北师大版八年级数学下册期末考试点对点压轴题训练(二)(B卷22、23题)(原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册期末考试点对点压轴题训练(二)(B卷22、23题)(原卷版+解析)，共60页。
2．如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________．
3．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．
4．如图，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为12，则的面积为________．
5．如图，在中，，点P是内一动点，连接，则的最小值为________．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E是AB边上一点，且CE＝CB＝4，则△AEC的面积为_____．
7．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为_____cm．
8．已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝_____．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则的最小值为______．
11．如图，在长方形ABCD中，已知2AD＝3AB，将线段AB绕点A逆时针旋转度（）后得到线段，连接，．若是等腰三角形，则可以找到______个符合条件的的值．
12．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD＝4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _____．
13．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
14．如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为______．
15．如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为________．
16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 _____．
17．如图，线段、（）的长是方程的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，当线段取最小值时点的坐标是__________，此时线段的最小值为__________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是__________，△CDE的周长是__________．
19．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为______．
20．如图为等边三角形，点是边上一点，且．将绕点按逆时针方向旋转后，若点恰好落在初始等边的边上，则的值为______．
21．如图，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）一条动直线l分别与BC、OA交于 点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为____,
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，将BOC沿直线BD翻折得到BOF，BF交AD于点E，则＝____________．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作RtMPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则AMQ周长的最小值为___．
24．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC＋GC的最小值为____．
25．如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___．
27．如图，在四边形中，，四边形的面积为，连接对角线，则的最小值为______．
28．如图，在中，为线段上一点，将沿翻折，点落在点处，延长至点连接，且，若，则的值是___．
29．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为____．
30．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为____．
31．如图，已知在中，，，．为所在平面内的一个动点，且满足，为线段的中点，连结，则线段长的最大值为______．
32．如图，在中，延长到点，延长到点，使得连接，延长交于点若，则_____．
33．如图，长方形中，点是线段上一动点，连接，则的最小值为_____．
34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是______．
35．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AB＝13k，AE＝5k，设阴影部分的面积为S，则S与k的数量关系为 ___．
期末考试点对点压轴题训练（二）（B卷22、23题）
1．如图，等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，以为边作等边三角形，连接，

是等边三角形，点是的中点，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
当点在线段上时，有最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________．
【答案】13
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DPBQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PBDQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE==13．
∴PC+PB的最小值为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．
【答案】2.5
【分析】先判断四边形的形状，再连接，利用正方形的性质得出是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出即可．
【详解】∵四边形 是边长为4的正方形， ，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴ ，是等腰直角三角形，
∵是的中点，即有 ，
∴，是直角三角形，
又∵是中点，，
∵
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
4．如图，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为12，则的面积为________．
【答案】5
【分析】连接，过作的垂线，利用勾股定理可得，易得的面积，可得和的面积，三角形与三角形同底，利用面积比可得它们高的比，而又是以为底的高的一半，可得，易得，由中位线的性质可得的长，利用三角形的面积公式可得结果．
【详解】解：连接，过作的垂线交于点，交于点，
，，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
为等腰三角形，
，为等腰直角三角形，
，
，
四边形的面积为12，
，
，
，
，，
又，
．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．
5．如图，在中，，点P是内一动点，连接，则的最小值为________．
【答案】
【分析】以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接．根据、都是等边三角形，可得，最后根据当、、、四点共线时，由，可得垂直平分，进而求得的最小值．
【详解】解：如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接．
，
由旋转可得，，
，，，，
、都是等边三角形，
，
，
当时，，
当、、、四点共线时，
由，可得垂直平分，
，，
此时．
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，利用转化思想解决问题．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E是AB边上一点，且CE＝CB＝4，则△AEC的面积为_____．
【答案】/
【分析】过点作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，设，则，，再在和中，利用勾股定理分别求出的值，建立方程可求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
，
则的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、勾股定理、二次根式的化简等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一和勾股定理是解题关键．
7．如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为_____cm．
【答案】2
【分析】连接AF，根据等边三角形的性质可得，，然后两次利用勾股定理即可解答．
【详解】解：连接AF，
∵为等边三角形，点E，D分别是边AB，AC的中点，
∴CF、BD分别垂直AB、AC，，AF=BF，
∵，
∴，
∴，
，BF=2EF，
在RtBEF中，
,
∴EF=，
∴AF=BF=4，
在RtAFD中，
FD=，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理的应用，正确的做出辅助线是解决本题的关键．
8．已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______．
【答案】 /
【分析】根据题目描述将y轴绕某个点顺时针旋转得到x轴，判断符合要求的点即可；由可知B点旋转后落在点C处，作出A点旋转后落在点处，得到、都为等边三角形，得到，进而得到结论．
【详解】：根据定义，绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”，
将y轴绕点顺时针旋转90°得到x轴，故y轴关于x轴的“90°顺合点”为点．
，
点B绕点P旋转后落在点C上，则BP=PC，
又，
，
点P在CD的垂直平分线上，
又点A在上，
则点A的对应点在上，
、都为等边三角形
，，
∵，，
，
∴，
设，则，，
，，
，．
故答案为：；．
【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“顺合点”是解题关键．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝_____．
【答案】
【分析】取BE中点G，连接GM，GN，根据三角形的中位线定理和平行线的性质可得角MGN=150度，且MG=BD的一半，NG=CE的一半，最后由勾股定理可得结论
【详解】解：如图，取BE中点G，连接GM，GN，过点M作MH⊥NG于H，
∵M是DE的中点，G是BE的中点，
∴MG是△EDB的中位线，
∴，
∴∠ABE=∠MGE，
同理得：GN是△BEC的中位线，
∴，
∴∠EGN=∠AEB，
∵∠A=30°，
∴∠AEB+∠ABE=150°，
∴∠EGN+∠EGM=150°，
∴∠MGH=30°，
∴，
∴，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可得∠EBC=30°，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，根据含30°角的直角三角形的性质可得QM=BQ，PQ+BQ最小值即为PN的长，根据平行线之间的距离相等，可得PN=AH，根据勾股定理求出AH的长即可．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵AB=6，BC=8，DE=2，
∴AE=8-2=6，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=30°，
过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
则QM=BQ，
∴PQ+BQ最小值即为PN的长，
∵AD∥BC，
∵PN=AH，
∵∠BAH=30°，AB=6，
∴BH=3，
根据勾股定理，可得AH=PN=，
∴PQ+BQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，通过构造直角三角形，找出PQ+BQ最小值即为PN的长是解题的关键．
11．如图，在长方形ABCD中，已知2AD＝3AB，将线段AB绕点A逆时针旋转度（）后得到线段，连接，．若是等腰三角形，则可以找到______个符合条件的的值．
【答案】4
【分析】根据旋转的性质可得点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上，△DB'C是等腰三角形，分情况讨论：①DB′=DC，②CB′=CD，③B′C=B′D，数形结合求解即可．
【详解】解：设AD=3x，
∵2AD=3AB，
∴AB=2x，
∵将线段AB绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜90）后得到线段AB'，
∴点B′在以A为圆心，AB的长为半径的圆弧上，
△DB'C是等腰三角形，分情况讨论：
①DB′=DC，如图所示：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB，
∴点B′在以D为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
∴两圆弧的交点即为点B′，
∵2x+2x＞3x，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α的值；
②CB′=CD，如图所示：
∴点B′在以C为圆心，CD的长为半径的圆弧上，
则两圆弧的交点即为点B′，
连接AC，
根据勾股定理，得AC=，
∵2x+2x＞，
∴存在两处满足条件的点B′，即存在两个符合条件的α值；
③B′C=B′D，如图所示：
此时点B′在线段CD的垂直平分线上，
∴线段CD的垂直平分线与圆弧的交点即为点B′，
∴存在一处满足条件的点B′，即存在一个符合条件的α值，
综上，符合条件的α值有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，旋转的性质，数形结合是解题的关键，注意分情况讨论．
12．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD＝4，点E为线段AD的中点，把线段AE绕点A逆时针旋转，连接BE，点F为线段BE的中点，在旋转过程中CF的最大值为 _____．
【答案】5
【分析】取AB的中点G，连接FG，由三角形中位线的性质得出FG＝AE＝1，得出点F在以G为圆心，1为半径的圆上，当CF经过圆心G时，CF最大，由等边三角形的性质得出CG＝AD＝4，进而求出CF的值，得出答案．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG，
∵AD＝4，点E为线段AD的中点，
∴AE＝AD＝2，
∵点F为线段BE的中点，
∴FG是△ABE的中位线，
∴FG＝AE＝1，
∴点F在以G为圆心，1为半径的圆上，
∴当CF经过圆心G时，CF最大，
∵△ABC为等边三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，
∵AD⊥BC，
∴CG＝AD＝4，
∴CF＝FG＋CG＝1＋4＝5，
∴CF的最大值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握三角形中位线的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，圆的定义是解决问题的关键．
13．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
【答案】
【分析】如图，延长到，使得，连接，过点作于点．首先证明四边形是平行四边形，推出，推出点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，求出的长，可得结论．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，
在中，，，，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形度角的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
14．如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为______．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，
是等腰直角三角形，
，，
将直线：向上平移个单位长度得到直线，
，，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，
点，点，
，
折线的长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
15．如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD=AB＝4，AE=AC=4，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝4，∠ABC＝30°，
∴，
∵点P为AC的中点，AC＝4，
∴AP=2，
当点G与点H重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段AP的延长线上时，
此时，∴，
即PG'的最小值为；
当点G与点B重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段PA的延长线上时，
此时，
∴，
即PG'的最大值为，
∴线段PG′的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，利用特殊位置求出PG'的最大值和最小值是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝1，CD，若BD恰好平分∠ABC，则BD之长为 _____．
【答案】
【分析】过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，利用ASA证明△ABD≌△CED，得AB=CE=1，再利用勾股定理求出DH的长，从而解决问题．
【详解】解：过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E，作CH⊥DE于H，
∵∠ADC=∠BDE=90°，
∴∠ADB=∠CDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠ABD=45°，
∴BD=DE，
∴∠E=∠ABD=45°，
∴△ABD≌△CED（ASA），
∴AB=CE=1，
∴CH=EH=，
在Rt△DCH中，由勾股定理得，，
∴DE=DH+EH，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，线段、（）的长是方程的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，当线段取最小值时点的坐标是__________，此时线段的最小值为__________．
【答案】
【分析】先求出一元二次方程的解得出，，AB=2，以AB为斜边的构造等腰直角三角形MAB，连接MP，AQ，过点M作交AB于点N，则是等腰直角三角形，由题意得是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得，根据则，根据相似三角形的性质得，则当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，根据垂线最短即可得．
【详解】解：，
或
∵线段OA、OB（OA