湖南省部分学校A佳联考2023-2024学年高三下学期5月模拟考试数学试题

这是一份湖南省部分学校A佳联考2023-2024学年高三下学期5月模拟考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是( )
A. 29B. 30C. D. 31
2.双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为( )
A. B. 4C. D. 2
3.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.已知函数的导函数是，且，，，则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. 1D. 或
6.已知一个多边形的周长等于207cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长为42cm，公差为3cm，则这个多边形的边数为( )
A. 4B. 6C. 23D. 6或23
7.某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还有两人差几分上线，这两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6所大学中任选三所大学申请调剂，则这两名学生在选择了相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大学的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是( )
A.
B. 这个简谐运动的初相为或
C. 在上单调递减
D. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数
10.如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内不含边界的动点，点Q是棱BC的中点，则以下命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点P，使得PQ与所成的角为
C. 直线PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则P的轨迹的长度为
11.已知定义域为R的函数，，是的导函数，且满足：，是奇函数，则下列判断正确的是( )
A. 是奇函数B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，是方程的两根，则__________.
13.已知，点P是以线段AB为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则的取值范围为__________.
14.对集合，其中，，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
阳春三月，油菜花进入最佳观赏期，长沙县江背镇、望城光明村彭家老屋、浏阳达浒油菜花田、岳麓区含泰社区油菜花田都免费向市民、游客开放，长沙某三所高级中学 A，B，C组织学生去这四个景区春游，已知A，B两所学校去每个景区春游的可能性都相同， C学校去岳麓区含泰社区春游的可能性为，去其它三个景区春游的可能性相同.
求望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率;
长沙县江背镇迎来学校所数的分布列及数学期望.
16.本小题15分
如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，，，，，平面
求证：平面平面
在棱PD上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
17.本小题15分
已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，
求E的方程;
直线，过l上一点P作E的两条切线PM，PN，切点分别为M，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标.
18.本小题17分
已知函数
讨论的单调性;
若有两个零点，求a的取值范围.
19.本小题17分
角谷猜想，也称为“”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为，实施第2次运算后的结果记为，，实施第次运算后的结果记为，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列，，，，1，其递推关系式为：，叫做数列的原始项.将此递推关系式推广为：，且，其它规则不变，得到的数列记作数列，试解答以下问题：
若，则数列的项数为__________;
求数列的原始项的所有可能取值构成的集合;
若对任意的数列，均有，求d的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了百分位数、中位数，是基础题，零件个数按从小到大排列为：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，再由百分位数、中位数定义分析即可.
【解答】
解：零件个数按从小到大排列为：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，
18，20，所以中位数是，所以第60百分位数是第8个数
为故样本数据的中位数与第60百分位数之和故选：
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
首先根据题意得到，得，从而得到两条渐近线斜率，即可得到答案．
【解答】
解：由已知可得，，又，可设一条渐近线方程，由点到直线的距离公式可得：，，
两条渐近线的斜率为，，，
故选：
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题.
利用空间线线的关系、面面平行、面面垂直的判定定理和性质逐一判定各选项，即可得出结论.
【解答】
解：对于A，若，，则或，所以m，n相交、平行、异面都有可能，错误;
对于B，若，，，，则与相交或平行，错误;
对于C，若，，则，又，所以或，错误;
对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，正确.
故选：
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用导数比较大小和函数的奇偶性，是中档题.
先得出，是偶函数，且在上单调递增，再结合对数函数性质逐一判定即可.
【解答】
解：由题意知：，是偶函数，且在上单调递增，
又，，，，错误;
对于B，，
，，正确;
对于C，由，可得：，，错误;
对于D，，
，，错误.
故选：
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式，属基础题；
将已知等式经三角恒等变换，再两边同除以可得关于的方程，即可得解.
【解答】
解：由，可得
，，两边同时除以并整理可得：，解得：或，当
时，，，不符合题意，舍去故选：
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项及求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用等差数列的通项及求和公式，建立方程，即可求多边形的边数．
【解答】
解：由题意可知：，，，
则，，
即①，②，
将②代入①，得，
，又，解得或6，
当时，，符合题意;
当时，，不符合题意，舍去.
综上可知：
故选：
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型的求解，属于基础题.
求出这两名学生恰好选择了两所相同大学的方法总数，再求出这两名学生选择了相同大学的方法总数，可得概率.
【解答】
解：由题意可知：这两名学生恰好选择了两所相同大学的方法总数为：
，这两名学生选择了相同大学的方法总数为：
，故选：
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的性质及几何意义，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题.
设，由面积可得，判断得可得为正三角形，从而即可得结合椭圆的定义可求得，由勾股定理可得a，c的关系式，进而即可求解.
【解答】
解：设，则，，由，，
可得为正三角形，
，，，
是AB的中点，，，，故选：
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与性质，正弦型函数的图象变换，属于中档题.
由已知结合函数的图象与性质逐个选项判断即可.
【解答】
解：由函数图象可知，，当时，，又，
或，当时，时，不单调递增，不符合题意，
，错误;
由，可得：，，又，
周期，，，，正确;
，
当时，，此时不单调递减错误;
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为：
，是偶函数，正确.
故选
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查求三棱锥的体积，利用空间向量求线线角，线面角，以及动点的轨迹问题，属于中档题.
以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，从而利用空间向量法逐一判断即可.
【解答】
解：对于A，定值，正确;
以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，则
对于B，，PQ与的夹角满足：
，错误;
对于C，平面的法向量为：，
直线PQ与平面所成的角的正弦值为：
，正确;
对于D，，，由，
可得：，化简可得：，在平面内，
令，得令，得，所以P的轨迹的长度为：，
正确.
故选：
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了抽象函数中，函数值的求解，抽象函数的周期性和奇偶性结合的问题难度较大，需要通过合理赋值才能得到相应的结果，属于较难题.
首先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为3的函数，再通过合理赋值可核对各选项的对错.
【解答】
解：，，
，又是奇函数，
，从而，即，是奇函数，正确;
对于B，在中，令，可得：，在中，令，可得：，从而，正确;
对于C，在中，以代x，可得：，与求和，可得：，令，可得，错误;
对于D，由以及，可得：，
从而，是周期为3周期函数，，
正确;故选：
12.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算，属于基础题.
由韦达定理可得：，，故可解得
【解答】
解：由韦达定理可得：，，
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了与圆相关的轨迹问题，圆与圆的位置关系，属于基础题.
以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，判断得点M的轨迹是以为圆心，为半径的一个圆，由与的位置关系是相交，可求得的取值范围.
【解答】
解：以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标
系，设，，，则：，化简
得：，即，所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的一个圆，与的位置关系是相交，所以
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于中档题.
由取，，，可得A，取由，可求得，由此可分析得答案.
【解答】
解：取，，
由，可得：，从而：，
，t一定是一正一负，不妨令，
则，，
，
，
取，由，可知：或，
当时，由可得：，
又，
或2，从而或4，
若，此时集合A不满足集合中元素的互异性，
，
当时，由，可得：
，此时，不满足题意舍去，或，不满足题意，舍去
或
综上可知，或
故答案为5或
15.【答案】解：由题意知：A，B两所学校去每个景区春游的概率都是，
C学校去岳麓区含泰社区春游的概率为，去其它三个景区春游的概率为
所以望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率为：
由题意可得：长沙县江背镇迎来学校所数X的可能值为：0，1，2，3，
所以长沙县江背镇迎来学校所数X的分布列为：
数学期望
【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列、数学期望.是中档题
由相互独立事件的概率乘法公式可求得望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率;
由题意可得：长沙县江背镇迎来学校所数X的可能值为：0，1，2，3，求出对应的概率，可得所要求的分布列及数学期望.
16.【答案】解：平面ABCD，平面ABCD，，，
，
又，，，
，平面PAB，
平面PAB，
平面PBC，平面平面
由知：平面PAB，又，平面PAB，
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，
，，
设，，
则，，
设平面EAC的法向量为，
则由，可得：
取：，则，，，
设平面PAC的法向量为，
则由，可得：
取：，则，，所以平面PAC的法向量为，
二面角的余弦值为，
，解得：，
，
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查空间向量的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
由勾股定理得：，由线面垂直得，从而面PAB，由此能证明平面平面
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
17.【答案】解：设AB的方程为，，，
由，可得：，，
，.
，抛物线E的方程为：
设MN的方程为，，，
由，可得：，即，
，，
不妨令，当时，可以化为：，，
以M为切点的抛物线的切线PM的方程为：，
即，
同理可得：直线PN的方程为：，
联立PM与PN的方程，解得：，，，
直线MN的方程为：，直线MN过定点
【解析】本题考查了抛物线的标准方程、抛物线中的定点问题，是中档题.
设AB的方程为，，，由结合韦达定理及抛物线定义可得p的值，故得E的方程；
设MN的方程为，，，由可得，，再结合导数的几何意义可得PM的方程、直线PN的方程，联立PM与PN的方程可求得答案.
18.【答案】解：由于，
故，
，
①当时，，从而恒成立，在R上单调递减;
②当时，令：，从而，得
综上，当时，在R上单调递减;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
由知，当时，在R上单调递减，在R上至多一个零点，不满足条件，
当时，，令，
则，
在R上单调递增，
而，
故当时，当时，当时，
若，则，故恒成立，无零点;
若，则，
故仅有一个实根，无两个零点，不满足条件;
若，则，
注意到，，
故在上有一个实根，
而又，
且
令，则，
所以在单调递减，在单调递增，，
故，又，，，
即，故在上有一个实根.
又在上单调递减，在上单调递增，
故在R上至多两个实根.
又在及上均至少有一个实根，
故在R上恰有两个实根.
综上，时，在R上恰有两个实根.
【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间含参，利用导数研究函数的零点，属于难题．
求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性；
分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．
19.【答案】解：，，，，，
，所以数列的项数为
下面证明对于任意的正整数，当时，均存在数列为数列，
时，，符合题意，
反证，假设存在正整数，当时，不存在数列为数列，
设此时t的最小值为，即，3，4，，时，存在∽数列，
时，不存在数列.
①当M为奇数时，因为存在以为原始项的数列，，，，，，
所以，，，，，，就是原始项为M的∽数列，与假设矛盾，
②当M为偶数时，因为存在以为原始项的∽数列，，，，，，
所以，，，，，就是原始项为M的∽数列，与假设矛盾.
综上可知，数列的原始项的所有可能取值为全体大于等于2的正整数，
即数列的原始项的所有可能取值构成的集合为
依题意，，，，，
先证明符合题意，即，
当时，显然成立;当时，，即也成立;
当时，对任意，，故，
即，
①当时，由，，
所以
②当时，由，，
，所以
下面证明，对任意的正偶数，构造，
先验证为∽数列，
当，3，，时，为奇数，，
当，4，，时，为偶数，
当时，，所以为数列.
下面证明不符合题意，假设，因为，
，
所以，，矛盾.
综上可得d的最小值为
【解析】本题考查数列递推式本题考查数列中项的可能取值的个数的求法，考查递推公式等知识，考查运算求解能力，是难题.
，逐个推到出，，，，，所以数列的项数为
证明对于任意的正整数，当时，均存在数列为数列，时，，符合题意，利用反证再进行分类讨论可得；
先证符合题意分类讨论①当②当最后证明和两种情况得答案.X
0
1
2
3
P
x
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增