人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题6.1实数与数轴(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题6.1实数与数轴(原卷版+解析)，共36页。
【典例1】如图，已知实数aa>0表示在数轴上对应的位置为点P．现对点P进行如下操作：先把点P沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动t秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动a秒，得到点P′．我们把这样的操作称为点P的“回移”，点P′为点P的“回移点”
（1）当t=2时，
①若a=4，求点P的回移点P′表示的实数；
②若回移点P′与点P恰好重合，求a的值；
（2）是否存在这样的情况：原点0，点P及其回移点P′中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点?若存在，请用含a的代数式表示t；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）①根据题意求得两次平移后点P′表示的数即可；②根据题意点P表示的数为a，P′表示的数为a−t+2a=3a−t，根据重合，列出一元一次方程，解方程求解即可；
（2）根据题意分三种情形讨论，并根据对应情形中一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点列出一元一次方程，解方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：①a=4，则点P表示的数为4，
当t=2时，P以每秒1个单位的速度向左移动1×2 =2，此时点P表示的数为4−2=2
再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动4秒，则P′点表示的数为2+2×4=10
∴点P′表示的实数为10；
②根据题意，点P表示的数为a，P′表示的数为a−t+2a=3a−t
∵ t=2，P与P′点重合
∴3a−2=a
解得a=1
（2）存在，t=5a或a或7a2或5a2或6a或32a或92a或83a或103a或73a或113a.
∵点P表示的数为a a>0，
则P′表示的数为a−t+2a=3a−t
①当O是点PP′的三等分点时，P′在O点左侧，
则a=12−3a+t或a=2t−3a
解t=5a或a或t=7a2或5a2
②当P是OP′的三等分点时，P′在O点右侧，
则a=133a−t或a=233a−t
解得t=0（舍）6a或t=32a或92a
②当P′是OP的三等分点时，P′在O点右侧，
3a−t=13a或3a−t=23a
解得t=83a或103a或t=73a或113a
综上所述，t=5a或a或7a2或5a2或6a或32a或92a或83a或103a或73a或113a
1．（2022秋·福建厦门·七年级统考期中）实数x,y,z在数轴上的对应点的位置如图所示，若z+y0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；
④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc>0，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
3．（2022春·甘肃定西·七年级统考阶段练习）已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为42，若点A在数轴上表示的数为32，则点B表示的数为______．
4．（2022春·北京·七年级人大附中校考期中）如图，面积为a(a>1)的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=a时，数轴上点B′表示的数是__________（用含a的代数式表示）．
5．（2022·全国·七年级假期作业）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣2和﹣2，则M，N间的距离为 ___，MN中点表示的数是 ___．
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝23|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ___．
6．（2022秋·七年级课时练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0，2+b+c 0．
（2）化简：2+b+c−a+b+3−a−c+2．
7．（2021春·重庆·七年级统考期中）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和2．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为c．
（1）请你求出数c的值．
（2）若m为c−2的相反数，n为c−3的绝对值，求6m+n的整数部分的立方根．
8．（2022春·湖北黄石·七年级统考期中）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−10|＋|2−a|
（1）求b的值；
（2）已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
9．（2022春·福建厦门·七年级校考期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求m+1+m−1的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有2c+4与d2−16互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
10．（2022秋·浙江·七年级期末）已知A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且12ab+102+|a−2|=0，点P是数轴上的一个动点．
（1）求出A、B之间的距离；
（2）若P到点A和点B的距离相等，求出此时点P所对应的数；
（3）数轴上一点C距A点36个单位长度，其对应的数c满足|ac|=−ac．当P点满足PB=2PC时，求P点对应的数．
11．（2022春·江西南昌·七年级校考阶段练习）数轴上两点A、B在数轴上分别表示数a、b．那么A、B两点之间的距离可表示为AB＝a−b．
（1）当点A表示的数为4，点B表示的数为9时，AB＝ ；
当点A表示的数为﹣2，点B表示的数为5时，AB＝ ；
当点A表示的数为x，点B表示的数为2，且AB＝3时，点A表示的数x为 ．
（2）当x+3+x−5取最小值时，求x的取值范围，并求出x+3+x−5的最小值．
12．（2021秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（2）把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______．
（3）在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．
13．（2022春·四川自贡·七年级校考期中）若实数a，b，c在数轴上所对应点分别为A，B，C，a为2的算术平方根，b=3，C点与A点在B点的两侧，并且点A与点C到B点的距离相等
（1）求数轴上AB两点之间的距离；
（2）求c点对应的数；
（3）a的整数部分为x，c的小数部分为y，求2x3+2y的值(结果保留带根号的形式）；
14．在图4×4方格中画一个面积为2或5或8（任选之一）的格点正方形（四个顶点都在方格顶点上）；并把图中的数轴补充完整，用圆规在数轴上表示相应实数2，5，8．（任选之一）
15．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）阅读材料：若点M，N在数轴上分别表示实数m，n，那么M，N之间的距离可表示为|m−n|．例如|3−1|，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：|5+3|=|5−(−3)|表示5，−3在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目：
（1）已知A，B，C为数轴上三点，点A对应的数为2，点C对应的数为1．
①若点B对应的数为−2，则B，C两点之间的距离为 ；
②若点A到点B的距离与点A到点C的距离相等，则点B对应的数是 ．
（2）对于|x−3|+|x+4|这个代数式．
①它的最小值为 ；
②若|x−3|+|x+4|+|y−1|+|y+2|=10，则x+y的最大值为 ．
16．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）阅读理解：
某节数学课上，杜老师在复习数轴上的点与数之间的关系时，给出了以下定义：
若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离等于点C到B的距离，那么我们就称点C是点A，B的中点．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是2，那么点C是点A，B的中点．
【知识运用】
（1）如图2，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为−4，点F所表示的数为3．数 所表示的点是点E，F的中点．
（2）①如图3，若数2所表示的点G是点M，N的中点，其中点M，N所表示的数分别为m，n．那么m= ，n= .（只要写出符合条件的一对值即可）．
②若数g所表示的点G是点M，N的中点，其中点M，N所表示的数分别为m，n．那么g= .（用m，n的代数式表示）
（3）如图4，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为−10，点B所表示的数为18．现有一只电子蜗牛P从点A出发，以1个单位每秒的速度向右运动；同时另一只电子蜗牛Q从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，若点M，N分别是AP和BQ的中点，则在P，Q的运动过程中，当t= 秒时，点M，N到原点的距离相等（请直接写出答案）．
17．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
（1）折叠纸片，使表示1的点与表示−1的点重合，则表示−2的点与表示______的点重合；
（2）折叠纸片，使表示−1点与表示3的点重合，回答以下问题：
①表示5的点与表示______的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是______；点B表示的数是______．
③表示5点与表示______的点重合；
（3）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为−1和3，有一只电子小蜗牛从P点出发以每秒2个单位的速度向右移动，运动多少秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍？
18．（2022秋·江苏·七年级专题练习）数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a－3|+（b－4）2=0．
（1）请直接写出a= ，b= ；
（2）如图1，若点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点．若MP=MA，求t的值；
（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为94时，求此时点M对应的数．
19．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）如图1，点C在线段AB上，点C将线段AB分成两条不相等的线段AC，BC，如果较长线段BC是较短线段AC的π倍，即BC=πAC，则称点C是线段AB的一个圆周率点，此时，线段AC，BC称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段AB的圆周率点有两个，一个在线段AB中点的左侧（如图中点C），另一个在线段AB中点的右侧．
（1）如图1，若AC=5，则AB=______；若点D是线段AB的不同于点C的圆周率点，则AC______BD（填“=”或“≠”）．
（2）如果线段AB=3+3π，点M是线段AB的圆周率点，则AM=______．
（3）如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点C的位置．若点M、N是线段OC的两个不同的圆周率点，求线段MN的长．
（4）如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点E的位置．若点D在射线OE上，且线段ED与以O、E、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点D所表示的数．
20．（2022秋·浙江·七年级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
专题6.1 实数与数轴
【典例1】如图，已知实数aa>0表示在数轴上对应的位置为点P．现对点P进行如下操作：先把点P沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动t秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动a秒，得到点P′．我们把这样的操作称为点P的“回移”，点P′为点P的“回移点”
（1）当t=2时，
①若a=4，求点P的回移点P′表示的实数；
②若回移点P′与点P恰好重合，求a的值；
（2）是否存在这样的情况：原点0，点P及其回移点P′中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点?若存在，请用含a的代数式表示t；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）①根据题意求得两次平移后点P′表示的数即可；②根据题意点P表示的数为a，P′表示的数为a−t+2a=3a−t，根据重合，列出一元一次方程，解方程求解即可；
（2）根据题意分三种情形讨论，并根据对应情形中一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点列出一元一次方程，解方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：①a=4，则点P表示的数为4，
当t=2时，P以每秒1个单位的速度向左移动1×2 =2，此时点P表示的数为4−2=2
再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动4秒，则P′点表示的数为2+2×4=10
∴点P′表示的实数为10；
②根据题意，点P表示的数为a，P′表示的数为a−t+2a=3a−t
∵ t=2，P与P′点重合
∴3a−2=a
解得a=1
（2）存在，t=5a或a或7a2或5a2或6a或32a或92a或83a或103a或73a或113a.
∵点P表示的数为a a>0，
则P′表示的数为a−t+2a=3a−t
①当O是点PP′的三等分点时，P′在O点左侧，
则a=12−3a+t或a=2t−3a
解t=5a或a或t=7a2或5a2
②当P是OP′的三等分点时，P′在O点右侧，
则a=133a−t或a=233a−t
解得t=0（舍）6a或t=32a或92a
②当P′是OP的三等分点时，P′在O点右侧，
3a−t=13a或3a−t=23a
解得t=83a或103a或t=73a或113a
综上所述，t=5a或a或7a2或5a2或6a或32a或92a或83a或103a或73a或113a
1．（2022秋·福建厦门·七年级统考期中）实数x,y,z在数轴上的对应点的位置如图所示，若z+y|y|，
则|x+y|0，
如图2, B、C都在点O的左侧,
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc>0，
如图3, B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图4, B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图5, B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图6, B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即 bc>0，故④正确；
故选：D．
3．（2022春·甘肃定西·七年级统考阶段练习）已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为42，若点A在数轴上表示的数为32，则点B表示的数为______．
【思路点拨】
设点B表示的数为x，由A、B两点之间的距离为42，根据两点间的距离公式列出方程|x−32|=42，解方程即可．
【解题过程】
解：设点B表示的数为x，由题意，得|x−32|=42，
则x−32=42，或x−32=−42，
所以x=72或−2．
故答案为：72或−2．
4．（2022春·北京·七年级人大附中校考期中）如图，面积为a(a>1)的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A、B、C、D的对应点分别为A′、B′、C′、D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=a时，数轴上点B′表示的数是__________（用含a的代数式表示）．
【思路点拨】
根据正方形的面积得到正方形的边长，分情况讨论：当正方形ABCD沿着数轴水平向右移动时，当S=a时得到AB′=1，求出BB′，根据点B表示的数为1，可得到点B′表示的数；正方形ABCD沿着数轴水平向左移动时， 当S=a时得到A′B=1，求出BB′，根据点B表示的数为1，可得到点B′表示的数．
【解题过程】
解：如图，当正方形ABCD沿着数轴水平向右移动时，
∵正方形ABCD的面积为a，
∴正方形ABCD的边长为a，
∵移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S，
当S=a时，a⋅AB′=a，
∴AB′=1，
∴BB′=AB−AB′=a−1，
∵点B表示的数为1，
∴点B′表示的数为a−1+1=a．
当正方形ABCD沿着数轴水平向左移动时，
∵移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S，
当S=a时，a⋅A′B=a，
∴A′B=1，
∴BB′=A′B′−A′B=a−1，
∵点B表示的数为1，
∴点B′表示的数为1−a−1=2−a．
综上所述：点B′表示的数为a或2−a．
故答案为：a或2−a
5．（2022·全国·七年级假期作业）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣2和﹣2，则M，N间的距离为 ___，MN中点表示的数是 ___．
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝23|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ___．
【思路点拨】
（1）直接根据定义，代入数字求解即可得到两点间的距离；根据两点之间的距离得出其一半的长度，然后结合其中一个端点表示的数求解即可得中点表示的数；
（2）先根据|a﹣c|＝|b﹣c|与a≠b推出C为AB的中点，然后根据题意分类讨论求解即可．
【解题过程】
解：（1）由题意，M，N间的距离为2−2−−2=2−2+2=2；
∵MN=2，
∴12MN=1，
由题意知，在数轴上，M点在N点右侧，
∴MN的中点表示的数为−2+1；
（2）∵a−c=b−c=1且a≠b，
∴数轴上点A、B与点C不重合，且到点C的距离相等，都为1，
∴点C为AB的中点，AB=2，
∵23d−a=1，
∴d−a=32，
即：数轴上点A和点D的距离为32，讨论如下：
1>若点A位于点B左边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，BD=AD+AB=32+2=72；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，BD=AB−AD=2−32=12；
2>若点A位于点B右边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，BD=AB−AD=2−32=12；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，BD=AD+AB=32+2=72；
综上，线段BD的长度为12或72，
故答案为：2；−2+1；12或72．
6．（2022秋·七年级课时练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0，2+b+c 0．
（2）化简：2+b+c−a+b+3−a−c+2．
【思路点拨】
（1）当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大，据此逐个判断即可；
（2）根据绝对值的含义和求法，化简2+b+c−a+b+3−a−c+2即可．
【解题过程】
（1）解：由图可得−2