宁县吴忠市吴忠中学2024届高三下学期第五次模拟理科数学试卷

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1. 设集合，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 1D. 1或2
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性.
【详解】因为，且，
所以，则或，
解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，符合题意.
综上可得.
故选：C
2.若复数z满足，则
A．B．C．D．
【答案】D
3．已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出的值，判断得解.
【详解】向量，，
若与共线，则.解得或，
所以“”是“与共线”的充分不必要条件，
故选：A.
4 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式，同角间的三角函数关系式得，然后由二倍角公式，利用同角关系式化为关于的二次齐次式，再弦化切求值．
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故选：A.
5. 已知数列是首项为1的等比数列，是数列的前n项和，且，则数列的前5项和为（ ）
A. 30 B. 31C.30或40 D.31或40
【答案】B
【解析】
【分析】设此数列的公比为q，由题意可得，然后利用等比数列的求和公式列方程可求出公比，从而可求出数列的前5项和
【详解】设此数列的公比为q，则由，得，且，
即，解得，
所以数列的前5项和为．
故选：B
6. 现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（ ）
A 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】列举出部分数字观察其周期即可得解.
【详解】报出的数字依次是，除了首项以外是个周期为6的周期数列.
去掉首项后的新数列第一项为2，
因为，所以原数列第2024个被报出的数应该为2.
故选：A.
7. 展开式中的常数项是（ ）
A. 160B. C. D. -160
【答案】D
【解析】
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项.
【详解】展开式的通项公式为
，
令，可得，
故展开式的常数项为.
故选：D
8．已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定旋转体的形状，再求解几何体的体积即可得出结果.
【详解】梯形ABCD旋转一周形成圆台，且圆台的上底面半径为,下底面半径为,
由圆O和梯形ABCD相切可得，，
所以圆台高, 圆O半径，
所以，,
所以，.
故选：C
9. 某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的位置安排方式有（ ）
A. 36种B. 42种C. 48种D. 52种
【答案】B
【解析】
【分析】按：“特殊元素（位置）优先法”解决.先分类：按副队长担任1号位和2号位分成两类；再分步：副队长担任1号位时，其余4个位置没有任何限制，副队长担任2号位时，先从3名队员中选1人担任1号位，其他3个位置无任何限制.
【详解】若副队长担任1号位，其他位置就没有任何限制，有种安排方式；
若副队长担任2号位，则从3名队员中选1人担任1号位，后面的3个位置无限制条件，有种安排方式.
所以一共有：种安排方式.
故选：B
10. 材料一：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中．这个公式被称为海伦-秦九韶公式
材料二：阿波罗尼奥斯（Apllnius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
根据材料一或材料二解答：已知中，，，则面积的最大值为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据材料二可得点的轨迹为椭圆，当点运动到椭圆短轴的顶点时，可得的面积取得最大值.
【详解】由材料二可得点的轨迹为椭圆，其焦距，长轴，短轴
当点运动到椭圆短轴的顶点时，可得的面积取得最大值，
，
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力.
11. 某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积为，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用球的体积公式求出半径，求出正三角形内切圆半径，利用勾股定理求出球心到上底面距离即可得解
【详解】设球的半径为R，三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为r．由球的体积为可得，解得．
因为正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，所以底面正三角形的内切圆半径为，正三棱柱的高为4，设球心为，正三角形的内切圆圆心为，
取的中点M，并将这三点顺次连接，则由球的几何知识得为直角三角形，所以，于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为．
故选：C
12．若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：正态分布均值为，，故.
考点：正态分布．
14．若x，y满足约束条件则目标函数的最大值为______．
【答案】9
画出可行域（图略）知，当过点时，z取得最大值，且最大值为9．
15. 已知双曲线C：的左焦点为F，过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，且，，则C的离心率为 .
【答案】
【分析】记C的右焦点为，连接，，由双曲线的定义结合题意可得，，再由数量积的定义和余弦定理可得，即可求出答案.
【详解】记C的右焦点为，连接，，如图所示.
过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，，
所以，.
因为，所以.
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
即，即C的离心率为.
故答案为：.
16. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.
【详解】由题意，不等式即，进而转化为，
令，则，
当时，，所以上单调递增.
则不等式等价于恒成立.
因为，所以，
所以对任意恒成立，即恒成立.
设，可得，
当单调递增,当单调递减．
所以有最大值，于是，解得．
故答案为：
【点睛】方法点睛：将已知条件转化为，通过构造函数，进而利用导数得到，进而计算求得结果.
解答题（本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）
（一）必考题（共60分）
17．近日，一些高校陆续发布了关于在高考中数学或者物理取得优异成绩的学生可以在其强基计划中破格入围的相关政策，引得学生和老师们纷纷关注，成为高考前的一大热点．为此某中学对在校学生“是否热爱钻研数学压轴题”利用分层抽样的方式进行了调查，共调查了18名男同学和9名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和4人热爱钻研数学压轴题，其余同学均不热爱钻研数学压轴题．
(1)根据以上数据完成以下列联表．
并依据小概率值的独立性检验，判断性别与热爱钻研数学压轴题是否有关．
(2)从被调查的女生中随机抽取人，记其中热爱钻研数学压轴题的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
【答案】(1)性别与是否热爱钻研数学压轴题无关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）依题意完善列联表，计算出卡方，即可判断；
（2）依题意的可能取值为，，，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）由题意得，列联表如下：
零假设为：性别与热爱钻研数学压轴题无关，
因为，
故依据小概率值的独立性检验，可以认为成立，即性别与是否热爱钻研数学压轴题无关．
（2）依题意的可能取值为，，，
则，，，
故的分布列为
故．
18. 记为正项数列的前n项和，已知，．
（1）求数列的前n项和；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系可得，结合等差数列的定义可知数列为等差数列，由等差数列的通项公式可得，即可求解；
（2）由（1）得，则.当n为偶数时；当n为奇数时，即可求解.
【小问1详解】
当时，因为，所以，
即，所以数列为等差数列，公差为1，首项为，
所以，又为正项数列，则；
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，
亦适合上式，所以，
所以，
当n偶数时，
当n为奇数时，
综上可知
19.（12分）在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，，，，．
（1）证明：．
（2）若△PAD为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
解析：．（1）证明：因为，，所以，，
由余弦定理可得，所以，则．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，且，
所以BD⊥平面PAD．因为平面PAD，所以．
（2）解：分别，的方向为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面PBD的法向量为，则即
令，得，则．
设直线PC与平面PBD所成的角为，
则，所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．
20. 已知椭圆的左右焦点分别为，过的动直线与交于两点，当轴时，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆方程；
（2）若的内切圆半径为，求直线的方程．
【答案】（1）椭圆C方程
（2）直线l的方程为或.
【解析】
【分析】（1）根据直线PF2与直线QF2的斜率之积为建立等量关系即可;
（2）根据内切圆性质,直线与椭圆联立即可得所求直线方程.
小问1详解】
由题可知当轴时,联立,解得,
则,设,则
,解得,
所以椭圆C方程
【小问2详解】
因为的周长为4a,
故,
由题意可知,该直线l斜率存在且不为0,
设直线l为联立
则
设,,
所以解得m2=2，
则直线l方程为或,即或.
21．（本小题满分12分）
设函数，.曲线在点处的切线方程为.
(1)求a的值；
(2)求证：方程仅有一个实根；
(3)对任意，有，求正数k的取值范围.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；
（2）分，，，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；
（3）令，分，两种情况，利用导数讨论最值即可得解.
【详解】（1）解：因为，所以，
又点在切线上，所以，
所以，即.
（2）证明：欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个零点，
令，则，
令，则，
讨论：（1）当时，，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，，即此时无零点；
（2）当时，，即此时有一个零点；
（3）当时，
所以，当时，，即此时无零点
综上可得，仅有一个零点，得证.
（3）当时，，即恒成立，
令，
则，
由（Ⅱ）可知，时，
所以，
讨论：（1）当时，因为，所以，
即，
所以，
即当时，，
所以在时单调递增，
所以恒成立，即满足条件，
（2）当时，由可知，
又，所以存在，使得，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即不能保证恒成立，
综上可知，正数k的取值范围是.
【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.
（二）选考题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和的极坐标方程；
(2)若直线l：（其中）与曲线，的交点分别为A，B（A，B异于原点），求的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）消去参数得的普通方程，然后将分别代入的普通方程即可；
（2）设直线的极坐标方程为，联立的极坐标方程，结合极径的意义表示出，然后由正弦函数的性质可解.
【详解】（1）由消得，即，
将分别代入得：
的极坐标方程为，
的极坐标方程为
（2）设直线的极坐标方程为，
联立方程可得，
所以
，
又，则有，
即，
综上，的取值范围为.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知关于x的不等式有解.
（1）求实数t的取值范围；
（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且.求证:.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)令，求出的最大值，由不等式有解可知，从而得到关于t的不等式，即可解出t的取值范围；
(2)由柯西不等式得即可证明结论.
【小问1详解】
令，
所以当时，取得最大值为3，
关于x的不等式有解等价于，
即
当时，上述不等式转化为，解得，
当时，上述不等式转化为，解得，
综上所述t的取值范围为，
故实数t的取值范.
【小问2详解】
根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足，
所以由柯西不等式可得
，
当且仅当，，时取等号，
所以.
性别
是否热爱钻研数学压轴题
合计
热爱钻研数学压轴题
不热爱钻研数学压轴题
男同学
女同学
合计
0.15
0.10
0.025
0.01
2.072
2.706
5.024
6.635
性别
是否热爱钻研数学压轴题
合计
热爱钻研数学压轴题
不热爱钻研数学压轴题
男同学
12
6
18
女同学
4
5
9
合计
16
11
27
0
1
2