初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定教学课件ppt

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1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．
1．什么叫做矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？
3．矩形有什么特有的性质呢？
（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．
4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）．
5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？
做一做:如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．
得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．思考：你能证明你的猜想吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD．又∵BC=BC，AC=BD，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．
∵AB//CD，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．
想一想:我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．同理可证：AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形．
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．
几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．
归纳 矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形方法2：对角线相等的平行四边形是矩形方法3：有三个角是直角的四边形是矩形
议一议：你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性．
答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．
如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴ AC=BD=2OA=2×4=8．
例 　如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴ ．
1．下列命题错误的是（ ）．A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形B．对角互补的平行四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．
3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°
∴∠A=∠D=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．求证：□ABCD是矩形．
证明：如图，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE= AC= BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
我们学过的矩形的判定方法有：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．