2023-2024学年内蒙古呼和浩特实验中学九年级（下）评估数学试卷

这是一份2023-2024学年内蒙古呼和浩特实验中学九年级（下）评估数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≠2
2．（3分）最接近﹣π的整数是（ ）
A．3B．4C．﹣3D．﹣4
3．（3分）下列各式中，计算结果为a6是（ ）
A．a3+a3B．a3•a2C．（a3）2D．a12÷a2
4．（3分）已知点A（1，m）与点B（3，n）都在反比例函数y＝（k＞0），那么m与n的关系是（ ）
A．m＜nB．m＞nC．m＝nD．不能确定
5．（3分）某同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
6．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（ ）
A．B．9C．15D．30
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，经过A（0，6）的一次函数y1的图象与经过B（0，2）的一次函数y2的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y=y1•y2的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a-2）x2-（a+2）x+1=0的两根之积为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣D．﹣
10．（3分）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）我国钓鱼诸岛面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为 CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式 来表示．
13．（3分）在实数范围内因式分解：x4﹣4＝ ．
14．（3分）若一组数据2，3，4，5，7的方差是，另一组数据11，13，14，则 （填“＞”“＜”或“＝”）．
15．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝+1，BC=2，AH⊥CD，垂足为H，AH=．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝ ．（结果保留根号）
三、解答题（共72分）
17．（10分）计算：
（1）解不等式组：；
（2）解方程：2（x﹣3）2＝5（3﹣x）．
18．（6分）先化简再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的一个根．
19．（6分）某学校开设四门社团课程：A美术创作、B音乐欣赏、C跨学科实践、D劳动教育．为了解学生喜欢的课程，学校随机抽取部分学生进行调查，每名学生只能选择一门课程，并将调查结果整理数据，绘制成如下不完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）“B音乐欣赏”课程所对应扇形圆心角的度数为 °；
（3）已知该校有800名学生，请估计该校学生选择“C跨学科实践”课程的人数．
20．（7分）如图点E，F，G，日分别在形ABCD的四条边上，BF=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）设AB=a,∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？说明理由并求出最大面积．
21．（7分）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 ；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
22．（9分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
23．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（2，2）（，n）．
（1）求这两个函数解析式；
（2）将一次函数y＝ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点
24．（8分）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB=∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=4，DB=2，求AE的长．
25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年内蒙古呼和浩特实验中学九年级（下）评估数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题为单选题，共10小题，每题3分，共30分）
1．【答案】A
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得x≥7．
故选：A．
2．【答案】C
【解答】解：∵π≈3.14，
∴﹣π≈﹣3.14，
∴最接近﹣π的整数是﹣7．
故选：C．
3．【答案】C
【解答】解：A、a3+a3＝7a3，故本选项不合题意；
B、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
C、（a3）3＝a6，故本选项符合题意；
D、a12÷a2＝a10，故本选项不合题意；
故选：C．
4．【答案】B
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数y＝（k＞0）的图象位于第一，且在每一象限内y随x的增大而减小．
又∵点A（4，m）与点B（3，且1＜4，
∴m＞n．
故选：B．
5．【答案】B
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第5个数有关，与第5个数无关．
故选：B．
6．【答案】A
【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形；
故选：A．
7．【答案】D
【解答】解：连接AC、EF．
∵四边形OABC为矩形，
∴B（9，3）．
又∵OE＝BF＝7，
∴E（4，0），2）．
∴AC＝＝＝3，
EF＝＝，
∴AC•EF＝3×＝30．
故选：D．
8．【答案】C
【解答】解：根据题意设C（m，3），y1＝k4x+6，y2＝k5x+2，
∴一次函数y1的图象与一次函数y3的图象相交于点C，
∴3＝mk1+8，3＝mk2+5，
∴k1＝﹣，k2＝，
∴y1＝﹣x+6，y2＝x+2，
∴y＝y1•y4＝（﹣x+6）（x3+12，
∴函数y是二次函数，
∵﹣＜2，
∴函数y图象开口向下，顶点为（0，
故选：C．
9．【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+5）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程（a﹣2）x6﹣（a+2）x+1＝2为﹣4x2+2＝0，
则两根之积为，
故选：D．
10．【答案】A
【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），
则点O是AA'的中点，
又∵点M是AC的中点，
∴OM是△AA'C的中位线，
∴OM＝A′C，
∴当A'C最大时，OM最大，
∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，
∴点C在以B为圆心，4为半径的⊙B上运动，
∴当A'C经过圆心B时，A′C最大．
A'C'＝AB+BC'＝3+7．
∴OM的最大值＝+1．
故选：A．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：6344000＝6.344×106．
故答案为：5.344×106．
12．【答案】∁nH2n+1OH．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，碳原子的数目为∁n，
观察，发现规律：甲醇的H＝2×1+2，
乙醇的H＝2×2+8，
丙醇的H＝3×2+4，
..．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁nH2n+1OH．
故答案为：∁nH8n+1OH．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：x4﹣4＝（x3+2）（x2﹣7）
＝（x2+2）[x5﹣]
＝（x6+2）（x+）（x﹣）．
故答案为：（x2+2）（x+）（x﹣）．
14．【答案】＞．
【解答】解：∵1＝（2+3+5+5+7）＝6.2，2＝（11+12+13+14+15）＝13，
∴＝[（7﹣4.2）2+（2﹣4.2）2+（3﹣8.2）2+（3﹣4.2）3+（5﹣4.7）2]＝2.952，
＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）4+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
∴＞．
故答案为：＞．
15．【答案】．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两．
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：在▱ABCD中，AB＝，BC＝2，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝，AB∥CD．
∵AH⊥CD，垂足为H，
∴sinD＝＝，
∴∠D＝60°，
∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，
∴DH＝AD＝1，
∴CH＝CD﹣DH＝+6﹣1＝，
∴CH＝AH，
∵AH⊥CD，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠ACH＝∠CAH＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACH＝45°，
∴＝2πr1，解得r6＝，
＝2πr2，解得r3＝，
∴r1﹣r2＝﹣＝．
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17．【答案】（1）3＜x≤4；
（2）x1＝3，．
【解答】解：（1），
解①得：﹣5x＜﹣9，
∴x＞3；
解②得：4x≤8，
解得：x≤4，
故不等式组的解集为：6＜x≤4；
（2）2（x﹣7）2＝5（7﹣x），
∴2（x﹣3）3+5（x﹣3）＝2，
∴（x﹣3）[2（x﹣2）+5]＝0，即（x﹣4）（2x﹣1）＝6，
∴x﹣3＝0或4x﹣1＝0，
解得：x7＝3，．
18．【答案】，．
【解答】解：原式＝，
解x8﹣2x＝0得：
x3＝0，x2＝3（使分式无意义，舍去），
当x＝0时，原式＝．
19．【答案】（1）见解答；
（2）108；
（3）224人．
【解答】解：（1）由题意得，样本容量为：48÷24%＝200，
故C的人数为：200﹣36﹣60﹣48＝56，
补全条形统计图如下：
（2）“B音乐欣赏”课程所对应扇形圆心角的度数为360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）800×＝224（人），
答：估计该校选择“C跨学科实践”课程的人数大约为224人．
20．【答案】（1）见解析；
（2）BE＝时，矩形EFGH的面积最大，最大面积为a2．
【解答】（1）证明：∵DG＝DH，
∴，
同理，∠CGF＝，
∴∠DGH+∠CGF＝，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠DGH+∠CGF＝90°，
∴∠HGF＝90°，
同理，∠GHE＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：如图连接BD，交EF于M，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AD＝AB，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴BD＝AB＝a，
∴S△BCD＝S△ABD＝AB3＝a2，
则菱形ABCD的面积是：a7，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，
∵BE＝DH，AB＝AD，
∴AH＝AE，
∵∠A＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴EH＝AE＝a﹣x
在Rt△BME中，∠ABD＝60°，
∴EM＝x
∴EF＝7EM＝x
则矩形EFGH的面积y＝HE×EF＝（a﹣x）•x＝﹣2﹣ax）＝﹣（x﹣）2+a2，
∴当x＝时，矩形EFGH的面积最大，
∴BE＝时，矩形EFGH的面积最大a4．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，
∴从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字7的只有1种结果，
∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计是数字6的概率为，
故答案为：；
（2）将祖冲之、刘徽、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁
∵共有12种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有6种结果，
∴其中有一幅是祖冲之的概率为＝．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），
即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x1＝50，x2＝64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x6+1140x﹣29600
＝﹣10（x﹣57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x＝52时，w有最大值2+2890＝2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A（2，2）在反比例函数，
∴k＝4．
∴反比例函数的解析式为．
又∵点B（，n）在反比例函数，
∴，解得：n＝8，
即点B的坐标为（，8）．
由A（2，2），8）在一次函数y＝ax+b的图象上，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣4x+10．
（2）将直线y＝﹣3x+10向下平移m个单位得直线的解析式为y＝﹣4x+10﹣m，
∵直线y＝﹣4x+10﹣m与双曲线有且只有一个交点，
令，得4x2+（m﹣10）x+4＝3，
∴Δ＝（m﹣10）2﹣64＝0，
解得：m＝4或m＝18．
24．【答案】（1）见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：连接OC，OE，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO＝90°，
即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2+CD7＝OD2，
∴OB2+42＝（OB+2）7，
∴OB＝3，
∴AB＝6，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线；
∴AE＝CE，
∵AD8+AE2＝DE2，
∴（6+2）2+AE8＝（4+AE）2，
解得AE＝7．
25．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣3，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P（x，x2+4x﹣7），则H（x，
△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x3﹣4x+1）×（3+3）＝﹣x2﹣x，
∵＜6，当x＝﹣时；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣4＝（x+2）2﹣8，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，故点C（﹣1；
设点D（﹣4，m），t）、C的坐标分别为（0、（﹣1；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移5个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移2个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+2＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣5＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC2+（t+1）7＝12+72③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC2+（m+6）2＝18+32④，
联立①③并解得：s＝﹣6，t＝2或﹣4（舍去﹣8），2）；
联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣8±，﹣4，﹣4﹣）；
②当BC为菱形的对角线时，
则由中点公式得：﹣3＝s﹣2且﹣4﹣5＝m+t⑤，
此时，BD＝BE2+（m+1）7＝s2+（t+1）3⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（6，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，﹣2，﹣4﹣，﹣3）．甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一