2024年山东省济宁市嘉祥县九年级第二次中考模拟考试数学试题 （原卷版+解析版）

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2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．
3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写，务必在题号所指示的答题区域内作答．
5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A B. 0C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴最大的数是2．
故选：C
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等的运算能力．运用同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算法则进行逐一计算、辨别即可．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、不能合并，故错误，不合题意；
故选：B．
3. 如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
故选：A．
4. 将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可得，再根据即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵，
，
∵，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
5. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：
根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数与方差的意义解答即可.
【详解】解: 由平均数可知，,
甲与丙二选一,
又由方差可知，,
选择丙.
故选：C
【点睛】本题考查数据的平均数与方差的意义,理解两者所代表的的意义是解答关键.
6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根可知道判别式大于等于零且，解不等式即可求解．
【详解】解：∵方程有实数根，
∴，，
∴，且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
7. 如图，在中，，则（ ）

A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由圆周角定理得，由得，，，在中，由，计算即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．
8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
【详解】解：过点D作于M，如图，
由勾股定理可求得，
由题中作图知，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为为；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．
9. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可得，，，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④．
【详解】解：二次函数开口向下，则，
二次函数对称轴为，则，，，
∴，故①正确；
∵过点，
∴由对称性可得二次函数与轴的另一交点为，
由函数图象可得时，
，故②正确；
时，
，
代入得：，故③错误；
∵对称轴是直线，
∴若，即时，，
∴当时，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离
∵二次函数开口向下
∴，故④正确．
综上所述，正确的选项是①②④．
故选： D．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．
10. 根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A. 100B. 121C. 144D. 169
【答案】B
【解析】
【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
【详解】解：根据图中数据可知：
则，，
∵第个图中的，
∴，
解得：或(不符合题意，舍去)
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
11. 据云测平台实测数据显示，网络理论下载速度可以达到每秒以上，将数据用科学记数法表示为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
13. 三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是________．
【答案】（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）．
【解析】
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵△AOB顶点B坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（-），6×（-）），即（2，4）或（-2，-4），
故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为______．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r．
【详解】解：由题意得：母线长l为，，
，
∴，
故答案为：2．
15. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，由EG＝2，确定在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明（SAS）， 可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，由EG＝2，可得在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，
∵正方形ABCD，
∴

∴
∵DE=DF，
∴（SAS），
∴
∴当三点共线时，最短，则最短，
∵位BC 中点，
∴
此时
此时
所以CF的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
三、解答题：（本大题共7个小题，共55分）
16. 先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
【详解】解：
，
解不等式得：，
∵a为正整数，
∴，，，
∵要使分式有意义，
∴，
∵当时，，
∴，
∴把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
17. 某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：

请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【答案】（1），，．
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据的人数和频率可求抽取总人数，再由频率的定义求出a、b、c即可；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：抽取学生总数（人），
，
，
．
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如图：
【小问3详解】
画树状图如下：

共有6种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18. 如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．

（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）如图，过点C作轴于点D，证明，利用相似三角形的性质得到，求出点C的坐标，代入可得反比例函数解析式，设的表达式为，将点代入即可得到直线的表达式；
（2）先求得直线l的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标．
【小问1详解】
如图，过点C作轴于点D，

则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
将点C代入中，
可得，
∴，
设的表达式为，
将点代入可得，
解得：，
∴的表达式为；
【小问2详解】
直线l的解析式为，
当两函数相交时，可得，
解得,,
代入反比例函数解析式，
得，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识．
19. 某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【解析】
【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
元，
答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.
【小问2详解】
解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，
根据题意得出：，
整理得：，
根据二次函数的性质得出：当时，利润最大，
最大利润为：，
答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键．
20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21. 约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“化益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
（1）如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
（2）如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的恰好经过点．
①求证：直线与相切；
②若的直径为，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解一元二次方程等知识，理解“华益美三角”的含义，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，

∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
【小问2详解】
①证明：连接，如图，

由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
22. 如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为抛物线第一象限内动点，求四边形的面积的最大值；
（3）如图2，点从点出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．当是直角三角形时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）如图1，连接，过点坐轴，交于点， 待定系数法求解析式为，设，则，，根据，然后求最值即可；
（3）由勾股定理得，则，由题意知，运动5秒后停止，当时，在上运动，当时，在上运动，①当时，是直角三角形分和两种情况求解；②当时，在上运动，分和两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：将，代入得，
解得，
，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图1，连接，过点坐轴，交于点，
图1
当时，，即，
设解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴解析式为，
设，则，，
∴
，
∵，
∴当时，，
∴四边形的面积的最大值为；
【小问3详解】
解：由勾股定理得，
∴，
由题意知，从运动到需要秒，从运动到再到需要秒，
∴运动5秒后停止，当时，在上运动，当时，在上运动，
①当时，是直角三角形分和两种情况求解：
当时，如图2，则，
图2
∴，即，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴当时，是直角三角形；
当时，如图3，
图3
∴，即，
解得，（不合题意舍去）
当时，时，是直角三角形；
②当时，在上运动，
当，是直角三角形，如图4，，
图4
∴，即，
解得，
经检验，是分式方程解；
当时，过点做轴，如图5，
图5
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，即 ，整理得，
∵，
∴此方程无解，
当时，时，是直角三角形；
综上所述，或时，是直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与面积综合，二次函数与特殊的三角形综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，正弦，余弦等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与面积综合，二次函数与特殊的三角形综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，正弦，余弦是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均数
169
168
169
168
方差
6.0
17.3
5.0
19.5
成绩/分
频数/人
频率
10
0.1
15
b
a
0.35
40
c