞1 x＞1;
(2)a,b都是偶数 a＋b是偶数.
解析:(1)命题“若x2＞1,则x＞1”是假命题,故x2＞1 x＞1.
(2)命题“若a,b都是偶数,则a＋b是偶数”是真命题,故a,b都是偶数⇒a＋b是偶数.
答案:(1) (2)⇒
四．典例分析、举一反三
题型一 充分条件的判断
【例1】 下列命题中,p是否是q的充分条件?
(1)p:a＋b＝0,q:a2＋b2＝0;
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形;
(3)p:x＝1,q:x2-4x＋3＝0;
(4)p:m＜-1,q:x2-x-m＝0无实根.
解 (1)∵a＝1,b＝-1时,a＋b＝0,
但a2＋b2＝2,∴a＋b＝0 a2＋b2＝0.
∴p不是q的充分条件.
(2)∵等腰梯形的对角线相等,
∴四边形的对角线相等 四边形是矩形.
∴p不是q的充分条件.
(3)当x＝1时,x2-4x＋3＝0,∴x＝1⇒x2-4x＋3＝0.
∴p是q的充分条件.
(4)由方程x2-x-m＝0无实根,
得Δ＝1＋4m＜0.即m＜-14.
∵m＜-1⇒m＜-14,即p⇒q.
∴p是q的充分条件.
练1-1. 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?
(1)若a∈Q,则a∈R;
(2)若a＜b,则ab＜1;
(3)在△ABC中,若A＞B,则｜BC｜＞｜AC｜.
解:(1)由于Q⫋R,所以p⇒q,
所以p是q的充分条件.
(2)由于a＜b,当b＜0时,ab＞1,
因此p q,所以p不是q的充分条件.
(3)由三角形中大角对大边可知,若A＞B,则｜BC｜＞｜AC｜.所以p⇒q,所以p是q的充分条件.
题型二 必要条件的判断
【例2】指出下列哪些命题中q是p的必要条件?
(1)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;
(2)p:A⊆B,q:A∩B＝A;
(3)p:a＞1,q:2a＞1.
解 (1)因为矩形的对角线相等,所以q是p的必要条件.
(2)因为p⇒q,所以q是p的必要条件.
(3)因为p⇒q,所以q是p的必要条件.
练2-1. (多选)下列命题是真命题的是( )
A.“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B.“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C.“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D.p:a＞b,q:ac＞bc,p是q的必要条件
解析:AC ∵x＞3⇒x＞2,∴A是真命题;∵x2＝4 x＝2,∴B是假命题;∵A∩B＝B⇒A∪B＝A,∴C是真命题;∵q p,∴p不是q的必要条件,D是假命题.
题型三 根据充分(必要)条件求参数
【例3】 已知集合P＝{x｜-2＜x＜4},Q＝{x｜3m-2≤x≤5m＋2,m∈R}.若P的充分条件为Q,求实数m的取值范围.
解 由已知,P的充分条件为Q,则Q是P的子集.
当3m-2＞5m＋2,即m＜-2时,Q＝⌀,满足题意;
当3m-2≤5m＋2,即m≥-2时,由题意得3m-2>-2,5m+2<4,解得0＜m＜25,
综上,m的取值范围是m｜m＜-2或0＜m＜25.
(变设问)本例条件不变,是否存在实数m使P的必要条件为Q?
解:由题意得,P是Q的子集,
则3m-2≤-2,5m+2≥4,方程组无解,所以m的值不存在.
练3-1. 已知P＝{x｜a-4＜x＜a＋4},Q＝{x｜1＜x＜3},若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是 .
解析:因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P,所以a-4≤1,a+4≥3,即a≤5,a≥-1,所以-1≤a≤5.
答案:-1≤a≤5
五、课堂小结
（1）若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
（2）若，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
（3）若，则是的充分必要条件，是的充分必要条件；
（4）若，则是的既不充分也不要条件，是的既不充分也不要条件；
六、当堂检测
1.若p:a∈(M∪N),q:a∈M,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.无法判断
解析:B 由a∈(M∪N) a∈M,但a∈M⇒a∈(M∪N),故p是q的必要不充分条件.
2.“x2＝2x”是“x＝0”的 条件,“x＝0”是“x2＝2x”的 条件(用“充分”“必要”填空).
解析:由于x＝0⇒x2＝2x,所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件,“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件.
答案:必要 充分
3.已知M＝{x｜a-1＜x＜a＋1},N＝{x｜-3＜x＜8},若N是M的必要条件,求实数a的取值范围.
解:因为N是M的必要条件,所以M⊆N.于是a-1≥-3,a+1≤8,从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为{a｜-2≤a≤7}.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1.
2.
学生签字 老师签字命题
真假
“若p,则q”是真命题
“若p,则q”是假命题
推出关系
p ⇒ q
p q
条件关系
p是q的 充分 条件;
q是p的 必要 条件
p不是q的 充分 条件;
q不是p的 必要 条件