新人教A版 高中数学必修第一册 《第二章章末复习之不等式的综合问题》导学案附答案

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高（一）年级数学学科导学案 课题 ：不等式的综合问题 课型 ：习题课 班级： 授课教师： 时间 ：一．学习目标掌握不等式的含义、关系及基本运算（重点）能够运用不等式的知识解决相关题目（难点）二．典例分析、举一反三题型一 三个“二次”间的关系【例1】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3},求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.解　由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}可知a＜0,且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根,由根与系数的关系可知ba＝-5,ca＝6.故bc＝-56,又由a＜0知c＜0,故不等式cx2＋bx＋a＜0,即x2＋bcx＋ac＞0,即x2-56x＋16＞0,解得x＜13或x＞12,所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x｜x＜13或x＞12}.　 (变设问)若本例中条件不变,求关于x的不等式cx2-bx＋a＞0的解集.解:由根与系数的关系知ba＝-5,ca＝6,bc＝-56,由题意知a＜0.∴c＜0,故不等式cx2-bx＋a＞0,即x2-bcx＋ac＜0,即x2＋56x＋16＜0.解得-12＜x＜-13,故原不等式的解集为{x｜-12＜x＜-13}.练1-1. 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x｜1＜x＜2},求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集.解:∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x｜1＜x＜2},∴x1＝1和x2＝2是方程x2＋ax＋b＝0的两根.由一元二次方程根与系数的关系得-a=1+2,b=1×2,解得a＝-3,b=2,代入所求不等式,得2x2-3x＋1＞0.由2x2-3x＋1＞0,得(2x-1)(x-1)＞0,∴x＜12或x＞1.∴bx2＋ax＋1＞0的解集为xx>1或x＜12.题型二 一元二次不等式恒成立问题角度一:在R上恒成立问题【例2】 已知不等式kx2＋2kx-(k＋2)＜0恒成立,求实数k的取值范围.解　当k＝0时,原不等式化为-2＜0,显然符合题意.当k≠0时,令y＝kx2＋2kx-(k＋2),由y＜0恒成立,∴其图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.∴k<0,4k2+4k(k+2)<0,解得-1＜k＜0.综上,实数k的取值范围是{k｜-1＜k≤0}.角度二:在给定范围上恒成立问题【例3】　当1≤x≤2时,不等式x2＋mx＋4＜0恒成立,求实数m的取值范围.解　令y＝x2＋mx＋4,∵y＜0在1≤x≤2上恒成立,∴y＝0的根一个小于1,另一个大于2.如图,可得m+5<0,4+2m+4<0,∴实数m的取值范围是{m｜m＜-5}.练2-1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k-2≤0的解集为R,则实数k的取值范围是(　　)A.k｜-45≤k＜0　　B.k｜-85≤k＜0 C.k｜-45≤k≤0　　D.k｜-85≤k≤0解析:D　当k＝0时,-2≤0恒成立,符合题意;当k≠0时,需满足k＜0且9k2-4k(k-2)＝5k2＋8k≤0,得-85≤k＜0,综上,实数k的取值范围是{k｜-85≤k≤0}.练3-1.若对任意的-1≤x≤2,都有x2-2x＋a≤0(a为常数),则a的取值范围是(　　)A.a≤-3　　B.a≤0 C.a≥1　　D.a≤1解析:A　法一:令f(x)＝x2-2x＋a,则由题意,得f(-1)＝(-1)2-2×(-1)＋a≤0,f(2)＝22-2×2+a≤0,解得a≤-3,故选A.法二:当-1≤x≤2时,不等式x2-2x＋a≤0恒成立等价于a≤-x2＋2x恒成立,则由题意,得a≤(-x2＋2x)min(-1≤x≤2).而-x2＋2x＝-(x-1)2＋1,则当x＝-1时,(-x2＋2x)min＝-3,所以a≤-3,故选A.答案:8题型三 一元二次不等式的实际应用【例4】某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?解　(1)由题意,得y＝[1.2×(1＋0.75x)-1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1),整理得y＝-60x2＋20x＋200(0＜x＜1).(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当y-(1.2-1)×1 000>0,00,0