陕西省西安中学2024届高三仿真考试(一)数学试题（含答案）

这是一份陕西省西安中学2024届高三仿真考试(一)数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数是方程的一个根，则实数q的值是（ ）
A．0B．8C．24D．26
3．关于函数，下列说法正确的个数是（ ）
①是奇函数；②是周期函数；③有零点；④在上单调递增．
A．1B．2C．3D．4
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
9．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则（ ）
A．B．C．D．
10．某几何体的三视图如图所示，设三视图中三个直角顶点在该几何体中对应的点为P，则点P到它所对的面的距离为（ ）
A．B．C．D．
11．已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是________．
14．函数的图象恒过定点，若且，，则的最小值为________．
15．如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为________．
16．如图，已知正方体的棱长为6，长为6的线段EF的一个端点E在棱（不含端点）上运动，点F在正方体的底面ABCD内运动，则EF的中点P的轨迹与正方体的面ABCD，面，面所围成的几何体的表面积是________．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试．该机器在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：
（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量？
（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率．工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p．（参考数据：，）
附：
18．（12分）已知数列满足，．
（1）写出，，；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）若，求数列的前n项和．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，E为PD中点，点F在PC上，且．
（1）求证：平面PAD；
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）已知点在椭圆E：上，F为右焦点，PF垂直于x轴．A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD交于原点O．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设，，满足，判断的值是否为定值，若是，求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则请说明理由．
21．（12分）已知，曲线与直线相切于点．
（1）求a，b的值；
（2）证明：当时，恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（m为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．
23．选修4-5：不等式选讲（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为m，正数a，b，c满足，求证．
西安中学高2024届高三仿真考试（一）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-5：ADCBA6-10：BBDAD11-12：CB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．11214．815．16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
【详解】（1）补全列联表如图所示
2分
，5分
故有95%的把握认为参数调试改变产品质量；6分
（2）由题意，设备更新后的合格概率为0.8，淘汰品概率为0.2，8分
可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的，
设X表示这件产品中淘汰品的件数，则，10分
所以
12分
18．（12分）
【详解】（1）由，，
可得；1分
；2分
；3分
（2）证明：由题可得，5分
又因为6分
则数列是首项为1，公比为2的等比数列；7分
（3）由（2）可得，即，8分
，
，9分
前n项和，
，
两式相减可得，
化简可得．12分
19．（12分）
【详解】（1）在中，．
所以，即．2分
又因为，在平面PAD中，，3分
所以平面PAD．4分
（2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，所以平面PAB，由平面PAB，得．
由（1）知，且已知，5分
故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，．6分
所以，，，
因为E为PD中点，
所以．
由知，7分
设平面AEF的法向量为，
则
即
令，则，．于是9分
由（1）知平面PAD，所以平面PAD的法向量为10分
所以11分
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为12分
20．（12分）
【详解】（1）由在椭圆C：上，轴，
得半焦距，，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为．3分
（2）由，，A，B，C，D为椭圆上的四个动点且AC，BD交于原点O，
得，，
由，得，4分
当直线AB垂直于坐标轴时，等式不成立，因而直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AB的方程为，
由，化简可得，5分
，
则，，6分
而，，
于是，
则
整理得，解得，8分
由对称性不妨设，则，
则，
所以为定值．9分
直线AB的方程为，即，
则点O到直线AB的距离为，显然，，
又，
所以11分
当且仅当时取等号，此时，
因此，，
所以四边形ABCD面积的最大值为4．12分
21．（12分）
【详解】（1）．
由题设得，，
故，．4分
（2）当时，等价于，
下面证明：当时，．
设，，则6分
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．8分
又，，，，
所以，使得，9分
所以当或时，；
当时，．
故在和上单调递增，
在上单调递减，10分
又，所以．
故当时，恒成立．12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）
【详解】（1）由题意可得直线l的普通方程为2分
对于曲线C，因为
所以4分
所以曲线C的普通方程为．5分
（2）直线l的参数方程的标准形式为，6分
将其代入曲线C的方程得，所以，，7分
可知，，
10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）
【详解】（1）当时，，
解，即，解得；1分
当时，，
解，即，解得，无解；`2分
当时，，
解，即，解得．3分
综上所述，不等式的解集为4分
（2）由（1）可知，5分
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数的最小值为2，所以，
所以．7分
由柯西不等式可得，，8分
当且仅当时，等号成立．9分
所以，
所以10分
产品
合格品
淘汰品
调试前
24
16
调试后
48
12
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
产品
合格品
淘汰品
总计
调试前
24
16
40
调试后
48
12
60
总计
72
28
100