2024年山东省青岛市中考二模数学试题 （原卷版+解析版）

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1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
3. 如图所示几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
【详解】解：如图所示的几何体的主视图如下：

故选：D．
【点睛】此题主要考查了三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
4. 常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A. 24.24千米B. 72.72千米C. 242.4千米D. 727.2千米
【答案】D
【解析】
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程，求解即可．
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得
解得：
∴等腰三角形底边长为毫米千米．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算．
5. 如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可．
【详解】∵三点，，的对称点坐标为，，，结合，
∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
故坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称特点和平移规律是解题的关键．
6. 如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、积的乘方、单项式乘以单项式和同底数幂除法法则进行判断即可．
【详解】A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘以单项式和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接，
∵点I是的内心，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
9. 如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，

∴△BAF≌△EAF(SAS)
∴BF=EF
∴AF⊥BE
又∵AF＝4，AB＝5，
∴
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴
即
∵，
∴
∴
∴
∴
在Rt△BDF中，，，
∴
故选：A
【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10. 一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可．
【详解】根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，该几何体的表面积为：
．
故选B．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还原出几何体是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
【详解】解：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
12. 一组数据6，4，x，3，2的平均数是5，则这组数据的方差为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可．
【详解】解：∵数据6、4、x、3、2平均数为5，
∴（6+4+x+3+2）÷5=5，
解得：x=10，
∴这组数据的方差是×[(6-5)2+(4-5)2+(10-5)2+(3-5)2+(2-5)2]=8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义．
13. 已知实数满足，则_________．
【答案】8
【解析】
【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
14. 《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：___________．
【答案】
【解析】
【分析】设有人，物品价值为元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程组即可解答．
【详解】解：设有人，物品价值为元，
由题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程组．根据题意、正确找到等量关系是解题关键．
15. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为．
16. 小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 _____．（填序号，多选、少选、错选都不得分）

【答案】①②③
【解析】
【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0），可判断⑤．
【详解】∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹．
17. 请在平面内确定一点，使得点到的两边、的距离相等，且点到、两点的距离也相等.
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，作的角平分线，
作的中垂线，
两线的交点为.
结论：点即为所求.
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线性质、角平分线的性质，解题的关键是灵活运用线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质解决问题．
四．解答题（本题满分68分，共有8道小题）
18. （1）解不等式组：.
（2）化简：
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可；
（2）首先把括号里的式子进行通分，然后进行因式分解，再约分化简即可求解．
【详解】解：（1）解不等式①：，，
解不等式②：，，
∴不等式的解集为：；
（2）原式
，
.
故答案为（1）；（2）.
【点睛】本题考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的基本步骤及分式的混合运算顺序、法则．
19. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中，A组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

（1）A组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是_______度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜行为为（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【答案】（1）69，74，54；
（2）见解析 （3）大约有1725名学生达到适宜心率．
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解，先求出总人数，然后求出B组所占的百分比，最后乘以即可求出在统计图中B组所对应的扇形圆心角；
（2）根据样本估计总体的方法求解即可．
【小问1详解】
将A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
∴中位数为；
∵74出现的次数最多，
∴众数74；
，
∴在统计图中B组所对应的扇形圆心角是；
故答案为：69，74，54；
【小问2详解】
∴C组的人数为30，
∴补全学生心率频数分布直方图如下：
【小问3详解】
（人），
∴大约有1725名学生达到适宜心率．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键．
20. 在不透明的口袋中，装有3个分别标有数字1、2、3的小球，它们除标示的数字外完全相同，小红、小明和小亮用这些道具做摸球游戏.游戏规则如下：由小红随机从口袋中摸出一个小球，记录下数字，放回摇匀，再由小明随机从口袋中摸出一个小球，记录下数字，放回摇匀.如果两人摸到的小球上数字相同，那么小亮获胜；如果两人摸到的小球上数字不同，那么小球上数字大的一方获胜.
（1）请用树状图或列表的方法表示一次游戏中所有可能出现的结果；
（2）这个游戏规则对三人公平吗？请说明理由.
【答案】（1）根据题意，列表见解析；（2）游戏对三人公平.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列表列出所有等可能结果；
（2）结合列表，利用概率公式计算出三人获胜的概率，比较大小即可得．
【详解】解：（1）根据题意，列表如下：
（2）总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中数字相同的结果有3种，小红获胜的结果有3种，小明获胜的结果有3种.
（小亮获胜）；（小红获胜）；（小明获胜）.
∵（小亮获胜）=P（小红获胜）=P（小明获胜）.
∴游戏对三人公平.
故答案为（1）根据题意，列表见解析；（2）游戏对三人公平.
【点睛】本题考查树状图法与列表法求概率，游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）

【答案】大楼的高度为．
【解析】
【分析】如图，过作于，过作于，而，则四边形矩形，可得，，求解，，可得，，可得．
【详解】解：如图，过作于，过作于，而，

则四边形是矩形，
∴，，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴大楼的高度为．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．
22. 如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）待定系数法求函数解析式；
（2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算．
【小问1详解】
解：把代入中，，
解得，
∴，
把代入中，，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入可得，
解得，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴C点坐标为，
过点C作轴，交于点，

在中，当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．
23. 即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
【答案】（1）；（2）能正常进入；（3）650元
【解析】
【分析】（1）根据题意可写出E点，N点和抛物线顶点坐标．再设该抛物线表达式为，即利用待定系数法可求出该抛物线解析式．
（2）令，即求出方程的两个根，比较两个根的差的绝对值和3米的大小即可判断．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，由此即可求出AB、CD和AD的长，即可列出W和t的二次函数关系式，最后利用二次函数的顶点式求出其最值即可．
【详解】（1）根据题意可知E(0，4)、N(4，4)、抛物线顶点(2，6)．
设该抛物线表达式为，
∴，解得：，
由图可知自变量x的取值范围是．
故该抛物线表达式为．
（2）对于，当时，即，
解得：，，
∵，
∴该消防车能正常进入．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，
根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，
∴，．
∴，即．
∵，
∴最多需要花费650元．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
24. 已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，见解析
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定解答即可；
（2）由全等三角形的性质和菱形的判定四边形ADCF是菱形，根据正方形的判定解答即可．
【详解】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，D是BC的中点，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，
理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，则AF=DB，
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴菱形ADCF是正方形．
【点睛】此题考查全等三角形的判定，全等三角形的性质以及菱形的判定，正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．
25. 6月1日是儿童节，为了迎接儿童节的到来，兰州某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
（3）在（2）条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具获利W（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？
【答案】（1）甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）故商场共有四种进货方案：方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；（3）W＝﹣5m+960，最大利润860元.
【解析】
【分析】(1)设甲种玩具进价为x元/件，则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件，根据用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解；
(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48﹣m)件，根据甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解；
(3)先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可．
【详解】(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件，
根据题意，得，
解得x＝15，
经检验x＝15是原方程的解，
则40﹣x＝25，
答：甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48﹣m)件，
由题意，得，
解得20≤m＜24，
∵m是整数，
∴m取20，21，22，23，
故商场共有四种进货方案：
方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；
方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；
方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；
方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；
(3)设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利W元，则购进乙种玩具(48﹣m)件，
根据题意得：W＝(30﹣15)m+(45﹣25)(48﹣m)＝﹣5m+960，
∵比例系数k＝﹣5＜0，
∴W随着m的增大而减小，
∴当m＝20时，有最大利润W＝﹣5×20+960＝860元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，列分式方程解实际问题的应用，一元一次不等式解方案设计问题的应用，找出题中的等量关系与不等关系是解题的关键．
26. 如图，矩形中，，E是上一点，，连接．点P从点E出发，沿方向向点B匀速运动，同时点Q从点C出发，在的延长线上匀速运动，P，Q的运动速度均为．连接交于F，设点P，Q的运动时间为．
（1）当t为何值时，？
（2）设四边形面积为，求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）过点P作于G，在P，Q运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求出线段的长度．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
（4）不变，
【解析】
【分析】（1）由，可得，由此构建方程即可解决问题；
（2）如图1中，作于H．根据计算即可；
（3）构建方程即可解决问题；
（4）如图2中，作交于M．想办法证明即可解决问题
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴时，．
【小问2详解】
解：如图1中，作于H．
由，可得，
∴，
∴，
∴
．
【小问3详解】
解：由题意：，
整理得：，
解得或（舍弃），
∴时，；
【小问4详解】
解：不变，
如图2中，作交于M．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解决问题．
小红 小明
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