北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明B卷压轴题考点训练(原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明B卷压轴题考点训练(原卷版+解析)，共39页。
2．如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是______．
3．如图，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ，给出下列结论：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不变；
③PCQ面积的最小值为；
④当点D在AB的中点时，PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是______．
4．如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接.，与交于点，且，若，，则的长为_______________.
5．如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为___________；在点的运动过程中，的最小值为___________．
6．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为______.
7．如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为______．
8．如图，等边中，，为上一动点，，，则最小值为________．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
10．（1）如图1，在△ABC中∠A＝60 º，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.
①填空：∠BOC＝ 度；
②求证：BC＝BE+CD．(写出求证过程)
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n， CE平分∠ACB．
①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是 ．(直接写出答案)；
②若∠A=20°，则△BCE的周长等于 ．(直接写出答案)．
11．在中，，交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作垂足为E．此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
12．已知为等边三角形．
（1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．
（2）如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边三角形，求证：无论点D的位置如何变化，的内角平分线的交点P始终在的角平分线上．
（3）如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．试判断线段，，之间存在何种数量关系，并证明你的结论．
13．在锐角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D．
(1)如图1，过点B作BG⊥AC于点G，求证：AC=BF；
(2)动点P从点D出发，沿射线DB运动，连接AP，过点A作AQ⊥AP，且满足．
①如图2，当点P在线线段BD上时，连接PQ分别交AD、AC于点M、N．请问是否存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，若有，求此刻∠APD的大小；若没有，请说明理由．
②如图3，连接BQ，交直线AD与点F，当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明；当点P在DB的延长线上时，若，请直接写出的值．
14．如图，在中，是的平分线．
(1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________．
(2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：．
(3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数．
15．（1）如图1，已知，，，求证：；
（2）如图2，已知等腰，，，，是三角形外部一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点正好在线段上，求的长．
（3）如图3，已知等腰，，，，是三角形外部一点，连接，将绕点旋转90°恰好得到，请直接写出线段_________．
第一章 三角形的证明B卷压轴题考点训练
1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，过点作直线与轴交于点，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．若为直角三角形，请写出点的坐标______．
【答案】或
【详解】解：为直角三角形，分两种情况讨论：
①当时，过点作于，如图所示：
由对折可得，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，即，
，
；
②当时，如图所示：
由对折得，，，
，
，
由，可得：，
设，则，
，
，解得，
，
，
综上，或．
2．如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是______．
【答案】或
【详解】解：根据题意，若，如图所示：
此时与重合，不存在，以此为临界状态，分两种情况讨论：
①如图所示：
为等腰三角形，，
，
在长方形中，，，则，
，，
，
是等边三角形，即；
②如图所示：
为等腰三角形，
，
，是的一个外角，
，即，
在长方形中，，，则，
，，
，
在中，利用三角形内角和定理可知：
；
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
3．如图，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ，给出下列结论：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不变；
③PCQ面积的最小值为；
④当点D在AB的中点时，PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④．
【详解】①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP=CD=CQ，∴①正确；
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)
=360°﹣(120°+120°)
=120°，
∴∠PCQ的大小不变；∴②正确；
③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，tan∠QCE=，
∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，
∵CP=CD=CQ，
∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，
∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，
过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF=BC=2，即：CD最短为2，
∴S△PCQ最小===，∴③错误；
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，
∴△DPQ是等边三角形，
∴④正确，
故答案为①②④．
4．如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接.，与交于点，且，若，，则的长为_______________.
【答案】
【详解】解：如图，连接交于点
∵，，，
∴垂直平分，是等边三角形
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，，∴
∴
5．如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为___________；在点的运动过程中，的最小值为___________．
【答案】 ## ##
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
当时，则，
∵，
∴，
∴；
在线段下方作，过点E作于点F，连接，
∴，
∴，
当D、E、F三点共线时，的值最小，
此时，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
∴的最小值为．
故答案为：；．
6．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为______.
【答案】1
【详解】过点P作交于点F，如图，
∴，，是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
∴，，
∵，，
∴，
∵，
故答案为：
7．如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，
∵为等腰的高，，
∴，
∴，
当F与点G重合时，取得最小值，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．如图，等边中，，为上一动点，，，则最小值为________．
【答案】
【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴C、D、P、E四点共圆，
∴，
∴当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可得，当时，，此时最小，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的值最小为，
故答案为．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线AP的解析式为
(2)
(3)Q的坐标为或或，理由见解析
【详解】（1）解：∵，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为；
（2）过作交x轴于D，连接，
∵，的面积等于6，
∴的面积等于6，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）Q的坐标为或或．
理由如下：
设，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，
∴，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，
∴，，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，
∴，，
同②可证，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上，Q的坐标为或或．
10．（1）如图1，在△ABC中∠A＝60 º，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.
①填空：∠BOC＝ 度；
②求证：BC＝BE+CD．(写出求证过程)
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n， CE平分∠ACB．
①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是 ．(直接写出答案)；
②若∠A=20°，则△BCE的周长等于 ．(直接写出答案)．
【答案】（1）①120；②证明见解析；（2）①(或)；②m
【详解】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A，由∠A＝60 º即可得∠BOC的值；
②采用截长法在在BC上截取BF＝BE，连接OF，由边角边证得△EBO≌△FBO，再由角边角证得△DCO≌△FCO，即可得证；
（2）①当AM⊥BC时，AM+MN的值最小；
②在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，通过构造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性质即可求解.
试题解析：（1）①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
∵BD、CE均为△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BOC=90°+∠A，
∵∠A＝60 º，
∴∠BOC=90°+×60 º=120°；
故答案为120°；
②证明：由（1）①∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝180°－120°＝60°，
在BC上截取BF＝BE，连接OF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠FBO，
又∵BO＝BO(公共边相等)
∴△EBO≌△FBO(SAS)
∴∠BOF＝∠BOE＝60°，
∴∠COF＝∠BOC－∠BOF＝120°－60°＝60°＝∠COD，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCO＝∠FCO，
又∵CO＝CO(公共边相等)
∴△DCO≌△FCO(ASA)
∴CD＝CF，
∴BC＝BF+CF＝BE+CD；
（2）①如图：
当AM⊥BC时，与BC交于点D，过M作MN⊥AC交AC与点D，
∵CE平分∠ACB，
∴DM=DN，
∴AD=AM+MD=AM+MN,
此时，AM+MN的值最小，
由S△ABC=BC·AD，BC=n，△ABC的面积为S，
得AD=，
或∵AB=AC, AD⊥BC, AB=AC=m，BC=n，
∴BD=CD=,
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=；
故答案为(或)；
②如图：在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，
∵AB=AC=m，∠A=20°，
∴∠B=∠C=80°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠DCE=40°,
∵CE=CE,
∴△BCE≌△DCE,
∴∠CDE=∠B=80°,∠DEC=∠BEC=60°,BE=DE,
∴∠CDE=40°,
∵EC=EF,
∴∠EFC=∠ECF=40°,
∴∠DEF=∠CDE-∠DFE=40°,
∴DE=DF,
∠AEF=∠DFE-∠A=40°-20°=20°,
∴EF=AF,
∴BE=DF,CE=AF,
∴△BCE的周长=BC+CE+BE=CD+AF+DF=AC=m.
11．在中，，交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作垂足为E．此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
【答案】（1）证明见详解；（2）DE+DF=CG，证明见详解；（3）成立．
【详解】（1）∵，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BFC和△CGB中，

∴△BFC≌△CGB，
∴
（2）DE+DF=CG，
如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，
∵，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BMC和△CGB中，
∴△BMC≌△CGB，
∴BM=CG，
由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，
∴四边形MHDF为矩形，
∴MH=DF，DH∥MF，
∴∠HDB=∠MCB，
∴∠HDB=∠ABC，
在△BDH和△DBE中，
∴△BDH≌△DBE，
∴BH=DE，
∵BM=CG，BM=BH+HM，
∴DE+DF=CG，
（3）成立，
如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，
同（2）中的方法
∵，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BMC和△CGB中，
∴△BMC≌△CGB，
∴BM=CG，
由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，
∴四边形MHDF为矩形，
∴MH=DF，DH∥MF，
∴∠HDB=∠MCB，
∴∠HDB=∠ABC，
在△BDH和△DBE中，
∴△BDH≌△DBE，
∴BH=DE，
∵BM=CG，BM=BH+HM，
∴DE+DF=CG．
12．已知为等边三角形．
（1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．
（2）如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边三角形，求证：无论点D的位置如何变化，的内角平分线的交点P始终在的角平分线上．
（3）如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．试判断线段，，之间存在何种数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），证明见解析．
【详解】（1）∵和都是等边三角形，
∴．
∴，即．
在和中，
，
∴．
（2）过点P作于点M，交射线BA于点N，
∴，
∵为内角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，
即无论点D的位置如何变化，
的内角平分线的交点P始终在的角平分线上．
（3）在上截，连接，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴
∵E为斜边中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，∴，
∴．
13．在锐角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D．
(1)如图1，过点B作BG⊥AC于点G，求证：AC=BF；
(2)动点P从点D出发，沿射线DB运动，连接AP，过点A作AQ⊥AP，且满足．
①如图2，当点P在线线段BD上时，连接PQ分别交AD、AC于点M、N．请问是否存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，若有，求此刻∠APD的大小；若没有，请说明理由．
②如图3，连接BQ，交直线AD与点F，当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明；当点P在DB的延长线上时，若，请直接写出的值．
【答案】(1)证明过程见解析．
(2)①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，∠APD=30°，理由见解析．②BP=2DF，
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵∠B=45°
∴△ABD是等腰直角三角形
∴AD=BD
∵BG⊥AC
∴∠BGC=90°
又∵∠C=60°
∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°
∠FBD=90°-∠C=90°-60°=30°
∴∠DAC=∠FBD
在△BDF和△ADC中，
∴△BDF≌△ADC
∴AC=BF
（2）①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称
∵AQ⊥AP
∴∠QAP=90°
由(1)的证明知∠DAC=30°，根据对称的性质，得
∠PAD=∠QAC===30°
∵∠ADP=90°
∴∠APD=90°-∠PAD=90°-30°=60°
②BP=2DF
理由如下:
如图4所示,过Q作QE⊥AD，交AD与点E,那么
∠AEQ=∠FEQ=90°
∴∠AQE+∠QAE=90°
又∵∠PAD+∠QAE=90°
∴∠AQE=∠PAD
在△APD和△QAE中，
，∴△APD≌△QAE
∴AE=PD；AD=QE，∴DE=BP
又∵AD=BD，∴BD=QE
在△QEF和△BDF中，
，∴△QEF≌△BDF，∴EF=DF，∴BP=2DF
当点P在DB的延长线上时，如下图所示，
由上述证明过程可知PB=2DF，BD=AD
又已知，∴DF=AD
∴PB=2×BD=BD，∴=
14．如图，在中，是的平分线．
(1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________．
(2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：．
(3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数．
【答案】(1)三线合一，(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：∵是的平分线，，
∴
∴
∴
∵
∴（三线合一），
故答案为：三线合一；
（2）过点作，垂足分别为，连接
∵平分，是的平分线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）
∵是的平分线，
∴，
设，
∵，
∵，
∴，
∴
，
如图，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
又，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
即．
15．（1）如图1，已知，，，求证：；
（2）如图2，已知等腰，，，，是三角形外部一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点正好在线段上，求的长．
（3）如图3，已知等腰，，，，是三角形外部一点，连接，将绕点旋转90°恰好得到，请直接写出线段_________．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【详解】解：（1）如图，延长到点E，使，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴；
（2）如图，延长到F，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
过D作于G，则，
∴，
在直角中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴；
（3）将顺时针旋转得到，如图，
同理可得：是等腰直角三角形，，
又，
∴；
将逆时针旋转得到，如图，
在上取，连接，设，交于点O，
在和中，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又，
∴，
综上：的长为：或．