陕西省西安市陕西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份陕西省西安市陕西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）命题p：∀x＞0，x2＞2x的否定是（ ）
A．￢p：∀x＞0，x2≤2xB．￢p：∀x≤0，x2＞2x
C．￢p：∃x＞0，x2≤2xD．￢p：∃x≤0，x2＞2x
2．（5分）已知集合，B＝{x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁RA）∪B＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|1≤x＜4}C．{x|x＞2}D．{x|x＜4}
3．（5分）若x，y∈R，则“x＞y”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A．2x﹣y＞0.5B．x2＞y2C．D．2x﹣y＞2
4．（5分）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如如表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且＝0.8x+，现有一组测量数据为（31，22.4），则该数据的残差为（ ）
A．1.4B．1.2C．﹣1.2D．﹣1.4
5．（5分）从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ）
A．2640B．462C．328D．236
6．（5分）现用甲、乙、丙、丁四台30打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这四台3D打印机设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：mm）服从正态分布N（μ，2.25），且P（Z＜28）＝P（Z＞32）．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：mm）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（ ）
A．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3
B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3
C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4
D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3
7．（5分）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则D（X）＝（ ）
A．0.21B．0.3C．0.4D．0.7
8．（5分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣Internatinal Cngreasf Mathematics Educatin）在我国上海华东师范大学举行．如图是本次大会的会标，会标中“ICME﹣14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是3×83+7×82+4×81+4×80＝2020，正是会议计划召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1B．3C．5D．7
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）某同学将收集到的六对数据制作成散点图如图，得到其经验回归方程为l1：＝0.68x+，计算其相关系数为r1，决定系数为R12．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为l2：y＝x+0.68，相关系数为r2，决定系数为R22．下列结论正确的是（ ）
A．r2＞r1＞0B．R12＞R22C．0＜＜0.68D．＞0.68
（多选）10．（5分）已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（ ）
A．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1
B．若a＞b＞0且c＜0，则
C．若c＞a＞b＞0，则
D．若b＞a＞0，则
（多选）11．（5分）已知随机事件A，B的对立事件分别为，，若P（A）＞0，P（B）＞0，则（ ）
A．P（A|B）+P（|B）＝1
B．P（B|A）+P（|A）＝P（A）
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）＝P（B|A）
（多选）12．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为f（x）＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．下列命题中正确的有（ ）
A．∃x∈R，f（x）＝x﹣1
B．∀x∈R，n∈Z，f（x+n）＝f（x）+n
C．∀x，y＞0，f（lgx）+f（lgy）＝f（lg（xy））
D．∃n∈N*，f（lg1）+f（lg2）+f（lg3）+…+f（lgn）＝92
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 ．
14．（5分）已知x＞0，y＞0，xy＝x+2y，则xy的最小值是 ．
15．（5分）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有 种．
16．（5分）设定义在R上的函数f（x）的值域为A，若集合A为有限集，且对任意x1，x2∈R，存在x3∈R，使得f（x1）f（x2）＝f（x3），则满足条件的集合A的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
18．（12分）近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新能源汽车年销量w（万）如下表：其中年对应的年份代码t为1﹣5．
（1）判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数（精确到0.01）；
（2）（i）假设变量x与变量Y的n对观测数据为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），两个变量满足一元线性回归模型（随机误差ei＝yi﹣bxi），请写出参数b的最小二乘估计；
（ii）令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型，利用（i）中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
附：样本相关系数，，，，．
19．（12分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中a≤60．
若根据小概率值α＝0.10的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数．
（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：．
20．（17分）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布N（220，202）．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V～240V之间；③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n（n≥2）件，记其中恰有2件不合格品的概率为pn，求p取得最大值时n的值．
附：若Z～N（μ，σ2）取P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.95．
21．（17分）设函数f（x）＝ax（2+csx）﹣sinx，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程；
（2）若a＝1，试判断f′（x）在区间上的零点的个数；
（3）若在x∈（0，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）命题p：∀x＞0，x2＞2x的否定是（ ）
A．￢p：∀x＞0，x2≤2xB．￢p：∀x≤0，x2＞2x
C．￢p：∃x＞0，x2≤2xD．￢p：∃x≤0，x2＞2x
【解答】解：根据题意，命题p：∀x＞0，x2＞2x是全称量词命题，
其否定是¬p：∃x＞0，x2≤2x．
故选：C．
2．（5分）已知集合，B＝{x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁RA）∪B＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|1≤x＜4}C．{x|x＞2}D．{x|x＜4}
【解答】解：＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|x2﹣6x+8＜0}＝{x|2＜x＜4}，
则∁RA＝{x|1≤x≤3}，
故（∁RA）∪B＝{x|1≤x＜4}．
故选：B．
3．（5分）若x，y∈R，则“x＞y”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A．2x﹣y＞0.5B．x2＞y2C．D．2x﹣y＞2
【解答】解：A：2x﹣y＞0.5＝2﹣1⇒x﹣y＞﹣1⇒x＞y﹣1，不能推出x＞y，
但由x＞y能推出2x﹣y＞0.5，故A正确；
B：x2＞y2⇒|x|⇒|y|⇒x＞y＞0或x＜y＜0，不能推出x＞y，
由x＞y，也不能推出x2＞y2，故B错误；
C：，解得x＞y＞0或x＜y＜0，不能推出x＞y，
由x＞y，也能推出，故C错误；
D：2x﹣y＞2⇒x﹣y＞1⇒x＞y+1⇒x＞y，反之x＞y时，2x﹣y不一定大于2，如x＝1.5，y＝1，故D错误．
故选：A．
4．（5分）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如如表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且＝0.8x+，现有一组测量数据为（31，22.4），则该数据的残差为（ ）
A．1.4B．1.2C．﹣1.2D．﹣1.4
【解答】解：由题意可知，，，
将（25，19）代入方程＝0.8x+，得＝19﹣0.8×25＝﹣1，
所以＝0.8x﹣1，当x＝31，＝0.8×31﹣1＝23.8，
所以该数据的残差为22.4﹣23.8＝﹣1.4．
故选：D．
5．（5分）从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ）
A．2640B．462C．328D．236
【解答】解：根据题意，将这11个数分为奇数与偶数两个组，偶数有5个数，奇数有6个数．
若取出的5个数的和为奇数，则取出的5个数必有1个奇数、或3个奇数、或5个奇数．
若有1个奇数时，有C61•C54＝30种取法，
若有3个奇数时，有C63•C52＝200种取法，
若有5个奇数，有C65＝6种结果，
故符合题意的取法共30+200+6＝236种取法；
故选：D．
6．（5分）现用甲、乙、丙、丁四台30打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这四台3D打印机设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：mm）服从正态分布N（μ，2.25），且P（Z＜28）＝P（Z＞32）．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：mm）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（ ）
A．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3
B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3
C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4
D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3
【解答】解：依题意，，，
所以μ﹣3σ＝25.5，μ+3σ＝34.5，
所以打印出来的零件内径尺寸应满足25.5≤Z≤34.5，
结合选项可知，不需要调试的为丙．
故选：C．
7．（5分）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则D（X）＝（ ）
A．0.21B．0.3C．0.4D．0.7
【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，所以P（X＝1）+P（X＝0）＝1，
又P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，所以解得P（X＝1）＝0.7，P（X＝0）＝0.3，
所以E（X）＝1×0.7+0×0.3＝0.7，D（X）＝（0﹣0.7）2×0.3+（1﹣0.7）2×0.7＝0.21．
故选：A．
8．（5分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣Internatinal Cngreasf Mathematics Educatin）在我国上海华东师范大学举行．如图是本次大会的会标，会标中“ICME﹣14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是3×83+7×82+4×81+4×80＝2020，正是会议计划召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【解答】解：八进制＝7×89+7×88+…+7×80＝7×（80+81+…+89）＝7×＝810﹣1，
∵81＝8，82＝64，
∴83的个位是2，84的个位是6，85的个位是8，
∴8的n（n∈N*）次方的个位数字以8，4，2，6为一个周期，循环出现，
∴810的个位数字为4，
∴810﹣1的个位数字为3．
故选：B．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）某同学将收集到的六对数据制作成散点图如图，得到其经验回归方程为l1：＝0.68x+，计算其相关系数为r1，决定系数为R12．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为l2：y＝x+0.68，相关系数为r2，决定系数为R22．下列结论正确的是（ ）
A．r2＞r1＞0B．R12＞R22C．0＜＜0.68D．＞0.68
【解答】解：由图可知两变量呈现正相关，故r1＞0，r2＞0，且r1＜r2，＜，
所以选项A正确，B错误．
因为回归直线方程l1：＝0.68x+的斜率大，且经过原来数据组的样本中心点，
回归直线方程l2：y＝x+0.68的斜率小，且经过去掉利群点后的数据组样本中心点，
所以0＜＜0.68，选项C正确，D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（ ）
A．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1
B．若a＞b＞0且c＜0，则
C．若c＞a＞b＞0，则
D．若b＞a＞0，则
【解答】解：对于A，因为1＜b＜2，所以﹣2＜﹣b＜﹣1，又﹣2＜a＜3，所以﹣4＜a﹣b＜2，A错误；
对于B，因为a＞b＞0，所以a2＞b2＞0，所以，又c＜0，所以，故选项B正确；
对于C，因为c＞a＞b＞0，所以c﹣b＞c﹣a＞0，所以，又a＞b＞0，所以，
故选项C正确；
对于D，当b＝3，a＝2＞0，c＝﹣1时，D显然错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）已知随机事件A，B的对立事件分别为，，若P（A）＞0，P（B）＞0，则（ ）
A．P（A|B）+P（|B）＝1
B．P（B|A）+P（|A）＝P（A）
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）＝P（B|A）
【解答】解：对于A，因为P（A|B）+P（|B）＝+＝＝＝1，故A正确，
对于B，P（B|A）+P（|A）＝＝＝＝1，故B错误；
对于C，因为A，B独立，则P（AB）＝P（A）P（B），
则，故C正确；
对于D，因为A，B互斥，P（AB）＝0，所以，，
所以P（B|A）＝P（A|B）＝0，故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为f（x）＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．下列命题中正确的有（ ）
A．∃x∈R，f（x）＝x﹣1
B．∀x∈R，n∈Z，f（x+n）＝f（x）+n
C．∀x，y＞0，f（lgx）+f（lgy）＝f（lg（xy））
D．∃n∈N*，f（lg1）+f（lg2）+f（lg3）+…+f（lgn）＝92
【解答】解：对于A，当x∈Z时，f（x）＝x，当x∉Z时，f（x）∈Z，而x﹣1∉Z，
因此f（x）≠x﹣1，A错误；
对于B，∀x∈R，n∈Z，令f（x）＝m，则m≤x＜m+1，m+n≤x+n＜m+n+1，
因此f（x+n）＝m+n＝f（x）+n，B正确；
对于C，取，0＜lg2＜1，则，，
显然，C错误；
对于D，n∈N*，当1≤n≤9时，f（lgn）＝0，当10≤n≤99时，f（lgn）＝1，而f（lg100）＝2，
因此f（lg1）+f（lg2）+f（lg3）+•••+f（lg99）+f（lg100）＝92，此时n＝100，D正确．
故选：BD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 10 ．
【解答】解：由于二项式的系数和满足2n＝32，解得n＝5；
故的展开式（r＝0，1，2，3，4，5）；
当r＝2时，展开式的常数项为＝10．
故答案为：10．
14．（5分）已知x＞0，y＞0，xy＝x+2y，则xy的最小值是 8 ．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，xy＝x+2y，
∴xy＝x+2y，
即（xy）2﹣8xy≥0，
解得xy≥8，
故答案为：8．
15．（5分）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有 150 种．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5个新增项目的比赛项目分为3组，有＝25种分组方法，
②将分好的3组安排到A，B，C三个场地，有＝6种安排方法，
则有25×6＝150种安排方法．
故答案为：150．
16．（5分）设定义在R上的函数f（x）的值域为A，若集合A为有限集，且对任意x1，x2∈R，存在x3∈R，使得f（x1）f（x2）＝f（x3），则满足条件的集合A的个数为 5 ．
【解答】解：若A中最大元素为大于1的元素为a，则a2＞a，不满足题意，
故A中最大元素不超过1，同理可得A中最小元素不小于﹣1，
若集合A中只有一个元素a，则a2＝a，∴a＝0或a＝1，∴A＝{0}，或A＝{1}，
若集合A中有两个元素a，b（﹣1≤a≤b≤1），则a2＝a或a2＝b，
当a2＝a时，a＝1（舍）或a＝0，
此时b2＝b，∴b＝1，∴A＝{﹣1，0}．
当a2＝b时，a≠0，∴b≠0，
∴ab＝a，∴b＝1，∴a2＝1，∴a＝﹣1或a＝1（舍），
∴A＝{﹣1，1}．
若集合A中有三个元素a，b，c（﹣1≤a＜b＜c≤1），
则a2＝a或a2＝b或a2＝c，
当a2＝a时，a＝0或a＝1（舍），此时b2≠a，b2≠b，c2≠a，
∴b2＝c，c2＝c或c2＝b，解得c＝1，b＝﹣1＜a，舍去，
当a2＝b时，a≠0，1＞b＞0，∴b2≠b，b2≠a，∴b2＝a，b＝0，即A＝{﹣1，0，1}，
其集合A中有四个或四个以上元素a，b，•••，c，d（﹣1≤a＜b＜•••＜c＜d≤1），
则由上推导可得a＝﹣1，d＝1，b＝•••＝c＝0，矛盾，即此时A无解．
综上，所满足条件的集合A可以为{0}，{1}，{﹣1，1}，{1，0}，{﹣1，0，1}，共5个．
故答案为：5．
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
【解答】解：（1）设B＝“任选一名学生恰好是艺术生”，A1＝“所选学生来自甲班”，
A2＝“所选学生来自乙班”，A3＝“所选学生来自丙班”，
由题可知：，，，
，，，
则选到的学生是艺术生的概率为：
P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
＝；
（2）由贝叶斯公式可得：若选到的学生是艺术生，
其来自丙班的可能性为；
其来自乙班的可能性为；
其来自甲班的可能性为；
所以其来自丙班的可能性最高．
18．（12分）近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新能源汽车年销量w（万）如下表：其中年对应的年份代码t为1﹣5．
（1）判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数（精确到0.01）；
（2）（i）假设变量x与变量Y的n对观测数据为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），两个变量满足一元线性回归模型（随机误差ei＝yi﹣bxi），请写出参数b的最小二乘估计；
（ii）令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型，利用（i）中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
附：样本相关系数，，，，．
【解答】解：（1）如图所示，
通过做散点图发现，样本点大致分布在一条直线附近，
因此是线性相关；
＝，
所以两变量有较强的正相关；
（2）（i）＝，
要使残差平方和最小，当且仅当；
（ii）∵，
由（i）知，
∴y关于x的经验回归方程为y＝4.7x，
∴，
∴，
当t＝8，w＝4.7×8﹣0.1＝37.5（万），
因此，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到37.5万辆．
19．（12分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中a≤60．
若根据小概率值α＝0.10的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数．
（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：．
【解答】解：（1）根据题意，完成列联表如下：
由题意可得，
得a＞57.38．
易知a为5的倍数，且a≤60，所以a＝60，
所以该培训机构学习软笔书法的女生有80﹣60＝20（人）．
（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24：16＝3：2，
所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有（人），
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，．
X的分布列为：
所以．
20．（17分）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布N（220，202）．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V～240V之间；③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n（n≥2）件，记其中恰有2件不合格品的概率为pn，求p取得最大值时n的值．
附：若Z～N（μ，σ2）取P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.95．
【解答】解：（1）记电压“不超过200V”、“在200V～240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，
“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为U～N（220，202），所以，
P（B）＝P（200＜U＜240）＝P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.68，
，
所以P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.16×0.15+0.68×0.05+0.16×0.2＝0.09，
该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则X～B（n，0.09），
所以，
由，
解得，所以当n≤21时，pn＜pn+1；
当n≥22时，pn＞pn+1，所以p22最大，因此当n＝22时，pn最大．
21．（17分）设函数f（x）＝ax（2+csx）﹣sinx，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程；
（2）若a＝1，试判断f′（x）在区间上的零点的个数；
（3）若在x∈（0，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝2a+acsx﹣axsinx﹣csx，
则f（0）＝0，f′（0）＝3a﹣1，
故曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝（3a﹣1）x；
（2）若a＝1，则f（x）＝x（2+csx）﹣sinx，则f'（x）＝2﹣xsinx，
设h（x）＝f'（x）＝2﹣xsinx，
则h′（x）＝﹣sinx﹣xcsx，h'（0）＝0，且h'（﹣x）＝sinx+xcsx＝﹣h'（x），
故函数h′（x）为奇函数，
当时，sinx＞0，xcsx＞0，这时h'（x）＜0，
又函数h'（x）为奇函数，
∴当时，h'（x）＞0，
综上，当时，f'（x）单调递增，当时，f'（x）单调递减，
又，，
故f'（x）＞0在上恒成立，
∴f'（x）在上没有零点，即零点个数为0；
（3）由csx∈[﹣1，1]可知，2+csx＞0恒成立，
若f（x）＞0，则恒成立，
记，
则（2+csx）2＝，
故当时，F'（x）≥0，F（x）单调递增，又F（0）＝0，
∴当x＞0时，F（x）＞0，符合题意，
当a≤0时，有，与题设矛盾，
当时，令g（x）＝sinx﹣3ax，则g'（x）＝csx﹣3a，
又3a＜1，
故g'（x）＝0在（0，+∞）上有无穷多个零点，
设最小的零点为x1，则当x∈（0，x1）时，g'（x）＞0，因此g（x）在（0，x1）上单调递增，
故当x∈（0，x1）时，g（x）＞g（0）＝0，
故sinx＞3ax，
于是当x∈（0，x1）时，＞＞ax，
则ax﹣＜0，与已知矛盾，
故a的范围为[，+∞）．色差x
22
24
26
28
色度y
16
19
20
21
年份代码t
1
2
3
4
5
销量w（万）
4
9
14
18
25
书体
楷书
行书
草书
隶书
篆书
人数
24
16
10
20
10
认真完成
不认真完成
总计
男生
a
女生
总计
60
α
0.10
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
色差x
22
24
26
28
色度y
16
19
20
21
年份代码t
1
2
3
4
5
销量w（万）
4
9
14
18
25
书体
楷书
行书
草书
隶书
篆书
人数
24
16
10
20
10
认真完成
不认真完成
总计
男生
a
女生
总计
60
α
0.10
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
认真完成
不认真完成
总计
男生
a
女生
80﹣a
总计
60
20
80
X
0
1
2
3
4
P