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2024年云南省楚雄彝族自治州楚雄市中考三模数学试题 （原卷版+解析版）
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这是一份2024年云南省楚雄彝族自治州楚雄市中考三模数学试题 （原卷版+解析版），文件包含2024年云南省楚雄彝族自治州楚雄市中考三模数学试题原卷版docx、2024年云南省楚雄彝族自治州楚雄市中考三模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15 小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 市场调研机构公布的数据显示，2024年前六周，某款手机销量同比去年减少，记作，另一款手机销量同比去年增加，记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反意义的量解答即可．
本题考查了相反意义的量，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】根据题意，得另一款手机销量同比去年增加，记作，
故选：C．
2. 2023年我国出生人口约为9020000人，将9020000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此可得出结果．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图，，，则（ ）
A. 120°B. 110°C. 80°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．先利用邻补角的性质求得的度数，再利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：不能合并，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故选：B．
5. 下列几何体的三视图均为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
分别写出各个立体图形的三视图，判断即可．
【详解】解：A．圆台的主视图、左视图都是梯形、俯视图是圆形，故本选项不符合题意；
B．三棱柱的主视图、左视图是矩形、俯视图三角形，故本选项不合题意；
C．长方体的三视图均为矩形，故本选项符合题意；
D．圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆形，故本选项不合题意；
故选：C．
6. 关于反比例函数的图像与性质，下列说法中正确的是（ ）
A. 它的图像位于第一、三象限B. 点在它的图像上
C. y随x的增大而增大D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练利用反比例函数图象与系数的关系，反比例函数的对称性及反比例函数增减性．根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法即可求解．
【详解】解：A、因为反比例函数中，所以它的图象在第二、四象限，故本选项错误；
B、因为当时，，所以点不在它的图像上，故本选项错误；
C、因为反比例函数中，该函数图象在每一象限内随增大而增大，但整体不是y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、当时，随的增大而增大，当时，，所以，故本选项正确．
故选：D．
7. 随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．
【详解】解：A中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
8. 云南某中学为了进一步落实初中学生学业水平考试美术科目赋分制度，决定在本学期继续开展（A．绘画，B．书法，C．剪纸，D．平面设计）四个类型的美术作品展示活动，学校从全校初中学生中抽取部分学生进行抽样调查，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本容量为400
B. 类型D的人数为80人
C. 类型C所对应的扇形的圆心角度数为
D. 若该校共有初中学生1200人，则该校选择类型B的学生大约有350人
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的知识是解题的关键．
根据类100人占可计算样本容量，根据占可计算类型的人数，可得类型的人数，根据类140人总样本容量即可得所占百分比，类型所占百分比可得所对扇形的圆心角度数，根据类型的人数即可判断选项D．
【详解】解：(人)，
∴样本容量为400，故A正确；
类型的人数是(人)，故B错误；
∴类型的人数为(人)，
，
∴类型所占百分比为，
∴类型所对应的扇形的圆心角为，故C错误，
∵类型的人数为120人，
若该校共有初中学生1200人，
∴则该校选择类型B的学生大约有人．故D错误，
故选：A．
9. 如图，是的直径，点C，D在上，若，，则的长为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．
先根据直径所对的圆周角是直角求出，然后根据圆周角定理的推论得，再依据含角的直角三角形的性质求出长，最后根据勾股定理求长即可．
【详解】解：为直径，
，
和是同弧所对的圆周角，
，
，
，
．
故选：D．
10. 按一定规律排列单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的规律探究，解题的关键是根据单项式找到规律．通过观察单项式发现：，，，，，则第个数为；，，，，发现前一项乘以等于后一项，得第个数为．
【详解】∵，，，，
∴，，，，
则第个单项式为，
故选：C．
11. 正n边形的一个外角为，则n的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据正多边形外角和为360度进行求解即可．
【详解】解：∵正n边形的一个外角为，
∴n的值为．
故选：B．
12. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x≤2C. x≥2D. x≠2
【答案】B
【解析】
【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，
根据二次根式被开方数必须是非负数和的条件，
要使在实数范围内有意义，必须
故选：B
13. 某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到72条建议，则这组的党员人数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该小组共有人，则每人需提条建议，根据该党小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程，再解方程即可．
【详解】解：设该小组共有人，则每人需提条建议，
根据题意得：，
（不符合题意），．
答：该小组共有9人．
故选：C．
14. 如图，点D、E分别在的、边上，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．根据已知条件求出两个三角形的相似比是解决问题的关键．
首先得到，通过，可以得到与的面积的比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
15. 自然常数e，圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值(所有近似值保留到小数点后一位)在（ ）
A. 之间B. 之间C. 之间D. 之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，求一个数的算术平方根，根据代入运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：=_________________________．
【答案】
【解析】
【详解】解：==．
故答案为．
17. 如图，，要使，需添加的一个条件是________________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据三角形相似的判定定理，选择条件即可．
本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似的判定定理是解题的关键．
【详解】∵
∴，
当，
故，
故答案为：．
18. 昆明市某中学在开展寒假阅读征文活动中，收到七年级1~7班学生作品数量（单位：篇）依次为：30，28，25，30，27，30，26．则七年级1~7班学生作品数量的中位数是________．
【答案】28
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义，熟知中位数的定义是解题的关键．
根据中位数的定义即可解答
【详解】将七年级1~7班学生作品数量排序为∶25，26，27，28，30，30，30，
所以中位数为28，
故答案为∶28．
19. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是______．
【答案】##180度
【解析】
【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：扇形的弧长等于圆锥底面周长．
得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的扇形的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角．
【详解】解：底面周长为，
解得．
∴此圆锥侧面展开图的圆心角是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键．
根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质分别计算即可；
【详解】解：原式．
21. 如图，，点C是线段的中点．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，确定用定理进行证明是解题的关键．
根据中点定义求出，又，即可证明和全等，再利用全等三角形的对应角相等进行解答．
【详解】证明：∵是的中点(已知)，
∴(线段中点的定义)，
和中，
，
∴．
∴．
22. 为了有效落实《教育部关于加强和改进中小学实验教学的意见》，某中学计划购买A，B两种品牌的科学实验套装，已知1盒B品牌科学实验套装比1盒A品牌科学实验套装贵20元，且用6400元购买A品牌科学实验套装的数量和用8000元购买B品牌科学实验套装的数量相同．求1盒A品牌科学实验套装和1盒B品牌科学实验套装的价格分别为多少元？
【答案】1盒A品牌科学实验套装为80元，1盒B品牌科学实验套装为100元
【解析】
【分析】设1盒 A 品牌科学实验套装为x元，则1盒B品牌科学实验套装为元，根据题意列方程求解即可．
本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
【详解】设1盒 A 品牌科学实验套装为x元，则1盒B品牌科学实验套装为元，根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：1盒A品牌科学实验套装为80元，1盒B品牌科学实验套装为100元．
23. 为了拓宽学生的视野，探索云南的历史和文化，昆明某中学初中部和高中部将分别从A：云南民族村，B：世博园，C：七彩云南欢乐世界，D：云南野生动物园四个地点中选择一个学生最喜爱的地点进行研学活动．
（1）该中学初中部选择去“七彩云南欢乐世界”研学的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法求该中学初中部和高中部选择去同一地点研学的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法以及概率公式，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有16种等可能的结果，其中两所学校选择相同目的地有4种情况，再由概率公式求解即可；
【小问1详解】
解：∵从A，B，C，D四个地点中选择一个，共有4种等可能结果，
∴选择去“七彩云南欢乐世界”研学的概率是；
【小问2详解】
列表如下：
由上表可知，共有16种等可能结果，其中初中部和高中部选择去同一地点研学的等可能结果有4种，分别为，
所以选择去同一地点的概率为，
即：P（选择去同一地点）
24. 在矩形中，对角线，相交于点E，延长到C，使得，延长到D，使得，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）96
【解析】
【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，证明四边形是菱形即可；
（2）根据矩形，，得到，，结合，得到，利用勾股定理，得到，求得k值， 利用菱形面积公式解答即可．
本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
小问2详解】
∵矩形，，
∴，，
∵，
设，
∴，
解得（舍去），
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴四边形面积是，
故四边形面积是96．
25. 根据以下素材，完成探究学习任务．
【答案】任务1：，任务2：当该水果的销售单价为元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．
任务1，运用待定系数法求解即可；
任务2，先求出利润与单价的关系式，再利用其性质求解即可．
【详解】解：任务1：设y与x函数关系式为，
∵点，在的图象上，
解得
∴y与x之间的函数关系式为；
任务 2：设商家获得的利润为 W 元，
根据题意得：，
∵，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，W 随x的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，最大值为(元)，
∴当该水果的销售单价为20元斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是元．
26. 点和在以直线为对称轴的抛物线上．
（1）若其开口大小与抛物线相同，当时，求m的值与抛物线的解析式；
（2）抛物线上存在一点若分别求m及的取值范围．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据判定点和是对称点，得到，结合开口大小与抛物线相同，得到，继而求得，确定解析式即可．
（2）根据抛物线上存在一点得到，结合得到，建立不等式计算即可．
本题考查了抛物线的对称性，不等式组的构建与解答，正确构建不等式组是解题的关键．
【小问1详解】
∵，
∴点和是对称点，
∴，
∵开口大小与抛物线相同，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
【小问2详解】
∵抛物线上存在一点，
∴，
∵抛物线，
∴开口向上，且距离对称轴的距离越大，其对应的函数值越大，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得．
27. 已知在中，，以边为直径作，与边交于点D，点E为边的中点，连接，．
（1）求证：是的切线
（2）求证：
（3）点P为直线上任意一动点，连接．当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）连接，分别证明，得到和，再利用等式的性质得解；
（2）证明，再利用相似三角形的性质即可得解；
（3）分①当点 P 在线段 上时和②当点 P 在的延长线上时两种情况讨论，运用勾股定理、等面积法和解直角三角形的相关知识即可得解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵点 E为边 的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
【小问3详解】
解：①当点 P 在线段BC 上时，如图，过点 P 作 于点T，
在 中，
设 ，
∴，
∴，
解得：
即
②当点 P 在的延长线上时，如图，过点 C 作于点G，
设，则，
在中，
即
解得： (舍去)，
设，则
在 中，
即
解得： (舍去)，
综上所述，的长为或 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆的切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，等面积法等知识，综合性较大，运用分类讨论和正确作出辅助线是解题的关键．
A
B
C
D
A
B
C
D
如何为商家设计利润最大化的销售方案？
素材1
某商家销售一种水果，成本价为10元/斤．
素材2
销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的2倍．
素材3
在销售过程中发现，每天的销售量y(斤)与销售单价x(元/斤)满足如图所示的一次函数关系：
问题解决
任务1
模型建立
求每天的销售量y(斤)与销售单价x(元/斤)的函数关系式；
任务2
拟定利润最大化的销售方案
当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15 小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 市场调研机构公布的数据显示，2024年前六周，某款手机销量同比去年减少，记作，另一款手机销量同比去年增加，记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反意义的量解答即可．
本题考查了相反意义的量，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】根据题意，得另一款手机销量同比去年增加，记作，
故选：C．
2. 2023年我国出生人口约为9020000人，将9020000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此可得出结果．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图，，，则（ ）
A. 120°B. 110°C. 80°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．先利用邻补角的性质求得的度数，再利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：不能合并，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故选：B．
5. 下列几何体的三视图均为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
分别写出各个立体图形的三视图，判断即可．
【详解】解：A．圆台的主视图、左视图都是梯形、俯视图是圆形，故本选项不符合题意；
B．三棱柱的主视图、左视图是矩形、俯视图三角形，故本选项不合题意；
C．长方体的三视图均为矩形，故本选项符合题意；
D．圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆形，故本选项不合题意；
故选：C．
6. 关于反比例函数的图像与性质，下列说法中正确的是（ ）
A. 它的图像位于第一、三象限B. 点在它的图像上
C. y随x的增大而增大D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练利用反比例函数图象与系数的关系，反比例函数的对称性及反比例函数增减性．根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法即可求解．
【详解】解：A、因为反比例函数中，所以它的图象在第二、四象限，故本选项错误；
B、因为当时，，所以点不在它的图像上，故本选项错误；
C、因为反比例函数中，该函数图象在每一象限内随增大而增大，但整体不是y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、当时，随的增大而增大，当时，，所以，故本选项正确．
故选：D．
7. 随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．
【详解】解：A中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
8. 云南某中学为了进一步落实初中学生学业水平考试美术科目赋分制度，决定在本学期继续开展（A．绘画，B．书法，C．剪纸，D．平面设计）四个类型的美术作品展示活动，学校从全校初中学生中抽取部分学生进行抽样调查，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本容量为400
B. 类型D的人数为80人
C. 类型C所对应的扇形的圆心角度数为
D. 若该校共有初中学生1200人，则该校选择类型B的学生大约有350人
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的知识是解题的关键．
根据类100人占可计算样本容量，根据占可计算类型的人数，可得类型的人数，根据类140人总样本容量即可得所占百分比，类型所占百分比可得所对扇形的圆心角度数，根据类型的人数即可判断选项D．
【详解】解：(人)，
∴样本容量为400，故A正确；
类型的人数是(人)，故B错误；
∴类型的人数为(人)，
，
∴类型所占百分比为，
∴类型所对应的扇形的圆心角为，故C错误，
∵类型的人数为120人，
若该校共有初中学生1200人，
∴则该校选择类型B的学生大约有人．故D错误，
故选：A．
9. 如图，是的直径，点C，D在上，若，，则的长为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．
先根据直径所对的圆周角是直角求出，然后根据圆周角定理的推论得，再依据含角的直角三角形的性质求出长，最后根据勾股定理求长即可．
【详解】解：为直径，
，
和是同弧所对的圆周角，
，
，
，
．
故选：D．
10. 按一定规律排列单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的规律探究，解题的关键是根据单项式找到规律．通过观察单项式发现：，，，，，则第个数为；，，，，发现前一项乘以等于后一项，得第个数为．
【详解】∵，，，，
∴，，，，
则第个单项式为，
故选：C．
11. 正n边形的一个外角为，则n的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据正多边形外角和为360度进行求解即可．
【详解】解：∵正n边形的一个外角为，
∴n的值为．
故选：B．
12. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x≤2C. x≥2D. x≠2
【答案】B
【解析】
【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，
根据二次根式被开方数必须是非负数和的条件，
要使在实数范围内有意义，必须
故选：B
13. 某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到72条建议，则这组的党员人数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该小组共有人，则每人需提条建议，根据该党小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程，再解方程即可．
【详解】解：设该小组共有人，则每人需提条建议，
根据题意得：，
（不符合题意），．
答：该小组共有9人．
故选：C．
14. 如图，点D、E分别在的、边上，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．根据已知条件求出两个三角形的相似比是解决问题的关键．
首先得到，通过，可以得到与的面积的比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
15. 自然常数e，圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值(所有近似值保留到小数点后一位)在（ ）
A. 之间B. 之间C. 之间D. 之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，求一个数的算术平方根，根据代入运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：=_________________________．
【答案】
【解析】
【详解】解：==．
故答案为．
17. 如图，，要使，需添加的一个条件是________________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据三角形相似的判定定理，选择条件即可．
本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似的判定定理是解题的关键．
【详解】∵
∴，
当，
故，
故答案为：．
18. 昆明市某中学在开展寒假阅读征文活动中，收到七年级1~7班学生作品数量（单位：篇）依次为：30，28，25，30，27，30，26．则七年级1~7班学生作品数量的中位数是________．
【答案】28
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义，熟知中位数的定义是解题的关键．
根据中位数的定义即可解答
【详解】将七年级1~7班学生作品数量排序为∶25，26，27，28，30，30，30，
所以中位数为28，
故答案为∶28．
19. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是______．
【答案】##180度
【解析】
【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：扇形的弧长等于圆锥底面周长．
得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的扇形的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角．
【详解】解：底面周长为，
解得．
∴此圆锥侧面展开图的圆心角是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键．
根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质分别计算即可；
【详解】解：原式．
21. 如图，，点C是线段的中点．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，确定用定理进行证明是解题的关键．
根据中点定义求出，又，即可证明和全等，再利用全等三角形的对应角相等进行解答．
【详解】证明：∵是的中点(已知)，
∴(线段中点的定义)，
和中，
，
∴．
∴．
22. 为了有效落实《教育部关于加强和改进中小学实验教学的意见》，某中学计划购买A，B两种品牌的科学实验套装，已知1盒B品牌科学实验套装比1盒A品牌科学实验套装贵20元，且用6400元购买A品牌科学实验套装的数量和用8000元购买B品牌科学实验套装的数量相同．求1盒A品牌科学实验套装和1盒B品牌科学实验套装的价格分别为多少元？
【答案】1盒A品牌科学实验套装为80元，1盒B品牌科学实验套装为100元
【解析】
【分析】设1盒 A 品牌科学实验套装为x元，则1盒B品牌科学实验套装为元，根据题意列方程求解即可．
本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
【详解】设1盒 A 品牌科学实验套装为x元，则1盒B品牌科学实验套装为元，根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：1盒A品牌科学实验套装为80元，1盒B品牌科学实验套装为100元．
23. 为了拓宽学生的视野，探索云南的历史和文化，昆明某中学初中部和高中部将分别从A：云南民族村，B：世博园，C：七彩云南欢乐世界，D：云南野生动物园四个地点中选择一个学生最喜爱的地点进行研学活动．
（1）该中学初中部选择去“七彩云南欢乐世界”研学的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法求该中学初中部和高中部选择去同一地点研学的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法以及概率公式，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有16种等可能的结果，其中两所学校选择相同目的地有4种情况，再由概率公式求解即可；
【小问1详解】
解：∵从A，B，C，D四个地点中选择一个，共有4种等可能结果，
∴选择去“七彩云南欢乐世界”研学的概率是；
【小问2详解】
列表如下：
由上表可知，共有16种等可能结果，其中初中部和高中部选择去同一地点研学的等可能结果有4种，分别为，
所以选择去同一地点的概率为，
即：P（选择去同一地点）
24. 在矩形中，对角线，相交于点E，延长到C，使得，延长到D，使得，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）96
【解析】
【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，证明四边形是菱形即可；
（2）根据矩形，，得到，，结合，得到，利用勾股定理，得到，求得k值， 利用菱形面积公式解答即可．
本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
小问2详解】
∵矩形，，
∴，，
∵，
设，
∴，
解得（舍去），
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴四边形面积是，
故四边形面积是96．
25. 根据以下素材，完成探究学习任务．
【答案】任务1：，任务2：当该水果的销售单价为元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．
任务1，运用待定系数法求解即可；
任务2，先求出利润与单价的关系式，再利用其性质求解即可．
【详解】解：任务1：设y与x函数关系式为，
∵点，在的图象上，
解得
∴y与x之间的函数关系式为；
任务 2：设商家获得的利润为 W 元，
根据题意得：，
∵，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，W 随x的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，最大值为(元)，
∴当该水果的销售单价为20元斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是元．
26. 点和在以直线为对称轴的抛物线上．
（1）若其开口大小与抛物线相同，当时，求m的值与抛物线的解析式；
（2）抛物线上存在一点若分别求m及的取值范围．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据判定点和是对称点，得到，结合开口大小与抛物线相同，得到，继而求得，确定解析式即可．
（2）根据抛物线上存在一点得到，结合得到，建立不等式计算即可．
本题考查了抛物线的对称性，不等式组的构建与解答，正确构建不等式组是解题的关键．
【小问1详解】
∵，
∴点和是对称点，
∴，
∵开口大小与抛物线相同，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
【小问2详解】
∵抛物线上存在一点，
∴，
∵抛物线，
∴开口向上，且距离对称轴的距离越大，其对应的函数值越大，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得．
27. 已知在中，，以边为直径作，与边交于点D，点E为边的中点，连接，．
（1）求证：是的切线
（2）求证：
（3）点P为直线上任意一动点，连接．当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）连接，分别证明，得到和，再利用等式的性质得解；
（2）证明，再利用相似三角形的性质即可得解；
（3）分①当点 P 在线段 上时和②当点 P 在的延长线上时两种情况讨论，运用勾股定理、等面积法和解直角三角形的相关知识即可得解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵点 E为边 的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
【小问3详解】
解：①当点 P 在线段BC 上时，如图，过点 P 作 于点T，
在 中，
设 ，
∴，
∴，
解得：
即
②当点 P 在的延长线上时，如图，过点 C 作于点G，
设，则，
在中，
即
解得： (舍去)，
设，则
在 中，
即
解得： (舍去)，
综上所述，的长为或 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆的切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，等面积法等知识，综合性较大，运用分类讨论和正确作出辅助线是解题的关键．
A
B
C
D
A
B
C
D
如何为商家设计利润最大化的销售方案？
素材1
某商家销售一种水果，成本价为10元/斤．
素材2
销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的2倍．
素材3
在销售过程中发现，每天的销售量y(斤)与销售单价x(元/斤)满足如图所示的一次函数关系：
问题解决
任务1
模型建立
求每天的销售量y(斤)与销售单价x(元/斤)的函数关系式；
任务2
拟定利润最大化的销售方案
当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
相关试卷
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