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人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀课后练习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀课后练习题，文件包含222《基本不等式的应用》专题练习参考答案docx、222《基本不等式的应用》专题练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
A.4 B.5 C.6 D.9
(2)a＞0,b＞0,且a＋2b＝1,不等式12b＋1a＋b-m≥0恒成立,则实数m的取值范围为 .
解析 (1)由x＋3y-5xy＝0,得1y＋3x＝5,所以3x＋4y＝15（1y＋3x）(3x＋4y)＝15（13＋3xy＋12yx）≥15（13＋23xy·12yx）＝5,当且仅当x＝1,y＝12时,取等号.故选B.
(2)因为a＋2b＝1,所以12b＋1a＋b＝（12b＋1a＋b）(a＋b＋b)＝a＋b2b＋12＋1＋ba＋b＝32＋a＋b2b＋ba＋b≥32＋2a＋b2b·ba＋b＝32＋212＝32＋2,当且仅当a＋b2b＝ba＋b,即a＝(2-1)b时,取等号,因为不等式12b＋1a＋b-m≥0恒成立,所以m小于等于12b＋1a＋b的最小值,所以m≤2＋32.
答案 (1)B (2){m｜m≤2＋32}
1.已知a＞0,b＞0,1a＋2b＝2,则a＋b的最小值为( )
A.3-222 B.3+222 C.3-22 D.3＋22
解析:B 因为a＞0,b＞0,且1a＋2b＝2,所以a＋b＝12（1a＋2b）·(a＋b)＝12（3＋ba＋2ab）≥12（3＋2ba·2ab）＝3+222,当且仅当b＝2a,即a＝2+12,b＝2+22时,a＋b有最小值3+222.故选B.
2.若a,b是正实数,且a＋b＝1,则1a＋1ab的最小值为 .
解析:因为a,b是正实数,且a＋b＝1,所以1a＋1ab＝1a＋a＋bab＝1a＋1b＋1a＝2a＋1b＝（2a＋1b）·(a＋b)＝2＋2ba＋ab＋1≥22ba·ab＋3＝22＋3,当且仅当2ba＝ab,a＋b=1时等号成立.
答案:22＋3
【例2】 已知x＞0,y＞0,x＋2y＋2xy＝8,求x＋2y的最小值.
解 由x＋2y＋2xy＝8,可得y＝8-x2+2x,
因为x＞0,y＞0,所以0＜x＜8.
所以x＋2y＝x＋8-xx+1＝x＋9-1-xx+1＝x＋9x+1-1＝x＋1＋9x+1-2≥29-2＝4,
当且仅当x＋1＝9x+1,即x＝2时等号成立.
所以x＋2y的最小值为4.
1.若实数x,y满足xy＋3x＝3（0＜x＜12）,则3x＋1y-3的最小值为 .
解析:因为xy＋3x＝3,所以x＝3y+3,所以0＜3y+3＜12,解得y＞3,所以3x＝y＋3,因此3x＋1y-3＝y＋3＋1y-3＝y-3＋1y-3＋6≥2(y-3)·1y-3＋6＝8,当且仅当y-3＝1y-3,即y＝4时取等号.
答案:8
2.已知a＞0,b＞0,且2a＋b＝ab-1,则a＋2b的最小值为 .
解析:由2a＋b＝ab-1,得a＝b+1b-2,因为a＞0,b＞0,所以a＝b+1b-2＞0,b＋1＞0,所以b＞2,所以a＋2b＝b+1b-2＋2b＝(b-2)+3b-2＋2(b-2)＋4＝2(b-2)＋3b-2＋5≥22(b-2)·3b-2＋5＝5＋26,当且仅当2(b-2)＝3b-2,即b＝2＋62时等号成立.所以a＋2b的最小值为5＋26.
答案:5＋26
【例3】 若a＞0,b＞0,且12a＋b＋1b+1＝1,则a＋2b的最小值为 .
解析 设2a＋b＝x,b+1=y,则a＝x-y+12,b＝y-1,所以1x＋1y＝1,因为a＋2b＝x-y+12＋2y-2＝x+3y-32,又因为x＋3y＝(x＋3y)（1x＋1y）＝1＋xy＋3yx＋3≥2xy·3yx＋4＝4＋23,当且仅当xy＝3yx,1x＋1y=1时等号成立,所以a＋2b≥4+23-32＝1+232＝3＋12.
答案 3＋12
已知x,y＞0,则4x4x＋y＋yx＋y的最大值为 .
解析:设4x＋y＝a,x＋y＝b,则x＝a-b3,y＝4b-a3,因此4x4x＋y＋yx＋y＝4(a-b)3a＋4b-a3b＝43-4b3a＋43-a3b＝83-（4b3a＋a3b）,因为4b3a＋a3b≥24b3a·a3b＝43,当且仅当4b3a＝a3b,即a＝2b时等号成立,所以4x4x＋y＋yx＋y≤83-43＝43.
答案:43
1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示,我们教科书中利用该图作为“ ”的几何解释( )
A.如果a＞b＞0,那么a＞b
B.如果a＞b＞0,那么a2＞b2
C.对任意正实数a和b,有a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时等号成立
D.对任意正实数a和b,有a＋b≥2ab,当且仅当a＝b时等号成立
解析:C 可将直角三角形的两直角边长度取作a,b,斜边为c(c2＝a2＋b2),则外围的正方形的面积为c2,也就是a2＋b2,四个阴影面积之和刚好为2ab,对任意正实数a和b,有a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时等号成立.
2.港珠澳大桥通车后,经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次,期间燃油的价格有升也有降,现刘先生有两种加油方案,第一种方案:每次均加30升的燃油;第二种方案:每次加200元的燃油,则下列说法正确的是( )
A.采用第一种方案划算
B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样
D.无法确定
解析:B 假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为30m+30n60＝m＋n2≥mn;第二种方案的均价为400200m＋200n＝2mnm＋n≤mn.所以无论油价如何变化,第二种方案都更划算.
3.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
解析:C 设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为T元,则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2xy＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y＝2时取等号).故该容器的最低总造价是160元.故选C.
4.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a(a＞0),第三年的增长率为b(b＞0),这两年的平均增长率为x(x＞0),则( )
A.x＝a＋b2 B.x≤a＋b2
C.x＞a＋b2 D.x≥a＋b2
解析:B 由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2,所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤(1+a)＋(1+b)22,所以1＋x≤1＋a＋b2,故x≤a＋b2.
5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
解析:C 设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则12ab＝2,∴ab＝4,l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m),当且仅当a＝b＝2时等号成立.故C既够用,浪费也最少.
6.(多选)已知某出租车公司为升级服务水平,购入了一批豪华轿车投入运营,据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝-x2＋12x-25,则下列判断正确的是( )
A.车辆运营年数越多,利润越高
B.车辆在第6年时,总利润最高
C.车辆在前5年的平均利润最高
D.车辆每年都能盈利
解析:BC 由题意可知,y＝-x2＋12x-25是开口向下的二次函数,故A错误;对称轴x＝6,故B正确;yx＝-x＋12-25x＝-（x＋25x）＋12≤-225＋12＝2,当且仅当x＝5时,等号成立,故C正确;当x＝1时,y＝-14,故D错误.
7.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
解析:由题意得一年的总运费与总存储费用之和为4x＋600x×6＝4（x＋900x）≥4×2900＝240,当且仅当x＝900x,即x＝30时,等号成立.
答案:30
8.为教室消毒,向室内喷洒某消毒液,已知室内消毒液浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:min)的变化关系为C＝20tt2+25,则经过 min后室内消毒液浓度达到最大.
解析:由题意可得t＞0,C＝20tt2+25＝20t＋25t≤2010＝2,当且仅当t＝25t,即t＝5时取等号.
答案:5
9.从等腰直角三角形纸片ABC上,剪下如图所示的两个正方形,其中BC＝2,∠A＝90°,则这两个正方形的面积之和的最小值为 .
解析:设两个正方形边长分别为a,b,则由∠B＝∠C＝45°,可得a＋b＝12BC＝1,且13≤a≤23,13≤b≤23,S＝a2＋b2≥2×a＋b22＝12,当且仅当a＝b＝12时取等号.
答案:12
10.(1)已知a,b都是正数,求证:a＋1ab＋1b≥4;
(2)已知a,b,c均为正数,求证:b＋c-aa＋c＋a-bb＋a＋b-cc≥3.
证明:(1)∵a＞0,b＞0,
∴a＋1a≥2a·1a＝2,b＋1b≥2b·1b＝2.
由不等式的性质,得a＋1ab＋1b≥4,
当且仅当a＝1且b＝1时,等号成立.
(2)左边＝ba＋ca-1＋cb＋ab-1＋ac＋bc-1＝ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc-3.
∵a,b,c为正数,
∴ba＋ab≥2(当且仅当a＝b时,等号成立);
ca＋ac≥2(当且仅当a＝c时,等号成立);
cb＋bc≥2(当且仅当b＝c时,等号成立).
从而ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥6(当且仅当a＝b＝c时,等号成立).
∴ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc-3≥3,即b＋c-aa＋c＋a-bb＋a＋b-cc≥3(当且仅当a＝b＝c时,等号成立).
11.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为x4天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A.30件 B.60件 C.80件 D.100件
解析:B 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,则y＝x4×x×1+900x＝x4＋900x≥2x4·900x＝30,当且仅当x4＝900x,即x＝60时等号成立,故每批应生产产品60件.故选B.
12.某商场对商品进行两次提价,现提出四种提价方案,提价幅度较大的一种是( )
A.先提价p%,后提价q%(p≠q)
B.先提价q%,后提价p%(p≠q)
C.分两次提价p＋q2%(p≠q)
D.分两次提价p2＋q22%(p≠q)
解析:D 设提价前的价格为1,由题意可知,A、B选项的两次提价后的价格均为(1＋p%)(1＋q%);C选项的提价后的价格为（1＋p＋q2%）2,D选项的提价后的价格为（1＋p2＋q22%）2,又∵p＋q2＜p2＋q22,∴(1＋p%)(1＋q%)＜（1＋p＋q2%）2＜（1＋p2＋q22%）2,∴提价幅度较大的为D选项.
13.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站的距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站 km处.
解析:设仓库到车站的距离为x,每月土地费用为y1,每月货物的运输费用为y2,由题意可设y1＝k1x,y2＝k2x,把x＝10,y1＝2与x＝10,y2＝8分别代入上式得k1＝20,k2＝0.8,∴y1＝20x,y2＝0.8x,则两项费用之和为y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2×4＝8,当且仅当0.8x＝20x,即x＝5时等号成立.∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小.
答案:5
14.为了增强生物实验课的趣味性,丰富生物实验教学内容,某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场,规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示,矩形EFGH为羊驼养殖区,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB＝x(单位:米),养殖区域EFGH的面积为S(单位:平方米).
(1)将S表示为x的函数,并写出x的取值范围;
(2)当AB为多长时,S取得最大值?并求出此最大值.
解:(1)因为AB＝x,所以AD＝100x,EF＝x-2,
FG＝100x-1,
所以S＝(x-2)（100x-1）＝102-200x-x,
因为0＜x≤20,0＜100x≤20,解得5≤x≤20,
所以S＝102-200x-x,5≤x≤20.
(2)S＝102-200x-x≤102-2x·200x
＝102-202,
当且仅当x＝102时,等号成立,经验证,符合题意,
即当AB＝102米时,S取得最大值,最大值为(102-202)平方米.
15.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客,则顾客购得的黄金( )
A.大于10 g B.大于等于10 g
C.小于10 g D.小于等于10 g
解析:A 由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a(a＞0),右臂长为b(b＞0),则a≠b,再设先称得黄金为x g,后称得黄金为y g,则bx＝5a,ay＝5b,∴x＝5ab,y＝5ba,∴x＋y＝5ab＋5ba＝5（ab＋ba）≥5×2ab·ba＝10,当且仅当ab＝ba,即a＝b时等号成立,但a≠b,等号不成立,即x＋y＞10,因此,顾客购得的黄金大于10 g.
16.某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会,据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到(10-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为20元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格.
(1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系,并求出每套丛书售价定为80元时,书商能获得的总利润是多少万元?
(2)每套丛书售价定为多少元时,每套丛书的利润最大?并求出最大利润.
解:(1)∵x>0,10-0.1x>0,∴0＜x＜100,
y＝x-（20＋1010-0.1x）＝x-100100-x-20(0＜x＜100),
当x＝80时,y＝80-100100-80-20＝55(元),
此时销量为10-0.1×80＝2(万套),
总利润为2×55＝110(万元).
(2)y＝x-100100-x-20,
∵0＜x＜100,∴100-x＞0,
∴y＝-［100100-x＋(100-x)］＋80≤-2100100-x·(100-x)＋80＝60,
当且仅当100100-x＝100-x,即x＝90时,等号成立.即每套丛书售价定为90元时,每套丛书的利润最大,最大利润为60元.
类型一
常数代换法求最值
类型二
分离消元法求最值
类型三
双换元法求最值
A.4 B.5 C.6 D.9
(2)a＞0,b＞0,且a＋2b＝1,不等式12b＋1a＋b-m≥0恒成立,则实数m的取值范围为 .
解析 (1)由x＋3y-5xy＝0,得1y＋3x＝5,所以3x＋4y＝15（1y＋3x）(3x＋4y)＝15（13＋3xy＋12yx）≥15（13＋23xy·12yx）＝5,当且仅当x＝1,y＝12时,取等号.故选B.
(2)因为a＋2b＝1,所以12b＋1a＋b＝（12b＋1a＋b）(a＋b＋b)＝a＋b2b＋12＋1＋ba＋b＝32＋a＋b2b＋ba＋b≥32＋2a＋b2b·ba＋b＝32＋212＝32＋2,当且仅当a＋b2b＝ba＋b,即a＝(2-1)b时,取等号,因为不等式12b＋1a＋b-m≥0恒成立,所以m小于等于12b＋1a＋b的最小值,所以m≤2＋32.
答案 (1)B (2){m｜m≤2＋32}
1.已知a＞0,b＞0,1a＋2b＝2,则a＋b的最小值为( )
A.3-222 B.3+222 C.3-22 D.3＋22
解析:B 因为a＞0,b＞0,且1a＋2b＝2,所以a＋b＝12（1a＋2b）·(a＋b)＝12（3＋ba＋2ab）≥12（3＋2ba·2ab）＝3+222,当且仅当b＝2a,即a＝2+12,b＝2+22时,a＋b有最小值3+222.故选B.
2.若a,b是正实数,且a＋b＝1,则1a＋1ab的最小值为 .
解析:因为a,b是正实数,且a＋b＝1,所以1a＋1ab＝1a＋a＋bab＝1a＋1b＋1a＝2a＋1b＝（2a＋1b）·(a＋b)＝2＋2ba＋ab＋1≥22ba·ab＋3＝22＋3,当且仅当2ba＝ab,a＋b=1时等号成立.
答案:22＋3
【例2】 已知x＞0,y＞0,x＋2y＋2xy＝8,求x＋2y的最小值.
解 由x＋2y＋2xy＝8,可得y＝8-x2+2x,
因为x＞0,y＞0,所以0＜x＜8.
所以x＋2y＝x＋8-xx+1＝x＋9-1-xx+1＝x＋9x+1-1＝x＋1＋9x+1-2≥29-2＝4,
当且仅当x＋1＝9x+1,即x＝2时等号成立.
所以x＋2y的最小值为4.
1.若实数x,y满足xy＋3x＝3（0＜x＜12）,则3x＋1y-3的最小值为 .
解析:因为xy＋3x＝3,所以x＝3y+3,所以0＜3y+3＜12,解得y＞3,所以3x＝y＋3,因此3x＋1y-3＝y＋3＋1y-3＝y-3＋1y-3＋6≥2(y-3)·1y-3＋6＝8,当且仅当y-3＝1y-3,即y＝4时取等号.
答案:8
2.已知a＞0,b＞0,且2a＋b＝ab-1,则a＋2b的最小值为 .
解析:由2a＋b＝ab-1,得a＝b+1b-2,因为a＞0,b＞0,所以a＝b+1b-2＞0,b＋1＞0,所以b＞2,所以a＋2b＝b+1b-2＋2b＝(b-2)+3b-2＋2(b-2)＋4＝2(b-2)＋3b-2＋5≥22(b-2)·3b-2＋5＝5＋26,当且仅当2(b-2)＝3b-2,即b＝2＋62时等号成立.所以a＋2b的最小值为5＋26.
答案:5＋26
【例3】 若a＞0,b＞0,且12a＋b＋1b+1＝1,则a＋2b的最小值为 .
解析 设2a＋b＝x,b+1=y,则a＝x-y+12,b＝y-1,所以1x＋1y＝1,因为a＋2b＝x-y+12＋2y-2＝x+3y-32,又因为x＋3y＝(x＋3y)（1x＋1y）＝1＋xy＋3yx＋3≥2xy·3yx＋4＝4＋23,当且仅当xy＝3yx,1x＋1y=1时等号成立,所以a＋2b≥4+23-32＝1+232＝3＋12.
答案 3＋12
已知x,y＞0,则4x4x＋y＋yx＋y的最大值为 .
解析:设4x＋y＝a,x＋y＝b,则x＝a-b3,y＝4b-a3,因此4x4x＋y＋yx＋y＝4(a-b)3a＋4b-a3b＝43-4b3a＋43-a3b＝83-（4b3a＋a3b）,因为4b3a＋a3b≥24b3a·a3b＝43,当且仅当4b3a＝a3b,即a＝2b时等号成立,所以4x4x＋y＋yx＋y≤83-43＝43.
答案:43
1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示,我们教科书中利用该图作为“ ”的几何解释( )
A.如果a＞b＞0,那么a＞b
B.如果a＞b＞0,那么a2＞b2
C.对任意正实数a和b,有a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时等号成立
D.对任意正实数a和b,有a＋b≥2ab,当且仅当a＝b时等号成立
解析:C 可将直角三角形的两直角边长度取作a,b,斜边为c(c2＝a2＋b2),则外围的正方形的面积为c2,也就是a2＋b2,四个阴影面积之和刚好为2ab,对任意正实数a和b,有a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时等号成立.
2.港珠澳大桥通车后,经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次,期间燃油的价格有升也有降,现刘先生有两种加油方案,第一种方案:每次均加30升的燃油;第二种方案:每次加200元的燃油,则下列说法正确的是( )
A.采用第一种方案划算
B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样
D.无法确定
解析:B 假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为30m+30n60＝m＋n2≥mn;第二种方案的均价为400200m＋200n＝2mnm＋n≤mn.所以无论油价如何变化,第二种方案都更划算.
3.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
解析:C 设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为T元,则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2xy＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y＝2时取等号).故该容器的最低总造价是160元.故选C.
4.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a(a＞0),第三年的增长率为b(b＞0),这两年的平均增长率为x(x＞0),则( )
A.x＝a＋b2 B.x≤a＋b2
C.x＞a＋b2 D.x≥a＋b2
解析:B 由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2,所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤(1+a)＋(1+b)22,所以1＋x≤1＋a＋b2,故x≤a＋b2.
5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
解析:C 设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则12ab＝2,∴ab＝4,l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m),当且仅当a＝b＝2时等号成立.故C既够用,浪费也最少.
6.(多选)已知某出租车公司为升级服务水平,购入了一批豪华轿车投入运营,据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝-x2＋12x-25,则下列判断正确的是( )
A.车辆运营年数越多,利润越高
B.车辆在第6年时,总利润最高
C.车辆在前5年的平均利润最高
D.车辆每年都能盈利
解析:BC 由题意可知,y＝-x2＋12x-25是开口向下的二次函数,故A错误;对称轴x＝6,故B正确;yx＝-x＋12-25x＝-（x＋25x）＋12≤-225＋12＝2,当且仅当x＝5时,等号成立,故C正确;当x＝1时,y＝-14,故D错误.
7.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
解析:由题意得一年的总运费与总存储费用之和为4x＋600x×6＝4（x＋900x）≥4×2900＝240,当且仅当x＝900x,即x＝30时,等号成立.
答案:30
8.为教室消毒,向室内喷洒某消毒液,已知室内消毒液浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:min)的变化关系为C＝20tt2+25,则经过 min后室内消毒液浓度达到最大.
解析:由题意可得t＞0,C＝20tt2+25＝20t＋25t≤2010＝2,当且仅当t＝25t,即t＝5时取等号.
答案:5
9.从等腰直角三角形纸片ABC上,剪下如图所示的两个正方形,其中BC＝2,∠A＝90°,则这两个正方形的面积之和的最小值为 .
解析:设两个正方形边长分别为a,b,则由∠B＝∠C＝45°,可得a＋b＝12BC＝1,且13≤a≤23,13≤b≤23,S＝a2＋b2≥2×a＋b22＝12,当且仅当a＝b＝12时取等号.
答案:12
10.(1)已知a,b都是正数,求证:a＋1ab＋1b≥4;
(2)已知a,b,c均为正数,求证:b＋c-aa＋c＋a-bb＋a＋b-cc≥3.
证明:(1)∵a＞0,b＞0,
∴a＋1a≥2a·1a＝2,b＋1b≥2b·1b＝2.
由不等式的性质,得a＋1ab＋1b≥4,
当且仅当a＝1且b＝1时,等号成立.
(2)左边＝ba＋ca-1＋cb＋ab-1＋ac＋bc-1＝ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc-3.
∵a,b,c为正数,
∴ba＋ab≥2(当且仅当a＝b时,等号成立);
ca＋ac≥2(当且仅当a＝c时,等号成立);
cb＋bc≥2(当且仅当b＝c时,等号成立).
从而ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥6(当且仅当a＝b＝c时,等号成立).
∴ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc-3≥3,即b＋c-aa＋c＋a-bb＋a＋b-cc≥3(当且仅当a＝b＝c时,等号成立).
11.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为x4天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A.30件 B.60件 C.80件 D.100件
解析:B 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,则y＝x4×x×1+900x＝x4＋900x≥2x4·900x＝30,当且仅当x4＝900x,即x＝60时等号成立,故每批应生产产品60件.故选B.
12.某商场对商品进行两次提价,现提出四种提价方案,提价幅度较大的一种是( )
A.先提价p%,后提价q%(p≠q)
B.先提价q%,后提价p%(p≠q)
C.分两次提价p＋q2%(p≠q)
D.分两次提价p2＋q22%(p≠q)
解析:D 设提价前的价格为1,由题意可知,A、B选项的两次提价后的价格均为(1＋p%)(1＋q%);C选项的提价后的价格为（1＋p＋q2%）2,D选项的提价后的价格为（1＋p2＋q22%）2,又∵p＋q2＜p2＋q22,∴(1＋p%)(1＋q%)＜（1＋p＋q2%）2＜（1＋p2＋q22%）2,∴提价幅度较大的为D选项.
13.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站的距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站 km处.
解析:设仓库到车站的距离为x,每月土地费用为y1,每月货物的运输费用为y2,由题意可设y1＝k1x,y2＝k2x,把x＝10,y1＝2与x＝10,y2＝8分别代入上式得k1＝20,k2＝0.8,∴y1＝20x,y2＝0.8x,则两项费用之和为y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2×4＝8,当且仅当0.8x＝20x,即x＝5时等号成立.∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小.
答案:5
14.为了增强生物实验课的趣味性,丰富生物实验教学内容,某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场,规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示,矩形EFGH为羊驼养殖区,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB＝x(单位:米),养殖区域EFGH的面积为S(单位:平方米).
(1)将S表示为x的函数,并写出x的取值范围;
(2)当AB为多长时,S取得最大值?并求出此最大值.
解:(1)因为AB＝x,所以AD＝100x,EF＝x-2,
FG＝100x-1,
所以S＝(x-2)（100x-1）＝102-200x-x,
因为0＜x≤20,0＜100x≤20,解得5≤x≤20,
所以S＝102-200x-x,5≤x≤20.
(2)S＝102-200x-x≤102-2x·200x
＝102-202,
当且仅当x＝102时,等号成立,经验证,符合题意,
即当AB＝102米时,S取得最大值,最大值为(102-202)平方米.
15.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客,则顾客购得的黄金( )
A.大于10 g B.大于等于10 g
C.小于10 g D.小于等于10 g
解析:A 由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a(a＞0),右臂长为b(b＞0),则a≠b,再设先称得黄金为x g,后称得黄金为y g,则bx＝5a,ay＝5b,∴x＝5ab,y＝5ba,∴x＋y＝5ab＋5ba＝5（ab＋ba）≥5×2ab·ba＝10,当且仅当ab＝ba,即a＝b时等号成立,但a≠b,等号不成立,即x＋y＞10,因此,顾客购得的黄金大于10 g.
16.某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会,据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到(10-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为20元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格.
(1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系,并求出每套丛书售价定为80元时,书商能获得的总利润是多少万元?
(2)每套丛书售价定为多少元时,每套丛书的利润最大?并求出最大利润.
解:(1)∵x>0,10-0.1x>0,∴0＜x＜100,
y＝x-（20＋1010-0.1x）＝x-100100-x-20(0＜x＜100),
当x＝80时,y＝80-100100-80-20＝55(元),
此时销量为10-0.1×80＝2(万套),
总利润为2×55＝110(万元).
(2)y＝x-100100-x-20,
∵0＜x＜100,∴100-x＞0,
∴y＝-［100100-x＋(100-x)］＋80≤-2100100-x·(100-x)＋80＝60,
当且仅当100100-x＝100-x,即x＝90时,等号成立.即每套丛书售价定为90元时,每套丛书的利润最大,最大利润为60元.
类型一
常数代换法求最值
类型二
分离消元法求最值
类型三
双换元法求最值
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