江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校三校2024届高三下学期5月联考数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.若集合A=x∣lg2x>1,B=x∣x2−5x−6≤0,则A∩B=
A.(1,3]B.(2,3]C.(1,6]D.(2,6]
2.已知i(i是虚数单位)是方程x2+ax+b=0a,b∈R的根，则
A.a+b=1 B.a−b=1 C.a+b=0 D.a−b=0
3.某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量X∼N1000,2500(单位：个)，估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是
(附：若随机变量X∼Nμ,σ2,则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827,
Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973)
A.236 B.246 C.270 D.275
4.希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学，特别是与“月牙形”有关的问题，如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB=2π3,AC=BC=1,则该月牙形的面积为
A.34+π24B.34−π24C.14+π24D.334−π8
5.已知一个正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433,过其外接球球心作平行于底面的截面，则截得的棱台的体积为
6.在平面直角坐标系xOy中，设F1,F2是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的两支分别交于点A,B,若△ABF2为正三角形，则该双曲线的离心率为
A.3B.2 c.5D.7
7.各项不为0等差数列an中，1a9+1a12=1a10+1a11,且S20≠0,则a9−a10+a11−a12=
A.-4 B.-2 C.0 D.2
8.已知函数fx=3sin3x+cs3x,gx=2lgx+1,则函数ℎx=fx−gx的零点个数为
A.9 B.10 C.11 D.12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在二项式x−12x6的展开式中，则
A.常数项是152 B.第4项的二项式系数最大
C.各项系数和是64 D.奇数项的二项式系数和是32
10.已知a、b为均不等于1的正实数，下列选项正确的是
A.若a+b=1,则1a+1b>4 B.若a+b=1,则2b−a>12
C.若a18b=2,则blga=2 D.若a2lnb=e,则a2+b≥2e
11.已知PA>0,PB>0,PC>0,下列说法正确的是
A.若PB∣A=PB,则PA∣B=PA
B.若PAB=0,则PA+B=PA+PB
C.若PAB=PAPB,则PC∣AB=PC∣APC∣B
D若事件A,B互斥，事件A,C独立事件B,C独立则PC∣A+B=PC∣A+PC∣B
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数fx=x−csx的图象在x=0处的切线方程为 .
13.记Sn为数列an的前n项和，则“an为等差数列”是“Sn=na1+an2n”的条件 .（填写“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要”之一）
14.已知向量a,b的夹角为π3,且a−b⊥b,则ab|的值为∣a+b∣∣a−b∣的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)如图，在六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1//CC1,三棱锥A1−ABD为正四面体.
(1)求证：BD⊥DD1;
(2)求二面角D1−BD−C的余弦值
16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2−a2=ac.
(1)若B=60∘,求C的大小；
(2)若△ABC的锐角三角形，求ba的取值范围
17.(15分)设函数fx=x3−ax2+1a∈R.
(1)若对∀x∈−2,2,均有fx≥0,求实数a的取值范围；
(2)求证：对任意实数a,函数fx的图象总存在两条切线相互平行
18.(17分)某足球训练基地有编号为1,2,3,⋯,n的n位学员，在一次射门考核比赛中，学员有两次射门机会.每人第一次射中的概率为23,第二次射中的概率为12,假设每位学员射门过程是相互独立的，比赛规则如下：
①按编号从小到大的顺序进行，第1号学员开始第1轮比赛，先第一次射门；
②若第ii=1,2,3,⋯,n−1号学员第一次射门未射中，则第i轮比赛失败，由第i+1号学员继续比赛；
③若第ii=1,2,3,⋯,n−1号学员第一次射门射中，再第二次射门，若该学员第二次射门射中，则比赛在第i轮结束，该学员第二次射门未射中，则第i轮比赛失败，由第i+1号学员继续比赛；
④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号学员的射门情况，比赛结束
(1)当n=3时，设随机变量X表示3名学员在第X轮比赛结束，求随机变量X的分布列；
(2)设随机变量Yn表示n名学员在第Yn轮比赛结束
①求随机变量Ynn∈N∗,n≥2的分布列；
②求证：EYn单调递增，且小于3
19.(17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63,且经过点2,63,直线l
与x轴交于点E,与椭圆C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点E坐标为2,0,线段AB的垂直平分线分别交直线x=−92和l于点P,M,若
PM=23AB,求直线l的斜率；
(3)若点E坐标为3,0,求EA2+2EB2的最小值.