人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式精品课后作业题

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1.不等式(x-2y)＋1x-2y≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y
解析:B 因为不等式成立的前提条件是x-2y和1x-2y均为正数,所以x-2y＞0,即x＞2y,故选B.
2.下列各式中最小值为2的是( )
A.y＝t＋1t(t＞1) B.y＝t＋1t C.y＝t＋1t-1(t＞1) D.y＝t＋1t＋1(t＞0)
解析:B A中,y＝t＋1t≥2,当且仅当t＝1时等号成立,又t＞1,所以等号取不到;B中,y＝t＋1t≥2,当且仅当t＝1时等号成立;C中,y＝t＋1t-1＝t-1＋1t-1＋1≥3;D中,y＝t＋1t＋1≥3.
3.已知x＞0,y＞0,若xy＝3,则x＋y的最小值为( )
A.3 B.2 C.23 D.1
解析:C 由于x＞0,y＞0,xy＝3,所以x＋y≥2xy＝23,当且仅当x＝y＝3时等号成立.所以x＋y的最小值为23.故选C.
4.若a,b都是正数,则1+ba1+4ab的最小值为( )
A.5 B.7 C.9 D.13
解析:C 因为a,b都是正数,所以1+ba1+4ab＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9(当且仅当b＝2a时等号成立).故选C.
5.(多选)已知实数a,b,下列不等式一定成立的是( )
A.a＋b2≥ab B.a＋1a≥2 C.｜ab＋ba｜≥2 D.2(a2＋b2)≥(a＋b)2
解析:CD 当a＜0,b＜0时,a＋b2≥ab不成立,故A不符合题意;当a＜0时,a＋1a≥2不成立,故B不符合题意;｜ab＋ba｜＝｜ba｜＋｜ab｜≥2,当且仅当a＝±b时,等号成立,故C符合题意;∵2(a2＋b2)-(a＋b)2＝a2＋b2-2ab＝(a-b)2≥0,∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2,故D符合题意.故选C、D.
6.(多选)若a,b∈R,且ab＞0,则下列不等式恒成立的是( )
A.a＋4a≥4 B.a2＋16a2≥8 C.1a＋1b＞2ab D.ba＋ab≥2
解析:BD 对于A、C,当a＜0,b＜0时,不等式不成立,故A、C不符合题意;对于B,a2＋16a2≥2a2·16a2＝8,当且仅当a2＝16a2,即a＝±2时等号成立,故B符合题意;对于D,∵ab＞0,∴ba＞0,ab＞0,∴ba＋ab≥2ba·ab＝2,当且仅当a＝b时等号成立,故D符合题意.
7.已知x＞0,y＞0,且满足x3＋y4＝1,则xy的最大值为 ,取得最大值时y的值为 .
解析:因为x＞0,y＞0,且1＝x3＋y4≥2xy12,所以xy≤3.当且仅当x3＝y4＝12,即x＝32,y＝2时取等号.
答案:3 2
8.若a＞0,且a＋b＝0,则a-1b＋1的最小值为 .
解析:由a＋b＝0,a＞0,得b＝-a,-1b＝1a＞0,所以a-1b＋1＝a＋1a＋1≥3,当且仅当a＝1,b＝-1时取等号.
答案:3
9.已知x＞32,则函数y＝x-1＋22x-3的最小值为 .
解析:由x＞32得x-32＞0,则函数y＝x-1＋22x-3＝x-32＋1x-32＋12≥2（x-32）·1x-32＋12＝2＋12＝52,当且仅当x-32＝1x-32,x＞32,即x＝52时,等号成立,此时函数取得最小值52.
答案:52
10.(1)已知x＞0,求y＝2-x-4x的最大值;
(2)已知0＜x＜12,求y＝12x(1-2x)的最大值.
解:(1)∵x＞0,∴x＋4x≥4.
∴y＝2-x＋4x≤2-4＝-2.
当且仅当x＝4x(x＞0),即x＝2时取等号,
∴ymax＝-2.
(2)∵0＜x＜12,∴1-2x＞0,
∴y＝12x(1-2x)＝14×2x(1-2x)≤14×2x+1-2x22＝14×14＝116,
当且仅当2x＝1-2x,即x＝14时取等号,故y＝12x(1-2x)的最大值为116.
11.已知x＞0,y＞0,且x＋2y＝4,则(1＋x)(1＋2y)的最大值为( )
A.16 B.9 C.4 D.36
解析:B (1＋x)(1＋2y)≤［(1+x)＋(1+2y)2］2＝（2+x+2y2）2＝9,当且仅当1＋x＝1＋2y,即x＝2,y＝1时,等号成立,故所求最大值为9.
12.(多选)设正实数a,b满足a＋b＝1,则( )
A.1a＋1b的最小值为4
B.ab的最小值为12
C.a＋b的最大值为2
D.a2＋b2的最大值为12
解析:AC 对于A,1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝ba＋ab＋2≥2ba·ab＋2＝4,当且仅当a＝b＝12时等号成立,故A正确;对于B,0＜ab≤12(a＋b)＝12×1＝12,当且仅当a＝b＝12时等号成立,故B错误;对于C,∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝2ab＋1≤a＋b＋1＝2,∴a＋b≤2,当且仅当a＝b＝12时等号成立,故C正确;对于D,∵a2＋b2≥2ab,∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1,∴a2＋b2≥12,当且仅当a＝b＝12时等号成立,故D错误.故选A、C.
13.已知x,y为正实数,3x＋2y＝10,则W＝3x＋2y的最大值为 .
解析:∵x,y为正实数,3x＋2y＝10,∴W2＝3x＋2y＋23x·2y≤10＋(3x＋2y)＝20,当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10,即x＝53,y＝52时,等号成立.∴W≤25,即W的最大值为25.
答案:25
14.已知x,y都是正数.
(1)若xy＝4,求2x＋1y的最小值; (2)若x＋2y＝3,求1x＋1y的最小值.
解:(1)∵xy＝4,且x＞0,y＞0,∴2x＋1y≥22xy＝212＝2,
当且仅当x＝22,y＝2时取等号,即2x＋1y的最小值为2.
(2)∵x＋2y＝3,∴x3＋2y3＝1,
∴1x＋1y＝1x＋1yx3＋2y3＝13＋23＋x3y＋2y3x≥1＋2x3y·2y3x＝1＋223,
当且仅当x3y＝2y3x,即x＝32-3,y＝3-322时取等号,∴1x＋1y的最小值为1＋223.
15.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于点E,设AC＝a,BC＝b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )
A.ab≤a＋b2(a＞0,b＞0)
B.a＋b2＜2aba＋b(a＞0,b＞0,a≠b)
C.2aba＋b≤ab(a＞0,b＞0)
D.2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0,b＞0,a≠b)
解析:D 由AC＝a,BC＝b,可得半圆O的半径DO＝a＋b2,易得DC＝AC·BC＝ab,DE＝DC2DO＝2aba＋b.∵DE＜DC＜DO,∴2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0,b＞0,a≠b).故选D.
16.是否存在正实数a和b,同时满足下列条件:①a＋b＝10;②ax＋by＝1(x＞0,y＞0)且x＋y的最小值为18,若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由.
解:因为ax＋by＝1,
所以x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a＋b＋bxy＋ayx≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2,
又x＋y的最小值为18,所以(a＋b)2＝18.
由(a＋b)2=18,a＋b=10,得a=2,b=8或a=8,b=2.
故存在实数a＝2,b＝8或a＝8,b＝2满足条件.