黑龙江省哈尔滨市实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

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考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（ ）
A．递减数列B．递增数列C．摆动数列D．常数列
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，且，那么（ ）
A．B．C．D．
4．函数的单调减区间是( )
A．B． C．D．
5．各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（ ）
A．或15B．或C．D． 15
6．已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（ ）
A．B．C．D．
7．三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A．8B．7C．6D．5
8．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是1，且，.记数列的前项和、前项积分别为，，若，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且其前项的和，则
B．若数列为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若数列为等差数列，，则最小
10．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．设数列的前n项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为等比数列 C． D．
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．在等比数列中，，是方程的两根，则
13．已知函数的减区间为，则 .
14．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lkandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，下列说法正确的有 .
①若，则从开始出现数字2；
②若，则的最后一个数字均为；
③可能既是等差数列又是等比数列；
④若，则均不包含数字4.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，15 题 13 分，16 与 17 题 15 分，18 与 19 题 17 分）
15．（13 分）已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)求数列落入区间的所有项的和.
16．（ 15 分）已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，
且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，证明：数列的前项和.
17．（ 15 分）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求的单调区间．
18．（17 分）已知函数，.
(1)当a=1时，求函数的单调区间；
(2)讨论函数的单调性；
19.（ 17 分）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)已知，集合中元素个数为，求．