2024年山东省济宁市曲阜市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．
3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．
5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 为了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为，最高气温为，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的减法的应用．这天的温差就是最高气温减去最低气温的差，由此列式得出答案即可．
【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为，
故选：D．
2. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此逐项判定即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，树高与影长的比相等”对各选项进行判断．
【详解】解：两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，树高与影长的比相等，所以A选项满足条件．
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】A．与不是同类项不能合并，故A错误；
B．，底数不变指数相加，故B错误；
C．，故C正确；
D．，底数不变指数相减，故D错误；
故选：C．
5. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数．
在下列统计量，不受影响的是（ ）
A. 中位数，方差B. 众数，方差C. 平均数，中位数D. 中位数，众数
【答案】D
【解析】
【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案．
【详解】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为，
故该组数据的众数为15岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，
则中位数为：岁，
故统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
【点睛】本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6. 如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为( )
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出 ， ，故为等腰直角三角形，再根据锐角三角函数即可得出答案.
【详解】连接AQ，BQ，
，
，且，
为等腰直角三角形
,


故选A
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键.
7. 如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（ ）
A. 10个B. 9个C. 7个D. 6个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形内角和定理等知识，先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵多边形是正五边形，
∴内角是，
，
，即10个正五边形能围城这一个圆环，
所以要完成这一圆环还需7个正五边形
故选：C
8. 如图，矩形的对角线、相交于点，，过点作，过点作，、交于点，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=OG，，所以由锐角三角函数定义作答即可．
【详解】矩形的对角线、相交于点，，
设，．
如图，过点作直线交线段延长线于点，连接交于点．
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形．
与垂直平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
．
故选A．
【点睛】此题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的定义，解题关键在于作辅助线
9. 如图所示，在x轴的正半轴上依次截取，过，分别作x轴的垂线与反比例函数的图像交于点,并设面积分别为，按此作法进行下去，（n为正整数）的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数中k的几何意义再结合图象即可解答．
【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，．
又因为，
所以，，，，，
，
依此类推：的值为．
故选：D．
10. 如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②③⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ①②④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤．
【详解】在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
∴，
∴
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了提公因法分解因式，提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络，截至年底，光缆线路总长度达至千米，其中数用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：59580000用科学记数法可表示为．
故答案为：
13. 若，是关于x的方程的两个实数根，则代数式的值是___________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意得到，，再将所求式子变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程解的概念，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14. 二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 __．
【答案】或
【解析】
【分析】由二次函数的部分图象过，对称轴为，可得点关于对称轴的对称点为，从而可得方程的根是或1，即可得方程的根满足或1，故方程的根是或．
【详解】解：由图可得，二次函数的图象过，对称轴为，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴方程的根是或1，
∴方程的根满足或1，
∴方程的根是或．
故答案为：或．
15. 如图，是的直径，点在上，，，．若的半径为1，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由可知，分别求出扇形的面积，再根据阴影部分扇形即可求解
详解】连接，
，
即
的半径为1
扇形
阴影部分扇形
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式等知识，掌握以上知识求得是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共55分．
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算（涉及特殊角的三角函数值、分母有理化、负整数指数幂和有理数的乘方），解分式方程．
（1）先计算幂运算，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可得解；
（2）将分式方程改为整式方程求解，再验算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
经检验是原方程的解
故原方程的解为．
17. 某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）随机调查的顾客有 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
（4）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200，90°；（2）见解析；（3）405；（4）．
【解析】
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“现金”人数所占比例即可得；
（2）根据题意将条形统计图补充完整即可；
（3）用总人数乘以对应百分比可得“支付宝”的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）这次活动共调查了（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200（人），
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝90°，
故答案为：200，90°
（2）微信的人数为200×30%＝60（人），银行卡的人数为200×15%＝30（人），
补全图形如下：
（3）选择“支付宝”支付的人约有1800×＝405（人）；
（4）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
【点睛】本题是条形统计图与扇形统计图的综合，分别考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，简单事件的概率等知识，关键是读懂统计图，并能从统计图中获取有用的信息．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出，并写出点的坐标；
（2）将绕着点O按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标；
（3）求出（2）中点A旋转到点所经过的路径长．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形在平面直角坐标系点的平移变化，记住对应点一定作相同的变化即可；
（2）根据旋转性质，绕点逆时针旋转，结合图形，对应点易求解；
（3）求点旋转到点所经过的路径长，转化为求弧长即可．
【小问1详解】
如图，

∵点的对应点，
∴横坐标，纵坐标，
∴点即，
【小问2详解】
如图，旋转点的坐标为，
【小问3详解】
如图，点旋转到点 所经过的路径是弧长，
由旋转性质可知，，，
∴点旋转到点所经过的弧长为．
【点睛】本题考查了旋转变换和平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，弧长公式的应用．
19. 【综合与实践】
矩形种植园最大面积探究
【解决问题】
根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？
【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式．
（1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可；
（2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：方案1：∵，则，
∴，
∵，
∴当时，．
方案2：设，
则，
∴．
∵，当时，．
∵，
∴矩形种植园面积最大为．
20. 如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，只要证明，则有，即可证明结论成立；
（2）由圆周角定理，求得，然后证明△ACD∽△DCB，求出CD的长度，再根据勾股定理，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：连接OD，如图
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∵∠BDC=∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴CD是⊙O的切线．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵△ABD是直角三角形，
∴，
∵，，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则
，
∴，
解得：；
∴⊙O的半径为；
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，从而进行解题．
21.
（1）【阅读理解】如图①，在中，，是斜边上的中线．试判断与的数量关系．解决此问题可以用如下方法：延长至点，使，连接，．易证四边形是矩形，得到，即可作出判断．则与的数量关系为 ；
（2）【问题探究】如图②，直角三角形纸片中，，点是边的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，求的长度；
（3）【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形中，，，是边中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点M所经过的路径长是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）延长到，使，连接，，则，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）如图2中，设交于点．证明，可得结论；
（3）过点作，，如图，证明四边形为正方形，再证明．推出．为等腰直角三角形，可得结论．
【小问1详解】
解： ，理由如下：
延长到，使，连接，，则，
是斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，
；
【小问2详解】
解：如图2中，设交于点．
，，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：过点作，，如图，
，，
．
是边中点，
，
同理：，
，
．
四边形为正方形，
．
，
，
．
．
在和中，
，
．
．
为等腰直角三角形，
当点从点运动到点时，的中点所经过的路径为，中点的连线，
即所经过的路径为，
，，
，
的中点所经过的路径长为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解直角 三角形，折叠问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22. 如图，抛物线与轴交于点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式中，求出b即可；
（2）求出点B的坐标，求出直线的解析式，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F；设点C的坐标后，则由相似三角形的性质，可表示出点D的坐标，由点D在抛物线上，则可求得点D的坐标；
（3）存在；由定边定角知，作的外接圆，连接，过M作轴于N，则可得是等腰直角三角形，垂直平分，从而可求得M的坐标及圆的半径；设点P的坐标，由建立方程，即可求得点P的坐标．
【小问1详解】
解：把点A的坐标代入函数解析式中，，
解得：，
故所求解析式为；
【小问2详解】
解：∵点B在抛物线，
∴，
即；
设直线解析式为为，
则有，
解得：，
∴直线解析式为为；
过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图，

设，则；
∵，
∴，
∴，
则，
∴；
∵点D在抛物线上，
∴，
解得：，
则点D的坐标为；
【小问3详解】
解：存在；
如图，作的外接圆，连接，过M作轴于N，
∴，
∴是等腰直角三角形，垂直平分，
∴，
∴M坐标为，的半径；
设点P的坐标为，
则，
即，
由于，
∴方程整理得：，
解得：，
点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，运用了方程思想，综合运用这些知识是解题的关键．
年龄（岁）
12岁
13岁
14岁
15岁
16岁
人数（个）
2
8
3
情境
劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．
图1
图2
分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
方案一：将墙的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
方案二：将墙的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．