广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题

这是一份广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题，共12页。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列中，，则的值是（ ）
A.12 B.18 C.24 D.30
2.若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.离散型随机变量的分布列中部分数据丢失，丢失数据以代替，分布列如下：
则（ ）

4.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆､赏花灯､猜灯㴹.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件为“取到的2个为同一类灯谜”，事件为“取到的2个为事物谜”，则（ ）
A. B. C. D.
5.某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.有5个人到南京､镇江､扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A.300 B.360 C.390 D.420
8.如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）
A.24 B.26 C.29 D.36
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.为数列的前项和，已知对任意的，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（ ）
A.
B.的展开式中的有理项有5项
C.的展开式中偶数项的二项式系数之和为512
D.除以9的余数为8
11.关于函数，下列判断正确的是（ ）.
A.是的极大值点
B.函数有且只有1个零点
C.存在正实数，使得成立
D.对任意两个正实数，且，若，则.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有__________种不同的走法
13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用.已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为__________.
参考数据：若，则，.
14.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已如曲线在处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
16.（15分）
在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲､乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；
（2）记选手乙正确作答的题目个数为，求的分布列和数学期望；
（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲､乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.
17.（15分）
在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（17分）
有甲､乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为.当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球.
（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球､黑球各1个的概率；
（2）设第次答题后游戏停止的概率为.
①求；
②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.
19.（17分）
己知函数，其中.
（1）当时，求的极值；
（2）讨论当时函数的单调性；
（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
参考答案：
1.D 【详解】由题意可知：.故选：D
2.C 【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
在A中，，故A正确；在B中，，故B正确；在C中，，故C错误；在D中，，故D正确.
故选：C.
3.B 【详解】由题意得，化简得，又且，所以，
所以.故选：B
4.B 【详解】由题意可得，，所以，故选：B.
5.A 【详解】，所以轴下方的图象为函数的图象，当时，函数单调递增，所以，故排除；根据导数的几何意义可知，时，函数图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B，只有A正确.故选：A
6.B 【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选：B.
7.C 【详解】①当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为；
②当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为；
③当5人全部被录取，则不同的录取情况数为；
综上不同的录取情况数共有.故选：C
8.B 【详解】依题意，题中的等比数列为，故该数列前项和，则，要使数列中只取得整数项，需使是5的正整倍数即可，即使的最末位是1或6即可，于是新的数列的项依次为：4，6，9，11，14，，……，故.故选：B.
9.AC 【详解】数列中，对任意的，
正确；由，知的值无法确定，则通项也无法确定，BD错误.故选：AC
10.BD 【详解】由的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等可得：，由组合数的对称性可得：，故选项A错误；因为的展开式中各项系数的和为0，所以令可得：，解得：.则的二项式通项为.由为整数可得：，所以的展开式中的有理项有5项，故选项B正确；因为展开式中偶数项的二项式系数之和为，故选项错误；因为所以除以9的余数为8，故选项D正确.故选：BD.
11.BD 【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，
所以在内，，函数单调递减；在上，，函数单调递增，所以是的极小值点，故A错误；对于选项B，由，得，由于分子判别式小于零，所以恒成立，
所以函数在，上单调递减，
且，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对于选项C，若，可得，令，则，
令，则，所以在内，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，所以，所以，
所以函数在上单调递减.又因为当时，，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；
对于选项D，设，即有，即为，
化为，故，所以，
则，
设，可得，
令，则在上恒成立，
可得，所以，故单调递增，
可得，故成立，故D正确.故选：BD.
12.25 【详解】依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步计数乘法原理知，从上山到下山方法共有种，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法.
故答案为：25
13. 【详解】由题意知，该产品服从，则，
所以
，
又，
所以，
所以，
即.所以抽到“可用产品”的概率为0.84.故答案为：0.84.
14. 【详解】由得，设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为，
又因为切线过，所以，
整理得，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以，解得或，所以的取值范围是，
故答案为：.
15.（1）由于的斜率为
所以
又
故
解得
（2）由（1）知，所以
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为
16.【详解】（1）设事件为“选手甲正确作答2个题目”，则.
故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为
（2）由题意得，的所有可能取值为
，
，
的分布列为
.
（3）设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为，
可以认为选手乙晋级的可能性更大.
17.【详解】（1）设的公差为，由，
得，即.
由成等比数列可得，.
即
解得或（舍去），
所以
故.
（2）由（1）得
所以
18.【详解】（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红､黑各一个球”，
“第次摸出红球，并且答题正确”，；
“第次摸出黑球，并且答题正确”，；
“第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，，
所以.
又，
所以
同理：.
所以
（2）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为4次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确.
所以.
②由1知，
所以.
令，解得；
，解得.
所以，
所以的最大值是.
19.【详解】（1）当时，的定义域为，
当时，，当时，
在上单调递增，在上单调递减.
在处取得极大值，
的极大值为，无极小值.
（2）函数的定义域为，
又.
当时，令则或.
①当，即时，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
②当，即时，在上恒成立，
在上单调递增.
③当，即时，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）有两个不同的零点，
即有两个不同正实根，得有两个不同正实根，
即与有两个交点，
令，则，
令，得，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图像如图所示：
，解得，所以实数的取值范围为.
1
2
3
4
5
6
0.21
0.20
0.10
0.10
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512