数学北师大版第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定教学ppt课件

这是一份数学北师大版第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定教学ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了学习目标，情境导入，探究新知，典例精析，课堂练习，中点四边形，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
1．探索并证明正方形的判定定理，进一步发展推理能力．2．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？
只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形
议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？
答：（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理．矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础．这三个方法还可写成：
（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线垂直的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）有一个角是直角的菱形是正方形．
证明：（2）已知：如图，四边形ABCD是矩形，且AB=AD．求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°．又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形．
（3）已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD是对角线，且AC⊥BD．求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OD=OB，∠DAB=90°又∵AC⊥BD，OA=OA ∴∠DOA=∠BOA=90°∴△ABD≌△BAC（SAS）
∴AD=AB∴四边形ABCD是正方形．
（4）已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=90°求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD．又∵∠A=90°． ∴四边形ABCD是正方形．
（5）已知：如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD是对角线，且AC=BD．求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC．又∵AB=BA，BD=AC， ∴△ABD≌△BAC（SSS） ∴∠DAB=∠CBA．又∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°∴∠DAB=∠CBA=90°∴四边形ABCD是正方形
做一做：我们知道，任意画一个四边形，以四边中点为顶点可以组成一个平行四边形。那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
答：正方形.可以证明中点四边形的四边相等，角为直角．
议一议： （1）以菱形或矩形各边中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明。如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ （2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？
答：（1）矩形，菱形，平行四边形。 （2）新四边形的形状与原四边形的两条对角线有关。当原四边形的两条对角线互相垂直时，新四边形是矩形；当原四边形的两条对角线相等时，新四边形是菱形；当原四边形的两条对角线互相垂直且相等时，新四边形是正方形。
例 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC= ∠ABC=45°，∠ECB= ∠DCB=45°
∴∠EBC=∠ECB．∴EB=EC．∴□BECF是菱形（菱形的定义）．在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°．∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
1．下列判断正确的是（ ）．A．四条边相等的四边形是正方形B．四个角相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2．如图，已知菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）．A．14 B．15 C．16 D．17
3．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE=8，BF=5，则EF的长是______．
4．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为______．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由．
解：四边形CEDF是正方形．理由如下：如图，作DG⊥AB于点G．∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF=DG．同理可得DG=DE．∴DF=DE．∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DF=DE，∴四边形CEDF是正方形．
6．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
证明：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD．又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．∴∠ADB=∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°．又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB=∠CDB， PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．∴四边形MPND是正方形
1．正方形的判定方法：（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线垂直的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）有一个角是直角的菱形是正方形．