重庆市开州中学2024届高三下期高考模拟考试数学试题（三）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z为实数
B．若，则
C．若，则的最大值为2
D．若，则z为纯虚数
3．若，则的值是（ ）
A．680 B．
C．1360 D．
4．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A．0.0027 B．0.5
C．0.8414 D．0.9773
5. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知抛物线y的焦点为,准线为,过F的直线与抛物线C交于A,B两点，为线段AB中点，分别为A,B,M在上的射影，且,则下列结论中错误的是（ ）
A.F的坐标为(0,1) B.
C.四点共圆
D.直线AB的方程为
7．下列说法正确的是（ ）
A. 已知，且，则在上的投影向量为
B．己知，，则
C．若直线，圆，若与圆有交点，则的最大值为0
D. 已知圆台上、下底面的半径分别为3 和5，母线长为4，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC面积的最大值为
8．如图圆柱的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱内部，现用一垂直于轴截面的平面去截圆柱，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B．C． D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：
回归模型一：；
回归模型二：，
通过计算得出，则下列说法正确的是（ ）
A. 使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数
B. 通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程
C. 在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右
D. 在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人
10．若，则下列结论正确的是（ ）
A．若相邻两条对称轴的距离为，则
B．当，时，的值域为
C．当时，的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为
D．若在区间上有且仅有两个零点，则
11．如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点之间跳跃，假设青蛙跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为。若青蛙一开始位于顶点处，记青蛙跳跃次后仍位于上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．青蛙跳跃2次后位于点的概率为
B．数列是等比数列
C．青蛙跳跃奇数次后只能位于点的概率始终小于
D．存在整数，使得青蛙跳跃次后位于点和点的概率相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知数列为等比数列，是函数的极值点，设等差数列的前项和为，若，则 ；
13．如图，在四边形中，，．连接交于点，若点恰是AC的中点，则的最小值为 ；
14. 若函数，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
16．（本小题满分15分）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
17．（本小题满分15分）已知等比数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
(3)记，求证：.
18．（本小题满分17分）已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
19. （本小题满分17分）对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；
(3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.
1
5
7
12
16
20
2
9
12
29
63
101
年龄
次数
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828