2023-2024学年浙江省金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年浙江省金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,2)，b=(x,1−x)，若a//b，则x=( )
A. 2B. 13C. 3D. 23
2.下列四个命题中正确的是( )
A. 每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B. 所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
3.已知复数z=(1−2i)(1+i)，其中i是虚数单位，则z的虚部是( )
A. iB. −iC. −1D. 1
4.已知a，b为非零向量，且满足b⋅(a−b)=0，则a−2b在b上的投影向量为( )
A. bB. −bC. 2bD. −2b
5.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且(a+b)：(b+c)：(a+c)=12：13：15，则此三角形的最大角与最小角之和为( )
A. π3B. 2π3C. 3π4D. 5π6
6.已知平面直角坐标系下，△ABC的三个顶点坐标为：A(1,1)，B(−1,2)，C(3,5)，若△ABC斜二测画法下的直观图是△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为( )
A. 5 24B. 5 22C. 5 2D. 10 2
7.如图所示，在▱ABCD中，点E为线段AD上的中点，点F为线段CD上靠近点C的三等分点，BE，BF分别与AC交于R，T两点.则( )
A. FT=16AB−14ADB. BD=35BE+45BF
C. AB=3BR+4DTD. AD=3AB−4ER
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC上的中线、高线、角平分线长分别是ma，ha，la，则下列结论中错误的是( )
A. ma=12 2(b2+c2)−a2
B. la=2bccsA2b+c
C. ha= (b+c)2−a2⋅ a2−(b−c)22a
D. S△ABC= 2(a2+b2)c2+(a2−b2)2−c44
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z1，z2均不为0，复数z的共轭复数为z−，则( )
A. z1−z2−=z1−−z2−B. |z1+z2|=|z1|+|z2|
C. z1⋅z2−=z1−⋅z2−D. |z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若a=ccsB，则△ABC是直角三角形
B. 若a2+b2−c2>0，则△ABC是锐角三角形
C. 若acsA=bcsB，则△ABC是等腰三角形
D. 若acsA=bcsB=ccsC，则△ABC是等边三角形
11.已知a，b为非零向量，且满足|a|=2，|a−b|=1，则( )
A. a，b夹角的取值范围是[0,π6]B. |b|的取值范围是[1,3]
C. a⋅b的取值范围是[2,4]D. |a+b|的取值范围是[3,5]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知z=1+i(i是虚数单位)，则z4=______.
13.已知球O的体积为36π，则球O的表面积为______，球 O的内接正四面体的体积为______.
14.勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为2，点P为圆弧AB上的一点，且满足：S△ABP= 312，则PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1+2i.
(1)若复数z1是方程z2+a⋅z+b=0的一个复数根，求实数a，b的值；
(2)若复数z2满足z1z2=1−1z1，求|z2|.
16.(本小题15分)
如图所示，已知三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为1，BC⊥CC1，点P为线段B1C1上的动点.
(1)若点P恰为线段B1C1上靠近点C1的三等分点，求三棱锥P−A1BC和三棱柱ABC−A1B1C1的体积之比；
(2)求PA1+PC的最小值及此时B1P的值.
17.(本小题15分)
设向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|3a−b|=3.
(1)求|2a+3b|的值；
(2)已知2a+3b与λa−32b的夹角的余弦值为 1133，求λ的值.
18.(本小题17分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足b=2， 3bsinC+bcsC=a.
(1)求B；
(2)若D，E为线段BC上的两个动点，且满足∠DAE=60∘，S△ABC= 3，求S△ADE的取值范围.
19.(本小题17分)
对于平面向量ak=(xk,yk)(k=1,2,⋯)，定义“Fθ变换”：ak+1=Fθ(ak)=(xkcsθ−yksinθ,xksinθ+ykcsθ)，(00，所以csC>0，即角C为锐角，但是角A，角B不能确定是锐角，所以该三角形不一定是锐角三角形，所以B不正确；
C中，因为acsA=bcsB，由正弦定理可得sinAcsA=sinBcsB，
可得sin2A=sin2B，在三角形中，可得2A=2B或2A+2B=π，
所以A=B或A+B=π2，
所以该三角形为等腰三角形或直角三角形，所以C不正确；
D中，因为acsA=bcsB=ccsC，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC，
则sinAsinB=csAcsB，即sinAcsB−sinBcsA=0，可得sin(A−B)=0，在三角形中，可得A=B，
同理可得B=C，A=C，所以该三角形为等边三角形，所以D正确．
故选：AD.
A中，由正弦定理及三角形中角之间的关系，可得csC=0，即角C为直角，判断出A的真假；B中，由余弦定理判断出角C为锐角，不能判断出角A，B是否为锐角，进而判断出B的真假；C中，由正弦定理可得sin2A=sin2B，再在三角形中，可得A=B或A+B=π2，判断出三角形的形状，判断出C的真假；D中，由正弦定理及两角差的正弦公式，可得A=B=C，判断出D的真假．
本题考查三角形中角之间关系的应用及正弦定理的应用，两角和，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：设a，b的夹角为θ，由|a|=2，|a−b|=1，得a2−2a⋅b+b2=1，
所以4−4|b|csθ+|b|2=1，解得csθ=3+|b|24|b|=34|b|+|b|4≥2 34|b|×|b|4= 32，当且仅当34|b|=|b|4，即|b|= 3时取“=”，
所以 32≤csθ≤1，所以夹角θ的取值范围是[0,π6]，选项A正确；
由 32≤csθ≤1，得 32≤3+|b|24|b|≤1，等价于|b|2−4|b|+3≤0|b|2−2 3|b|+3≥0，
解得1≤|b|≤3，所以|b|的取值范围是[1,3]，选项B正确；
因为a⋅b=12(3+|b|2)，|b|2∈[1,9]，所以12(3+|b|2)∈[2,6]，
即a⋅b的取值范围是[2,6]，选项C错误；
(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=1+4a⋅b，
由a⋅b∈[2,6]，得1+4a⋅b∈[9,25]，所以|a+b|∈[3,5]，选项D正确．
故选：ABD.
选项A中，设a，b的夹角为θ，由题意求出csθ的取值范围，即可得出夹角θ的范围；
选项B中，由csθ的取值范围，列不等式求出|b|的取值范围；
选项C中，由|b|取值范围，求出a⋅b的取值范围；
选项D中，由a⋅b的取值范围，直接求出|a+b|的范围．
本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了夹角与模长的计算问题，是中档题．
12.【答案】−4
【解析】解：由z=1+i，得z4=(1+i)4=(2i)2=−4.
故答案为：−4.
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
13.【答案】36π8 3
【解析】解：设球的半径为R，则有43πR3=36π，
解得R3=27，即R=3，
所以球O的表面积为S=4πR2=4π×32=36π，
将正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，
正方体的对角线长就是球的直径，设正方体的棱长为a，对角线长为 3a，
则由 3a=2R=2×3=6，得a=2 3，
所以正四面体的体积为a3−4×16a3=13a3=8 3.
故答案为：36π；8 3.
根据球的体积公式求得半径R，再利用球的表面积公式即可得解；将正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出正方体的棱长即可求出正四面体的体积．
本题考查正四面体的外接球，体积的求法，考查计算能力，空间想象能力，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：如图，以C为原点建立平面直角坐标系，
因为弧AB在圆x2+y2=4上，设P(x0,y0)，则x02+y02=4，
设点P到直线AB的距离为d，
由S△ABP=12×|AB|×d=12×2×d= 312，可得d= 312，
由A(−1, 3)，B(−2,0)，kAB= 3，
可得直线AB的方程为：y= 3(x+2)= 3x+2 3，即 3x−y+2 3=0，
故点P到直线AB的距离d=| 3x0−y0+2 3|2= 312，
因为P在直线AB上方，所以y0> 3x0+2 3，
所以 3x0−y0+2 35，∴λ=6.
【解析】(1)利用平面向量数量积的运算即可求解；
(2)利用平面向量数量积和两向量的夹角公式即可求解．
本题考查了平面向量数量积和两向量的夹角计算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵ 3bsinC+bcsC=a，
∴ 3sinBsinC+sinBcsC=sinA=sin(B+C)=sinCcsB+csCsinB，
∴ 3sinBsinC=csBsinC，
又在△ABC中，sinC≠0，
∴ 3sinB=csB，∴tanB= 33，
∵B∈(0,π)，∴B=π6；
(2)由△ABC的面积为12acsinB=12ac⋅12= 3，可得ac=4 3，
∵b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−12=4，∴a2+c2=16，
a=2c=2 3或a=2 3c=2，
又∠BAC>∠DAE=60∘，得a=2 3，c=2，∠BAC=120∘，
设∠CAE=θ，其中0∘