上海市长宁区2024年中考数学冲刺试题（含解析）

这是一份上海市长宁区2024年中考数学冲刺试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．不解方程，判别一元二次方程2x2-6x=1的根的情况是 （ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
3．如图，直线与直线交于点，点的横坐标为1，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第三象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
4．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧
C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
6．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线互相垂直且平分D．对角线互相垂直
二、填空题
7． ．
8．用科学记数法可以将12800000表示为 ．
9．函数的自变量的取值范围是 ．
10．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上的点所表示的数为 ．
11．已知(a2+b2)2﹣(a2+b2)﹣6=0，则a2+b2= ．
12．如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．
13．有4张正面分别写有数字，，1，4的卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后，随机抽取一张卡片记下数字为a后不放回，再从余下的三张中随机再抽取一张卡片记下数字为b，则满足为非正数的概率是 ．
14．从全市份数学试卷中随机抽取份试卷，其中有份成绩合格，估计全市成绩合格的人数约为 人．
15．如图，在梯形中，，E、F分别是边的中点，设，那么等于 （结果用的线性组合表示）．
16．用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”，若AB＝15，AF＝12，则小正方形EFGH的面积为
17．如图，在中，是上一点，，，则 ；
18．如图，等腰△ABC中，AB=AC，BC=8．已知重心G到点A的距离为6，则G到点B的距离是 ．
三、解答题
19．已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
20．．
21．如图，已知三点，直线与反比例函数上在第一象限的图象交于点，连接．
(1)求直线和反比例函数的表达式．
(2)点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，若以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标．
22．食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A,B两种饮料均需加入同一种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2g, B饮料每瓶需加该添加剂3g,已知270g该添加剂刚好生产了A,B饮料共115瓶，求A,B两种饮料各生产了多少瓶？
23．在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
(1)求证：BC＝CF；
(2)点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝3，GF＝7，求AH的长．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(-1，0)，C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值．
25．在平面直角坐标系中，已知的半径为2，点，P为平面上一点，如果点P绕着点A逆时针旋转的对应点在上，则称点P是关于点A的垂点．

(1)在点，，中，是关于点A的垂点的是______．
(2)过点A的直线上存在关于点A的垂点，求k的取值范围．
(3)点B为平面上一点，且．以点为圆心，为半径的上存在关于点B的垂点．直接写出点t的取值范围．
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
180
180
185
185
方差（cm2）
3.6
7.1
7.4
3.6
参考答案：
1．B
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A.原式＝2，故该选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故该选项符合题意；
C.原式＝，故该选项不符合题意；
D.原式＝，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．A
【详解】试题解析：把原方程2x2-6x=1变形为：2x2-6x-1=0
∵a=2，b=-6，c=-1，
∴△=b2-4ac=（-6）2-4×2×（-1）=40，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
考点：根的判别式．
3．C
【分析】观察图象得：对于函数来说，随的增大而减小，故①正确；再由直线过点，可得，再根据直线经过第一，三象限，可得，从而得到函数的图象经过第一，二，三象限，故②错误；观察图象得：不等式的解集是，故③正确；根据直线与直线交于点，可得，故④正确，即可．
【详解】解：观察图象得：对于函数来说，随的增大而减小，故①正确；
∵直线过点，
∴，
观察图象得：直线经过第一，三象限，
∴，
∴函数的图象经过第一，二，三象限，故②错误；
观察图象得：当时，直线位于直线的下方，
∴不等式的解集是，故③正确；
∵直线与直线交于点，点的横坐标为1，
∴，故④正确；
故选：C
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．D
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
【详解】解：∵丙和丁的平均数最大，都是185，
又∵，
∴成绩好又发挥稳定的运动员是：丁．
故选：D
【点睛】本题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5．B
【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．
【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；
B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；
D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识．
6．B
【分析】根据矩形、菱形的性质进行判断，每个选型详细分析即可答案
【详解】A.对角线互相平分.矩形和菱形的对角线都互相平分，所以A不符合题意
B. 对角线相等.矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，所以B符合题意
C. 对角线互相垂直且平分.矩形对角线不具有垂直平分的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，所以C不符合题意.
D. 对角线互相垂直.矩形对角线不一定互相垂直，菱形对角线互相垂直，所以D不符合题意.
故选：B
【点睛】本题考查矩形、菱形的性质判断，对角线的性质.
7．
【分析】分别化简负整数指数幂和零指数幂，然后再进行计算．
【详解】解：
故答案为：2021．
【点睛】本题考查负整数指数幂和零指数幂的计算，掌握计算法则正确计算是解题关键．
8．1.28×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：将12800000用科学记数法表示为：1.28×107．
故答案为：1.28×107．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
9．且
【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．据此可得自变量x的取值范围．
【详解】解：由题可得，，
解得：且．
故答案为：且
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
10．/
【分析】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：面积为2的正方形的顶点在数轴上，
，
，
点在数轴上，且表示的数为，
数轴上的点所表示的数为，
故答案为：．
11．3
【分析】设a²+b²=λ，则原式变为关于的一元二次方程，解此方程即可．
【详解】∵(a²+b²+1)(a²+b²)−6=0，
∴(a²+b²) ²+(a²+b²)−6=0，
设a²+b²=λ，则该方程变为，
解得：λ=3或−2，
即a²+b²=3或−2(舍去)．
∴a²+b²的值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，应用换元法是解题的关键，但注意换元后参数的取值．
12．．
【分析】根据抛物线的平移变换规律：“上加下减，左加右减”，即可直接得出结果．
【详解】抛物线的平移变换规律为“上加下减，左加右减”，
将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移变换，属于基础题，熟练掌握抛物线的平移变换规律是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件结果数目m，然后利用概率公式计算事件的概率．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能得结果，其中为非正数的有6种结果．
所有满足为非正数的概率是．
故答案为：．
14．8400
【分析】由题意可知：抽取500份试卷中合格率为，则估计全市10000份试卷成绩合格的人数约为份．
【详解】解：（人．
故答案为：8400．
【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，解题的关键是明白利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
15．．
【分析】作AH∥EF交BC于H，首先证明四边形EFHA是平行四边形，再利用三角形法则计算即可．
【详解】作AH∥EF交BC于H．
∵AE∥FH，∴四边形EFHA是平行四边形，∴AE=HF，AH=EF．
∵AE=ED=HF，∴．
∵BC=2AD，∴2．
∵BF=FC，∴，∴．
∵．
故答案为．
【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
16．9
【分析】根据题意，在Rt△ABF中，利用勾股定理得到，再结合四个直角三角形全等，求出小正方形边长为，从而求出小正方形EFGH的面积．
【详解】解：在Rt△ABF中，，AB＝15，AF＝12，根据勾股定理可得，
∵四个直角三角形全等，
∴BG＝AF＝12，
∴FG＝BG﹣BF＝12﹣9＝3，
∴S▱EFGH＝FG2＝32＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用勾股定理求出BF的长．
17．20
【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数，进而求得的度数即可．
【详解】解：∵，
设，
在中，
解得：，
故的度数为，
故答案为：．
18．5.
【详解】试题分析：过点A作AD⊥BC于D，连接BG，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，再根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍求出DG=×6=3，∵BC=8，∴BD=×8=4，在Rt△BDG中，BG===5，即G到点B的距离是5．
故答案为5．
考点：三角形的重心．
19．
【分析】根据数轴上点的位置判断出ab，a，b的正负，原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：b＜0＜a，且|a|＜|b|，
∴ab＞0，
∴
【点睛】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，判断出各式的正负是解本题的关键．
20．，，，
【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
【详解】解：
将①因式分解得：，
∴或
将②因式分解得：
∴或
∴原方程化为：，，，
解这些方程组得：，，，
∴原方程组的解为：，，，．
【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
21．(1)，
(2)或或或
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式；平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先求出一次函数解析式，再求出，即可求出反比例函数表达式；
（2）设点，由平行四边形的性质列出等式即可求解．
【详解】（1）设直线的解析式为，
把点代入得，
，
解得：，
故直线的解析式为，
将点代入得，解得，
故点，
将代入得，
故反比例函数的表达式为．
（2）设点，
∵以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，
故或，
解得或或或，
∴或或或．
22．A种饮料生产了75瓶，B种饮料生产了40瓶.
【分析】设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（115-x）瓶，根据添加剂的总重量=A种饮料单瓶添加量×生产瓶数+B种饮料单瓶添加量×生产瓶数即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设A种饮料生产了x瓶，根据题意可得：
2x+3(115-x)=270
解得：x=75
115-x=40(瓶)
答：A种饮料生产了75瓶，B种饮料生产了40瓶．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合平行四边形的性质，利用证明可证明结论；
（2）根据平行线的性质及可求得，再利用可得，通过证明列比例式可求得 ，进而求解AH的长．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形
∴，，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明和 是解题的关键．
24．（1）y=-x2+2x+3；（2）CN+MN+MB的最小值为．
【分析】（1）y=-x2+bx+c经过点C，则c=3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y=-x2+bx+3，即可求解；
（2）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CG⊥BH交于点G，CG交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，即可求解．
【详解】解：（1）将A(-1，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c得：
，解得：，
即抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）首先构造出MB，将AB绕点B逆时针旋转30°，交y轴于H，过M作MG⊥BH于G，则MG=MB，
CN+MN+MB的最小值即CN+MN+MG的最小值，
由图可知，当C、N、M、G共线，且CG⊥BH时，取得最小值，
∵∠MBG=30°，
∴∠HCG=30°，
∵OB=3，∠ABH=30°，
∴OH=，
∴CH=3+，
∴CG=CH·cs30°=，
即CN+MN+MB的最小值为．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、旋转的性质、垂线段最短、解直角三角形等知识．确定出点M、N的位置是解答本题的关键．
25．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由题意可知，在上任意点绕着点A顺时针旋转所得的点均是关于点A的垂点，可知点绕着点A顺时针旋转所得点的坐标为，即可知关于点A的垂点在以点为圆心，半径为2的圆上，在利用两点坐标公式判断三个点是否在上即可求解；
（2）由可知，得，设存在是关于点A的垂点，由（1）知在上，可知存在，则有解，可得，求解即可；
（3）同（1）可知，在上任意点绕着点顺时针旋转所得的点均是关于点的垂点．如图，将点绕着点顺时针旋转所得点，则关于点的垂点在以点为圆心，半径为2的圆上，由旋转可知，，，，可得，求得，可知点在以点为圆心，半径为2的圆上，要使得以点为圆心，为半径的上存在某点是于点B的垂点，则，由三角形三边关系可知，可得，
求解即可．
【详解】（1）∵点P绕着点A逆时针旋转的对应点在上，则称点P是关于点A的垂点．
∴在上任意点绕着点A顺时针旋转所得的点均是关于点A的垂点．
则点绕着点A顺时针旋转所得点的坐标为，

即：关于点A的垂点在以点为圆心，半径为2的圆上，
∵，，，
∴，
，
，
∴只有点在上，即：是关于点A的垂点；
故答案为：；
（2）将代入中，
可得：，
∴，
设存在是关于点A的垂点，由（1）知在上，
即：存在，
则有解，整理得：，
∴，
解得：，即：或，
综上，当或时，过点A的直线上存在关于点A的垂点；
（3）同（1）可知，在上任意点绕着点顺时针旋转所得的点均是关于点的垂点．如图，将点绕着点顺时针旋转所得点，则关于点的垂点在以点为圆心，半径为2的圆上，
由旋转可知，，，，
∴，均为等腰直角三角形，
则，，，
∴，，
∴，
∴，则，
∴点在以点为圆心，半径为2的圆上，

要使得以点为圆心，为半径的上存在某点是于点B的垂点，
则，
由三角形三边关系可知：，
∴，
∴，
可得：；
综上，当时，以点为圆心，为半径的上存在关于点B的垂点．
【点睛】本题考查旋转得性质，图形与坐标，相似三角形的判定及性质，圆与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系，熟悉相关几何图形的性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键．