2023-2024学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知(1+i)z=3−i，其中i为虚数单位，则|z|=( )
A. 5B. 5C. 2D. 2
2.已知向量a=(2,1),b=(x,−2)，若a//b，则a+b=( )
A. (−2,−1)B. (2,1)C. (3,−1)D. (−3,1)
3.在△ABC中，若A=60∘，BC=4 3，AC=4 2，则角B的大小为( )
A. 30∘B. 45∘C. 135∘D. 45∘或135∘
4.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为163π的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为( )
A. 32B. 3C. 2D. 6
5.在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且AE=3EC，则ED=( )
A. −12AB+14ACB. 12AB−23ACC. 12AB−14ACD. −12AB+23AC
6.已知α、β为锐角，且sinβ=35，cs(α+β)=−513，则sinα的值为( )
A. 6365B. 3365C. −4865D. 4865
7.把函数y=sin(2x+4π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值为( )
A. π6B. 2π3C. 5π6D. 5π12
8.如图，所有棱长都等于2 3的三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O上，球O的体积为( )
A. 27 3π
B. 28 21π3
C. 28 7π
D. 28 73π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z=21+ 3i，则( )
A. 复数z在复平面内对应的点在第三象限B. 复数z的实部为12
C. z−=1zD. 复数z2的虚部为 32
10.已知下列四个命题为真命题的是( )
A. 已知非零向量a，b，c，若a//b，b//c，则a//c
B. 若四边形ABCD中有AB=DC，则四边形ABCD为平行四边形
C. 已知e1=(1,−2)，e2=(−2,4)，e1，e2可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量a=(−1,1)，b=(3,1)，则b在a方向上的投影向量的模为 2
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若acsB=bcsA，则△ABC为一定是等腰三角形
C. asinA=b+csinB+sinC
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是______.
13.如图，在矩形ABCD中，AB= 2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB⋅AF= 2，则AE⋅BF的值是__________.
14.函数f(x)=12sinωx+ 32csωx在x∈[0,π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b，若|a|=2|b|=2，a⋅b=−1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|2a−b|；
(3)当λ为何值时，向量λa+b与向量a−3b互相垂直？
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3asinB+ 3bcsA=0.
(1)求角A的大小；
(2)若b=4，△ABC的面积S=2 3，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，BC//AD，BC=1，AD=3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点.设AB=a，AD=b.
(1)用a，b表示AC，AE；
(2)求∠BAE的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若将f(x)的图象向右平移π3个单位，再向上平移1个单位得到g(x)的图象，当x∈[−π6,π3]时，求g(x)的值域.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sinx⋅csx+ 3cs2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴；
(2)在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(A)=0且a=3，求b+c的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(1+i)z=3−i，
则z=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i，
故|z|= 12+(−2)2= 5.
故选：B.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵a=(2,1),b=(x,−2)，且a//b，
∴2×(−2)−x=0，解得x=−4，
故b=(−4,−2)，a+b=(−2,−1).
故选：A.
由向量平行易得2×(−2)−x=0，解之可得向量b的坐标，由向量的坐标运算可得答案．
本题考查向量的坐标运算以及向量平行的充要条件，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由正弦定理得sinB=AC⋅sinABC=4 2⋅sin60∘4 3= 22，
∴B=45∘或135∘
∵AC∴B=45∘，
故选B.
先根据正弦定理ACsinB=BCsinA将题中所给数值代入求出sinB的值，进而求出B，再由角B的范围确定最终答案．
本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．
4.【答案】C
【解析】解：因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为163π，
所以圆柱的高为163π2π×4=23，
则圆柱的体积为V=π×42×23=323π，
设球的半径为R，则43πR3=323π,R=2，
故选：C.
先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径．
本题考查圆柱和球的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：如图，
∵AE=3EC，∴EC=14AC，
∵D为BC边的中点，CD=12CB=12AB−12AC，
∴ED=EC+CD=14AC+12AB−12AC=12AB−14AC.
故选：C.
可画出图形，根据条件可得出EC=14AC,CD=12AB−12AC，然后代入ED=EC+CD进行向量的数乘运算即可．
本题考查了向量数乘、向量减法和加法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵α、β锐角，且sinβ=35，cs(α+β)=−513，
∴csβ= 1−sin2β=45，α+β为钝角，∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=1213，
则sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ=1213×45+513×35=6365，
故选：A.
由题意，利用同角三角函数的基本关系式，两角和与差的三角函数公式，计算求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：将函数f(x)=sin(2x+4π3)的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x−φ)+4π3]=sin(2x+4π3−2φ)关于y轴对称，
则4π3−2φ=kπ+π2，k∈z，即φ=5π12−kπ2，k∈z，
故φ的最小正值为：5π12.
故选：D.
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin(2x+4π3−2φ)，再根据所得图象关于y轴对称可得4π3−2φ=kπ+π2，k∈z，由此求得φ的最小正值．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，
设O1，O2分别是等边三角形A1B1C1和ABC的中心，
则点O是线段O1O2的中点，即外接球的球心，
又C1O1= 33A1B1= 33×2 3=2，C1O= 22+( 3)2= 7，
∴球O的体积V=43πr3=43π×( 7)3=28 73π.
故选：D.
首先判断几何体外接球的球心位置，再根据几何关系求外接球的半径，即可计算球的体积．
本题考查三棱柱的外接球问题，球的体积公式，属基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：z=21+ 3i−2(1− 3i)(1+ 3i)(1− 3i)=12− 32i，
故复数z在复平面内对应的点为(12,− 32)，在第四象限，故A选项错误；
易知复数z的实部为12，故B选项正确；
因为z⋅z−=|z|2=1，所以z−=1z，故C选项正确；
因为z2=(12− 32i)2=−12− 32i，
所以复数z2的虚部为− 32，故D选项错误．
故选：BC.
求解复数z，根据复数z的性质，依次判断各项正误．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，对于非零向量a，b，c，由a//b，b//c，且b为非零向量，可知a//c，即选项A正确；
对于选项B，四边形ABCD中有AB=DC，所以AB//CD且AB=CD，由平行四边形判定定理可得，四边形ABCD为平行四边形，即选项B正确；
对于选项C，e1=(1,−2)，e2=(−2,4)，则e2=−2e1，即e2//e1，则e2，e1不能作为平面向量的一组基底，即选项C错误；
对于选项D，a=(−1,1)，b=(3,1)，则a⋅b=−2，|a|= 2，则向量b在向量a上的投影为a⋅b|a|=− 2，
所以b在向量a上方向上的投影向量的模为 2，即选项D正确，
故选：ABD.
由平面向量基本定理结合投影向量的运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量基本定理、相等向量的定义、共线向量的定义及一个向量在另一个向量上的投影向量，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：选项A，若A>B，则a>b，
由正弦定理知，asinA=bsinB，所以sinA>sinB，即选项A正确；
选项B，由正弦定理及acsB=bcsA知，sinAcsA=sinBcsB，
所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，
所以△ABC为等腰或直角三角形，即选项B错误；
选项C，由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC=2R，
所以b=2RsinB，c=2RsinC，
左边=asinA=2R，右边=b+csinB+sinC=2R(sinB+sinC)sinB+sinC=2R=左边，即选项C正确；
选项D，若△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，所以A>π2−B，
因为A，B∈(0,π2)，所以π2−B∈(−π2,0)，
又函数y=sinx在(−π2,π2)上单调递增，所以sinA>sin(π2−B)=csB，即选项D正确．
故选：ACD.
选项A，结合“大角对大边”与正弦定理，即可判断；
选项B，利用正弦定理化边为角，再由二倍角公式，即可得解；
选项C，直接利用正弦定理化简即可；
选项D，结合A+B>π2，正弦函数的单调性与诱导公式，可判断．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，二倍角公式，正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】28
【解析】解：根据题意，直观图A′B′C′D′为梯形，其面积S′=(2+5)×4sin45∘2=7 2，
则原图的面积S=2 2S′=28.
故答案为：28.
根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图面积的关系分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
13.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积的运算，属中档题．
根据所给的图形，结合向量加法法则，把所给向量转化成共线向量或垂直向量的数量积，从而得到结果．
【解答】解：∵AF=AD+DF，
AB⋅AF=AB⋅(AD+DF)
=AB⋅AD+AB⋅DF=AB⋅DF= 2|DF|= 2，
∴|DF|=1，|CF|= 2−1，
∴AE⋅BF=(AB+BE)⋅(BC+CF)
=AB⋅CF+BE⋅BC=− 2( 2−1)+1×2=−2+ 2+2= 2，
故答案为： 2.
14.【答案】[53,83)
【解析】解：因为f(x)=12sinωx+ 32csωx，
化简得f(x)=sin(ωx+π3)，
又x∈[0,π]，得ωx+π3∈[π3,ωπ+π3](ω>0)，
因f(x)在[0,π]上恰有2个零点，
所以2π≤ωπ+π3<3π，解得53≤ω<83.
故答案为：[53,83).
先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
15.【答案】解：(1)∵|a|=2|b|=2，a⋅b=−1，
∴csθ=a⋅b|a||b|=−12，
∵0∘≤θ≤180∘，
∴θ=120∘.
(2)|2a−b|= (2a−b)2= 4a2+b2−4a⋅b= 16+1+4= 21.
(3)∵向量λa+b与向量a−3b互相垂直，
∴(λa+b)⋅(a−3b)=0，即λa2−3b2+(1−3λ)a⋅b=0，即4λ−3−(1−3λ)=0，解得λ=47.
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
(2)根据已知条件，将|2a−b|平方再开根号，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为3asinB+ 3bcsA=0，
由正弦定理得3sinAsinB+ 3sinBcsA=0，
因为sinB≠0，
所以3sinA+ 3csA=0，即tanA=− 33，
因为A∈(0,π)，
所以A=5π6.
(2)S=12bcsinA=c=2 3，
所以c=2 3，
由余弦定理得a= b2+c2−2bccsA= 16+12+2×4×2 3× 32=2 13，
所以△ABC的周长为4+2 13+2 3.
【解析】(1)利用正弦定理即可求解；
(2)根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵BC//AD，BC=1，AD=3，AB=a，AD=b.
∴BC=13b，AC=AB+BC=a+13b，
∵E为CD的中点，
∴AE=12(AC+AD)=12a+23b.
(2)根据题意=2π3，|a|=1，|b|=3，
∴a⋅b=1×3×(−12)=−32，
AB⋅AE=a⋅(12a+23b)=12a2+23a⋅b=12+23×(−32)=−12，
|AE|= 14a2+49b2+23a⋅b= 14+4−1= 132，
∴cs∠BAE=AB⋅AE|AB|⋅|AE|=− 1313.
【解析】(1)根据向量的线性运算求解即可．
(2)利用向量的数量积运算可求出a⋅b，进而可求出AB⋅AE，|AE|的值，从而根据向量夹角的余弦公式即可求解．
本题考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由图象可知：A+B=1−A+B=−3，解得：A=2，B=−1，
又由于T2=7π12−π12=π2，可得：T=π，所以ω=2πT=2，
由图象知f(π12)=1，sin(2×π12+φ)=1，又因为−π3<π6+φ<2π3，
所以2×π12+φ=π2，φ=π3.所以f(x)=2sin(2x+π3)−1.
(2)由2kx−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z.
∴函数的单调递增区间是[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z.
(3)依题可得g(x)=f(x−π3)+1=2sin(2x−π3)，因为x∈[−π6,π3]，
则2x−π3∈[−2π3,π3]，所以sin(2x−π3)∈[−1, 32]，
即g(x)的值域为[−2, 3].
【解析】(1)利用函数图象列出A+B=1−A+B=−3，解得A，B，结合函数的周期，求解ω，利用函数的最大值求解φ，然后得到函数的解析式；
(2)利用正弦函数的单调性求解函数的单调区间即可；
(3)求出g(x)=f(x−π3)+1=2sin(2x−π3)，通过x的范围，求解相位的范围，结合正弦函数的值域求解即可．
本题主要考查三角函数的图像变换，考查正弦函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=2sinx⋅csx+ 3cs2x=2sin(2x+π3)，
所以函数的最小正周期T=2π2=π.
函数的对称轴方程满足：2x+π3=kπ+π2，k∈Z，得x=kπ2+π12，k∈Z.
所以函数的对称轴为直线x=kπ2+π12，k∈Z.
(2)由f(A)=2sin(2A+π3)=0及A∈(0,π2)，故A=π3，
由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC=3 32=2 3，
所以b=2 3sinB，c=2 3sinC，
由A=π3，△ABC为锐角三角形可得0可得π6所以b+c=2 3(sinB+sinC)=2 3[sinC+sin(A+C)]=2 3(sinC+12sinC+ 32csC)=2 3⋅ 3sin(C+π6)=6sin(C+π6)，
因为π6所以 32所以b+c=6sin(C+π6)∈(3 3,6].
【解析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数周期，利用正弦函数的对称性求解函数的对称轴即可；
(2)求出A=π3，结合正弦定理转化求解b+c的范围即可．
本题考查辅助角公式的应用及锐角三角形的性质的应用，正弦定理的应用，属于中档题．