四川省成都市石室中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

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考试时间120分钟，满分150分
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第1卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 fx=xlnx, 若 f′x0=2, 则 x0 等于
A. e2 B. e C. ln22 D. ln2
2.函数 fx 的定义域为 a,b, 导函数 f′x 在 a,b 内的图像如图所示，则函数 fx 在 a,b 内极小值点的个数是
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.等差数列前 n 项的和为30，前 2n 项 的和为100，则它的前 3n 项 的和为
A. 130 B. 170 C. 210 D. 260
4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A 向结点 B 传 递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为
A. 26 B. 24 C. 20 D. 19
5.记 Sn 为数列 an 的 前 n 项和，设甲： an 为等差数列：乙： Snn 为等差数列，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件D,甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.已知点 O0,0,A−2,0,B2,0. 设点 P 满足 PA−PB=2, 且 P 为函数 y=34−x2 图像上的点，则 OP=
A. 222 B. 4105 C. 7 D. 10
7.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A.56个B.57个C.58个D.60个
8.已知 a1,a2,a3,a4 成等比数列，且 a1+a2+a3+a4=lna1+a2+a3. 若 a1>1, 则
A. a1a3,a2C. a1a4 D. a1>a3,a2>a4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；
全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9.已知圆锥的顶点为 P, 底面圆心为 O,AB 为底面直径， ∠APB=120∘,PA=2, 点 C 在底面圆周上，且二面角 P−AC−O 为 45∘, 则
A.该圆锥的体积为 π B.该圆锥的侧面积为 43π
C. AC=22 D. △PAC 的面积为 3
10.设正整数 n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+ak−1⋅2k−1+ak⋅2k, 其中 ai∈{0,1}, 记 ωn=a0+a1+⋯+ak. 则A. ω2n=ωn B. ω2n+3=ωn+1
C. ω8n+5=ω4n+3 D. ω2n−1=n
11.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 α0<α<1, 收到0的概率为 1−α; 发送1时，收到0的概率为 β0<β<1, 收到1的概率为 1−β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1），则下列说法正确的有
A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为 1−α1−β2
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为 β1−β2
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 β1−β2+1−β3
D.当 0<α<0.5 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 x32+x−13n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中 x5 的系数是 .(以数字作答)
13.椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点 Fc,0 关于直线 y=bcx 的 对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 .
14.已知 a∈R, 函数 fx=ax3−x, 若存在 t∈R, 使得 ft+2−ft≤23, 则 实数 a 的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
如图，平面 PCBM⊥ 平面 ABC,∠PCB=90∘,PM//BC, 直线 AM 与直
线 PC 所成的角为 60∘, 又 AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90∘.
(1)求证： AC⊥BM;
(2)求二面角 M−AB−C 的大小：
(3)求多面体 PMABC 的体积
16.（15分）水稻苗经过一个培育周期的生长株高达到 8 cm 左右时最适宜播种，过高或过低都会影响后期的生产管理根据长期的试验观察，在正常的培育环境下水稻苗经过一个培育周期生长的株高服从正态分布 Nμ,σ2,并且符合 3σ 原则.为了监控水稻苗的生长状况，检验员会从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取20株，并测量其株高（单位：cm).
(1)把株高在 μ−3σ,μ+3σ 之外的水稻苗称作异常苗，记 ξ 表 示异常苗的数量，求 ξ 可能取值的个数、Pξ=1 及 Eξ.
(2)监控部门要求，如果在抽取的水稻苗中出现了异常苗，就认定这个培育周期的培育环境出现了异常情况，需要对培育环境进行检查和修正.(i)监控部门的要求合理吗？请说明理由.(ii)下面是检验员从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取的20株水稻苗的株高：
其中，μ=120i=120xi=7.95,σ=120i=120xi−x2=120i=120xi2−20x2≈0.294,xi为抽取的第i株水稻苗的株高，i=1,2,…,20.请判断是否需对这个培育周期的培育环境进行检查和修正？若要修正，剔除异常苗的株高，求余下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2,则Pμ−3σ17.(15分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:
y=−x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标：
(Ⅱ)设O是坐标原点，直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P,证明：
存在常数λ,使得PT2=λPA⋅PB,并求λ的值.
18.(17分)
已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+−1n,n≥1.
(1)写出数列an的前三项a1,a2,a3;
(2)求数列an的通项公式；
(3)证明：对任意的整数m>4,有1a4+1a5+⋯+1am<78.
19.(17分)
已知实数a≠0,设函数fx=alnx+x+1,x>0.
(1)当a=−34时，求函数fx的单调区间：
(2)对任意x∈1e2,+∞均有fx≤x2a,求a的取值范围.
注：e=2.71828..为自然对数的底数，