2024年云南省昆明市寻甸回族彝族自治县、昆明市区县联考中考第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

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（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时中国的商业活动中，以余钱为正，以亏钱为负，如果余钱5文记为，那么亏钱3文记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正数和负数．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：如果余钱5文记为，那么亏钱3文记为，
故选：A．
2. 如图摆放的下列几何体中，俯视图是圆的几何体共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从上边看到的图形为俯视图，即可求解．
【详解】球、圆柱和圆锥的俯视图是圆，
∴俯视图是圆的几何体共有3个，
故选：C．
3. 2023年云南省共有初中1708所，在校生1886600人，比上年增加23300人，增长1.25%（数据来源《云南省2023/2024学年初全省教育事业发展统计公报》）．数字1886600用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：数字1886600用科学记数法表示为，
故选：B．
4. 如图，的外角，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可求解．
【详解】解：，，
．
故选：D．
5. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得到答案．
【详解】解：选项A、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
6. 用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列代数式，主要要明确题中给出的文字语言包含的运算关系，先求倍数，然后求差，最后求平方，即可．
【详解】解：a的3倍与b的差的平方为，
故选：D．
7. “共建书香社会，共享现代文明”，2024年4月23日至25日，全国第三届全民阅读大会在昆明举行，学校举行了师生读书活动，小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A. 8，9B. 12，10C. 9，12D. 9，9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）排序，中间一个数或者中间两个数的平均数即为这组数据的中位数，出现次数最多的数为众数，据此作答即可．
【详解】∵共30名学生，
∴中位数为第15个和第16个数的平均数，即，
∵9出现的次数最多，
∴众数为9，
故选：D．
8. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式可得答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选B．
9. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端． 已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据镜面反射可得，进而证明，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】如图，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：B．
10. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方计算，单项式除以单项式，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
11. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3．则的值是（ ）
A 3B. C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例的图象与性质的应用．依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解．
【详解】解：由题意，设，
．
又，
．
故选：A．
12. 如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理．根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
故选：A．
13. 观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，，，，，…按照上述规律，第n项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了单项式规律问题的解决能力．根据题目中所给式子，对第个单项式的系数和次数出现的规律进行猜想、归纳，再代入求解．
【详解】解：第1个单项式为：，
第2个单项式为：，
第3个单项式为：，
，
第个单项式为：，
故选：C．
14. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进15捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需300元．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识．设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，根据“购进10捆种菜苗和5捆种菜苗共需175元；购进15捆种菜苗和10捆种菜苗共需300元”，可得出关于，的二元一次方程组．
【详解】解：设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，
根据题意得：，
故选：B．
15. 如图，的顶点，顶点，分别在第二、三象限，且轴，若，，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质．根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质写出点的坐标．
【详解】解：设与轴交于点，
，，，
，
由勾股定理得：，
点的坐标为，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：2x2-12x+18，
=2(x2-6x+9)，
=2(x-3)2．
故答案为：2(x-3)2．
【点睛】本题考查了利用提公因式法和完全平方公式分解因式，掌握和灵活运用分解因式的方法是解决本题的关键．
17. 正八边形的每个外角为_________．
【答案】
【解析】
【分析】正多边形的外角都相等，用外角和除以边数8，即得一个外角度数．
【详解】∵正多边形每个内角都相等
∴正多边形每个外角都相等．
又∵多边形外角和为
∴正八边形的一个外角为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查正多边形角的计算．其关键点是要抓住外角和为与边数无关，和每个内角都相等．
18. “爱护眼睛，拥抱光明”．某校数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表：
抽取的学生视力情况统计表
抽取的学生视力情况统计图
若该校共有学生1600人，估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为__________人．
【答案】720
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体．根据类型的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽查的人数；再用总人数乘样本中视程度为中度和重度所占比例即可．
【详解】解：所抽取的学生共有：（人），
中度近视所占百分比为：，
（人），
估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为720人．
故答案为：720．
19. 如图，是定滑轮的装置图，如果定滑轮的半径，当定滑轮顺时针旋转了时，物体上升的高度为__________．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可．
【详解】，
∴物体上升的高度为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，利用零指数幂、负整数指数幂的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：原式
21. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质．先根据平行线的性质得，进而可依据判定，然后根据全等三角形的性质可得出结论．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
，
．
22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩． 已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． 求A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
【答案】A型号充电桩的单价为0.9万元，则B型号充电桩的单价为1.2万元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据“用15万元购买型充电桩与用20万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可．
【详解】解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，
根据题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
．
答：型充电桩的单价为0.9万元，则型充电桩的单价为1.2万元．
23. 现有甲，乙两个不透明的袋子，甲袋的3个小球分别标有数字1，2，3；乙袋的3个小球分别标有数字2，3，4（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同）． 小明、小红两人玩摸球游戏，小明从甲袋中随机摸出一个小球，小红从乙袋中随机摸出一个小球．
（1）请用列表或树状图列出小明、小红摸出球的数字的所有的结果；
（2）若小明、小红两人摸到小球的数字之和为奇数时则小明胜，否则小红胜，请问这个游戏公平吗？
【答案】（1）见解析 （2）不公平
【解析】
【分析】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数即可；
（2）根据概率公式先求出小明、小红各自胜概率，再进行比较，即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意列表得：
共有9种等可能的情况数；
【小问2详解】
解：共有9种等可能的情况数，其中小明、小红两人摸到小球的数字之和为奇数的情况数有5种，
小明胜的概率是，小红胜的概率是，
，
这个游戏不公平．
24. 在乡村振兴活动中，某电商正在热销一种当地特色商品，其成本为50元/，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少． 商家决定当售价为80元/时，改变销售策略，稳住销量．该商品销售量与售价x（元/）满足如图所示的函数关系（其中）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当售价为90元时，该商家获得的利润最大，最大利润为10000元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设y与x的表达式为：，分两种情况：和，利用待定系数法求解即可；
（2）根据商家所获利润=每件商品的利润×销售量，每件商品的利润=销售成本-成本，销售量分和两种情况代入后，分别求出相对应的二次函数的最大值，比较后可得售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少即可．
【小问1详解】
设y与x的表达式为：，
当时，
将点代入上式得：，
解得：，
函数的表达式为：，
当时，
将点代入上式得：，
解得：，
函数的表达式为：，
与x的函数关系式为：；
【小问2详解】
设获得的利润为w元，
①当时，，
，
当时，w有值最大，最大值为6250元；
②当时，，
，
，
当时，W随x的增大而增大，
当时，W有最大值为10000（元），
综上所述，当售价为90元时，该商家获得的利润最大，最大利润为10000元．
25. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，平分，交边于点，过点作于点．求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为．
【解析】
【分析】本题考查了矩形判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，，，再证明，得，则，进而得，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，，，再证明是等腰直角三角形，得，，然后证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：由（1）可知，四边形是矩形，
，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即的长为．
26. 已知抛物线（，a，m是常数）．
（1）点，在抛物线上，判定抛物线顶点在x轴的上方或下方？并直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）我们根据抛物线的图象特征可得：若该抛物线上存在两点，，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方；当该抛物线的顶点纵坐标小于0时，抛物线与x轴一定有两个交点． 请运用上面的结论解决问题：设，，，抛物线，当时，判断，，，哪个正确？并说明理由．
【答案】（1）下方，
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求出函数解析式二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式，即可作答；
（2）分别求出，时图象经过点的坐标，继而得出抛物线上存在两点，，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，得出，就可求解．
【小问1详解】
∵点，在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
∴抛物线的顶点在x轴的下方；
【小问2详解】
，理由如下：
当时，；
抛物线过点．
当时，，
；
抛物线过点．
，
，
由，抛物线上存在两点，，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，
，
，
，
．
27. 如图，是的直径，点C为上一动点，CD⊥AB于点E，交于点D，交过点A的直线于点F，． 且当时，．
备用图
（1）求证：直线是的切线；
（2）点G为的中点，当点C从A出发在上运动一周又回到点A处时，求点G经过的路径长；
（3）当时，过点A，O，D三点的圆交于点H，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）证明，结合，证明，再结合直角三角形中两锐角互余可得结论；
（2）如图，连接，．由点G为的中点，可得，则当点C从A出发在上运动一周又回到点A处时，点G经过的路径是以为直径的圆，再进一步解答即可；
（3）连接，，，设，相交于点M．分两种情况：①当在点O的左边时，②当在点O的右边时，如图，再进一步利用垂径定理与锐角三角函数解答即可．
【小问1详解】
证明：
是半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，．
点G为的中点
，
当点C从A出发在上运动一周又回到点A处时，点G经过的路径是以为直径的圆．
，，
，
在中，，
设⊙O的半径为r，则，
由勾股定理可得：
解得：．
点G经过的路径长为以为直径的圆周长，即．
【小问3详解】
连接，，，设，相交于点M．
分两种情况：
①当在点O的左边时
，
是过点A，O，D三点的圆的直径，
，，
而，
∴，
∴，
垂直平分，
是的直径
，
，
，
，
在中，，
∴
，
，
，
∵，，，
∴，，，
∴，
，
在中，，
，
．
②当在点O的右边时，如图
此时
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的确定，圆周角定理的应用，切线的判定，锐角三角函数的应用，平行线分线段成比例的含义，三角形的中位线的性质，本题的综合程度高，难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．人数
6
7
10
7
课外书数量（本）
6
7
9
12
类别
检查结果
人数
A
正常
80
B
轻度近视
C
中度近视
70
D
重度近视
1
2
3
2
3
4