数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质导学案及答案

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一．学习目标
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义
2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集（重点）
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（难点）
4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习二次函数与一元二次方程、不等式
三．课堂导学
给出下面四个不等式:
(1)x2-x-6＞0; (2)x2-x-6≤0;
(3)x2-4x＋4≥0; (4)2x2＋x＋5＜0.
问题 这四个不等式的共同点是什么?
知识点一 一元二次不等式
提醒 对一元二次不等式的再理解:①一元,即只含一个未知数,其他元素均为常数(或参数);②二次,即未知数的最高次数必须为2,且其系数不能为0;③整式不等式.
知识点二 二次函数的零点
一般地,对于二次函数y＝ax2＋bx＋c,我们把使 ax2＋bx＋c＝0 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 零点 .
提醒 零点不是点,只是函数的图象与x轴交点的横坐标.
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
提醒 三个“二次”关系的实质:①ax2＋bx＋c＝0的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点);②ax2＋bx＋c＞0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x,y)在x轴上方时,对应x的取值集合;③ax2＋bx＋c＜0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x,y)在x轴下方时,对应x的取值集合.
1.一元二次不等式(x＋2)(5-x)＞0的解集为( )
A.{x｜x＜-2或x＞5} B.{x｜x＜-5或x＞2}
C.{x｜-2＜x＜5} D.{x｜-5＜x＜2}
解析:C 原一元二次不等式可为(x＋2)(x-5)＜0,解得-2＜x＜5,故原不等式的解集为{x｜-2＜x＜5}.故选C.
2.函数y＝x2-3x＋2与x轴交点的横坐标是 1或2 .
解析:由x2-3x＋2＝0得x1＝1,x2＝2,故函数y＝x2-3x＋2与x轴交点的横坐标为1或2.
3.不等式3x2-2x＋1＞0的解集是 R.
解析:因为Δ＝(-2)2-4×3×1＝4-12＝-8＜0,所以不等式3x2-2x＋1＞0的解集为R.
四．典例分析、举一反三
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式:
(1)2x2＋5x-3＜0;(2)-3x2＋6x≤2;
(3)4x2＋4x＋1＞0;(4)-x2＋6x-10＞0.
解 (1)Δ＝49＞0,方程2x2＋5x-3＝0的两根分别为x1＝-3,x2＝12,
作出函数y＝2x2＋5x-3的图象,如图①所示.
由图可得原不等式的解集为x-3
(2)原不等式等价于3x2-6x＋2≥0.Δ＝12＞0,解方程3x2-6x＋2＝0,得x1＝3-33,x2＝3+33,
作出函数y＝3x2-6x＋2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为xx≤3-33或x≥3+33.
(3)∵Δ＝0,∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝-12.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示.
由图可得原不等式的解集为xx≠-12.
(4)原不等式可化为x2-6x＋10＜0,
∵Δ＝-4＜0,∴方程x2-6x＋10＝0无实数根,
∴原不等式的解集为⌀.
练1-1. 不等式-2x2＋x＋3＜0的解集是( )
A.{x｜x＜-1} B.xx＞32
C.x-1解析:D 不等式-2x2＋x＋3＜0可化为2x2-x-3＞0.因为Δ＝(-1)2-4×2×(-3)＝25＞0,所以方程2x2-x-3＝0的两根分别为x1＝-1,x2＝32.又二次函数y＝2x2-x-3的图象开口向上,所以不等式-2x2＋x＋3＜0的解集是xx＜-1或x＞32.故选D.
练1-2.解不等式-2＜x2-3x≤10.
解:原不等式等价于不等式组x2-3x＞-2, ①x2-3x≤10. ②
不等式①可化为x2-3x＋2＞0,解得x＞2或x＜1.
不等式②可化为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x｜-2≤x＜1或2＜x≤5}.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】解关于x的不等式ax2-(a＋1)x＋1＜0(a＜1).
解 ①当a＝0时,原不等式即为-x＋1＜0,解得x＞1.
②当a＜0时,原不等式化为x-1a(x-1)＞0,解得x＜1a或x＞1.
③当0＜a＜1时,原不等式化为x-1a(x-1)＜0.解得1＜x＜1a.
综上可知,当a＜0时,原不等式的解集为{x｜x＜1a或x＞1};
当a＝0时,原不等式的解集为{x｜x＞1};
当0＜a＜1时,原不等式的解集为x1练2-1. 解关于x的不等式x2＋(1-a)x-a＜0.
解:方程x2＋(1-a)x-a＝0的两根分别为x1＝-1,x2＝a.又函数y＝x2＋(1-a)x-a的图象开口向上,
则当a＜-1时,原不等式的解集为{x｜a＜x＜-1};
当a＝-1时,原不等式的解集为⌀;
当a＞-1时,原不等式的解集为{x｜-1＜x＜a}.
题型三 简单的分式不等式
【例3】 解下列不等式:
(1)x+23-x≥0;(2)2x-13-4x＞1.
解 (1)原不等式等价于(x+2)(3-x)≥0,3-x≠0,
即(x+2)(x-3)≤0,x≠3,∴-2≤x＜3. ∴原不等式的解集为{x｜-2≤x＜3}.
(2)原不等式可化为2x-13-4x-1＞0,即6x-44x-3＜0.
∴(6x-4)(4x-3)＜0,∴23＜x＜34. ∴原不等式的解集为x23＜x＜34.
练3-1. 1.不等式x+12x-1＜0的解集为 x-1解析:原不等式可化为(x＋1)(2x-1)＜0,∴-1＜x＜12,故原不等式的解集为x-1练3-2.不等式x+1a-x≥0的解集是{x｜-1≤x＜5},则a的值为 5 .
解析:由于原不等式等价于(x+1)(x-a)≤0,x≠a.因此结合不等式解集知a＝5.
五、课堂小结
(1)一元二次不等式的概念.
(2)二次函数的零点.
(3)二次函数与一元二次方程、不等式的关系.
方法归纳：数形结合、分类讨论.
六、当堂检测
1.不等式2-xx+1≥0的解集为( )
A.{x｜0＜x≤2} B.{x｜-1＜x≤2}
C.{x｜x＞-1} D.R
解析:B 2-xx+1≥0⇒(x＋1)(x-2)＜0或x＝2,解得-1＜x≤2,故选B.
2.(多选)下列不等式是一元二次不等式的是( )
A.x2＋2x＜-1 B.x2＋x＋1＜0
C.x2＋3x＋1＜0 D.x2＋1＜0
解析:AD 由于x2＋x＋1＜0,x2＋3x＋1＜0不符合一元二次不等式的定义,只有x2＋2x＜-1,x2＋1＜0是一元二次不等式,故选A、D.
3.若0＜m＜1,则不等式(x-m)（x-1m）＜0的解集为 {x｜m＜x＜1m} .
解析:∵0＜m＜1,∴1m＞1＞m,故原不等式的解集为{x｜m＜x＜1m}.
4.解下列不等式:
(1)x(7-x)≥12;
(2)x2＞2(x-1).
解:(1)原不等式可化为x2-7x＋12≤0.
因为方程x2-7x＋12＝0的两根为x1＝3,x2＝4.
所以原不等式的解集为{x｜3≤x≤4}.
(2)原不等式可以化为x2-2x＋2＞0,
因为判别式Δ＝4-8＝-4＜0,
所以方程x2-2x＋2＝0无实数根,
又函数y＝x2-2x＋2的图象开口向上,
所以原不等式的解集为R.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字定义
只含有一个 未知数 ,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式
一般
形式
ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0,其中a,b,c均为常数,a≠0
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1,x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝-b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x｜x＜x1,或x＞x2}
x｜x≠-b2a
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x｜x1＜x＜x2}
⌀
⌀