2024年江苏省徐州市树人初级中学九年级中考数学二模试题

这是一份2024年江苏省徐州市树人初级中学九年级中考数学二模试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
2．（3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次.3600亿用科学记数法表示为（ ）
A．3500×108B．36×1010C．3.6×1011D．3.6×1012
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．（2a）2÷a＝4a
C．（﹣ab）2＝ab2D．a2⋅a2＝2a2
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次落地后反面都朝上的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，AB∥CD，AD∥BE，AE与CD交于点O，CD＝3OD，若BE＝18，则线段AD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为D．已知∠A＝30°，则∠C等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
8．（3分）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
9．（3分）＝ ．
10．（3分）如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：3a3﹣12a＝ ．
13．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 cm．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，E是BC上的一点，BE＝3，DF⊥AE，垂足为F，则tan∠FDC＝ ．
15．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1 y2（填“＞”“＜”“＝”）．
16．（3分）若一次函数y＝x+1与y＝﹣x﹣1交于A点，则A点的坐标为 ．
17．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，点F落在四边形AECD内，点P是线段AE上的动点，过点P作PQ⊥AF，垂足为Q，连接PF，则PQ+PF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
20．（10分）（1）解方程：3（x﹣1）＝x（1﹣x）；
（2）解不等式组：．
21．（7分）某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、哲学四类．在“读书月”活动中，为了了解图书的借阅情况，图书管理员对本月各类图书的借阅进行了统计，表）和图是图书管理员通过采集数据后，绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题：
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）在图中，将表示“自然科学”的部分补充完整；
（3）若该学校打算采购一万册图书，请你估算“哲学”类图书应采购多少册较合适？
（4）根据图表提供的信息，请你提出一条合理化的建议．
22．（7分）四张卡片，分别标有1，2，3，4四个数字．
（1）从中随机取出一张卡片，请直接写出卡片上数字是奇数的概率 ；
（2）从中随机取出两张卡片，求两张卡片上数字之和大于4的概率．
23．（8分）某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．
24．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD＝EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论．
25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
26．（8分）在元宵佳节灯火会上，一名摄影爱好者为了记录这次灯火会的全过程，携带无人机进行航拍．如图，摄影爱好者在水平地面上点A处测得无人机位置点D的仰角为53°；当摄影爱好者迎着坡度为1：1.875的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点D水平飞到点C，此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角为45°．已知AB＝3.4米，CD＝5米，摄影爱好者让无人机沿与水平面平行的方向飞行．且A，B，C，D四点在同一竖直平面内，求无人机距水平地面的高度．测角仪的高度忽略不计．（参考数据：sin53°≈0.8．cs53°≈0.6．tan53°≈）
27．（10分）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
28．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
2．（3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次.3600亿用科学记数法表示为（ ）
A．3500×108B．36×1010C．3.6×1011D．3.6×1012
【解答】解：3600亿＝3.6×103×108＝3.6×1011．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．（2a）2÷a＝4a
C．（﹣ab）2＝ab2D．a2⋅a2＝2a2
【解答】解：a+a＝2a，故A错误，不符合题意；
（2a）2÷a＝4a，故B正确，符合题意；
（﹣ab）2＝a2b2，故C错误，不符合题意；
a2⋅a2＝a4，故D错误，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次落地后反面都朝上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵随机掷一枚质地均匀的硬币两次，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；
∴两次落地后反面都朝上的概率为：．
故选：C．
6．（3分）如图，AB∥CD，AD∥BE，AE与CD交于点O，CD＝3OD，若BE＝18，则线段AD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵CD＝3OD，
∴OC＝2OD，
∵AD∥BE，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝＝，
∴CE＝2AD，
∵BE＝18，
∴BC+CE＝AD+2AD＝3AD＝18，
∴AD＝6，
故选：D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为D．已知∠A＝30°，则∠C等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°
∴∠BDC＝∠A＝30°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠BDC＝30°．
故选：B．
8．（3分）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，
∴AB＝BC＝2，OQ＝3，
∴OA＝OB＝，
∴OC＝3，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（3，﹣2），
故选：A．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
9．（3分）＝ 2 ．
【解答】解：＝2．
故答案为：2．
10．（3分）如图，数轴上A、B两点之间的距离为 4 ．
【解答】解：AB＝3﹣（﹣1）＝4，
故答案为：4．
11．（3分）函数的自变量x的取值范围是 x≠1 ．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
12．（3分）因式分解：3a3﹣12a＝ 3a（a+2）（a﹣2） ．
【解答】解：3a3﹣12a
＝3a（a2﹣4）（提取公因式）
＝3a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．
13．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 3 cm．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝3，
即该圆锥底面圆的半径为3cm．
故答案为：3．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，E是BC上的一点，BE＝3，DF⊥AE，垂足为F，则tan∠FDC＝ ．
【解答】解：∵DF⊥AE，垂足为F，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADF+∠DAF＝90°，∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵∠DAF＝∠AEB，
∴∠FDC＝∠ABE，
∴tan∠FDC＝tan∠AEB＝，
∵在矩形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点，BE＝3，
∴tan∠FDC＝．
故答案为：．
15．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1 ＞ y2（填“＞”“＜”“＝”）．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
16．（3分）若一次函数y＝x+1与y＝﹣x﹣1交于A点，则A点的坐标为 （﹣1，0） ．
【解答】解：根据题意得，，
解得
∴A（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
17．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 26 寸．
【解答】解：连接OA，
设⊙O的半径是r寸，
∵直径CD⊥AB，
∴AE＝AB＝×10＝5寸，
∵CE＝1寸，
∴OE＝（r﹣1）寸，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
∴r＝13，
∴直径CD的长度为2r＝26寸．
故答案为：26．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，点F落在四边形AECD内，点P是线段AE上的动点，过点P作PQ⊥AF，垂足为Q，连接PF，则PQ+PF的最小值为 ．
【解答】解：过点B作BQ'⊥AF于点Q'，交AE于P'，过F作MN⊥BC于N，交AD于M，如图：
∵BC＝6，点E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，
∵△ABE沿AE翻折得△AFE，
∴∠AFE＝∠ABE＝90°，EF＝BE＝3，AF＝AB＝4，PB＝PF，
∴∠FAM＝90°﹣∠AFM＝∠EFN，
∵∠AMF＝∠FNE＝90°，
∴△AFM∽△FEN，
∴＝＝＝，
∴AM＝FN，MF＝EN，
设FN＝3m，EN＝3n，则AM＝4m，MF＝4n，
∵MN＝AB＝4，AM＝BN，
∴，
解得，
∴AM＝4m＝，
∵PQ+PF＝PQ+PB，
∴当B，P，Q共线时，PQ+PB最小，即PQ+PF最小，此时Q与Q'重合，P与P'重合，PQ+PF最小值为BQ'的长度，
∵∠BAQ'＝90°﹣∠MAF＝∠AFM，∠BQ'A＝∠FMA＝90°，AB＝AF＝4，
∴△BAQ'≌△AFM（AAS），
∴BQ'＝AM＝，
∴PQ+PF最小值为BQ'的长度，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）
＝﹣1﹣2+4×﹣1
＝﹣1﹣2+2﹣1
＝﹣2；
（2）
＝•
＝﹣．
20．（10分）（1）解方程：3（x﹣1）＝x（1﹣x）；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）3（x﹣1）＝x（1﹣x），
3（x﹣1）+x（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
∴x﹣1＝0或x+3＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣3．
（2）解不等式，得x≥﹣1，
解不等式2x﹣4＜0，得x＜2，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
21．（7分）某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、哲学四类．在“读书月”活动中，为了了解图书的借阅情况，图书管理员对本月各类图书的借阅进行了统计，表）和图是图书管理员通过采集数据后，绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题：
（1）表中m＝ 500 ，n＝ 0.05 ；
（2）在图中，将表示“自然科学”的部分补充完整；
（3）若该学校打算采购一万册图书，请你估算“哲学”类图书应采购多少册较合适？
（4）根据图表提供的信息，请你提出一条合理化的建议．
【解答】解：（1）400÷0.20＝2000，
m＝2000×0.25＝500，
n＝1﹣0.20﹣0.5﹣0.25＝0.05；
故答案为500，0.05；
（2）如图，
（3）10000×0.05＝500（册），
即估算“哲学”类图书应采购500册较合适；
（4）鼓励学生多借阅哲学类的书．
22．（7分）四张卡片，分别标有1，2，3，4四个数字．
（1）从中随机取出一张卡片，请直接写出卡片上数字是奇数的概率 ；
（2）从中随机取出两张卡片，求两张卡片上数字之和大于4的概率．
【解答】解：（1）∵四张卡片，分别标有1，2，3，4四个数字，卡片上数字是奇数的有2种情况，
∴从中随机取出一张卡片，卡片上数字是奇数的概率为：＝；
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵一共有12种等可能的结果，两张卡片之和大于4的有8种情况，
∴P（两张卡片之和大于4）＝＝．
23．（8分）某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．
【解答】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米，根据题意得：
﹣＝3，
解得：x＝，
经检验x＝是原方程的解；
答：每人每小时的绿化面积是平方米．
24．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD＝EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝OC，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝OC﹣CF，
即：OE＝OF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）矩形，
证明：∵BO＝DO，OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD＝EF，
∴平行四边形BEDF是矩形．
25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝BD•tan30°＝2×＝2，
∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝2，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴＝＝，
∴的长是．
26．（8分）在元宵佳节灯火会上，一名摄影爱好者为了记录这次灯火会的全过程，携带无人机进行航拍．如图，摄影爱好者在水平地面上点A处测得无人机位置点D的仰角为53°；当摄影爱好者迎着坡度为1：1.875的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点D水平飞到点C，此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角为45°．已知AB＝3.4米，CD＝5米，摄影爱好者让无人机沿与水平面平行的方向飞行．且A，B，C，D四点在同一竖直平面内，求无人机距水平地面的高度．测角仪的高度忽略不计．（参考数据：sin53°≈0.8．cs53°≈0.6．tan53°≈）
【解答】解：过B作BQ⊥AF于Q，如图所示：
∵AB坡度为1：1.875＝BQ：AQ，
∵1：1.875＝，
∴＝，
设BQ＝8h米，则AQ＝15h（米），
∵BQ2+AQ2＝AB2，
∴64h2+225h2＝289h2＝AB2，
∴AB＝17h，
∵AB＝3.4米，
∴17h＝3.4，
∴h＝0.2，
∴BQ＝1.6米，AQ＝3米，
过C作CH⊥地面于H，交BE于P，过D作DG⊥地面，交BE于M，交CB于N，
∵∠CBE＝45°，
∴CP＝BP，设GQ＝x米，则BM＝x米，
∵DC∥BE，且∠CPB＝∠DME＝90°，
∴四边形DCPM为矩形，△BNM是等腰直角三角形，
∴DM＝CP，PM＝DC＝5米，MN＝BM＝x米，
则BP＝CP＝BM+MP＝（5+x）米，
又∵PH＝MG＝BQ＝1.6米，
∴DG＝DM+MG＝5+x+1.6＝（6.6+x）米，AG＝AQ+GQ＝（3+x）米，
∵∠DAG＝53°，tan∠DAG＝tan53°≈，
∴≈，
即≈，
解得：x＝7.8，
∴BM＝7.8米，BP＝5+x＝12.8米，
∴DM＝CP＝BP＝12.8米，
∴DG＝GM+DM＝BQ+DM＝1.6+12.8＝14.4（米），
答：无人机距水平地面的高度约为14.4米．
27．（10分）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
【解答】解：（1）四边形AMDN是矩形，理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD∥AC，
∴∠A+∠AMD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
（2）如图2，过点N作NG⊥CD于G，
∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝10，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∵∠MDN＝90°＝∠A，
∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，
∴∠1＝∠C，
∴DN＝CN，
又∵NG⊥CD，
∴DG＝CG＝，
∵csC＝，
∴，
∴CN＝；
（3）如图③，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H，
∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠ADN＝∠AMN＝45°，
∵NH⊥AD，
∴∠ADN＝∠DNH＝45°，
∴DH＝HN，
∵BD＝CD＝5，∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝5，
∴∠C＝∠DAC，
∴tanC＝tan∠DAC＝＝，
∴AH＝HN，
∵AH+HD＝AD＝5，
∴DH＝HN＝，AH＝，
∴AN＝＝＝．
解法二：如图，延长MD到T，使得MD＝DT，连接NT，CT．
设AM＝AN＝a．证明CT＝BM＝6﹣a，NM＝NT＝a，∠NCT＝90°，
由NT2＝CN2+CT2，
可得（a）2＝（8﹣a）2+（6﹣a）2，解得a＝．
解法三：也可以通过D向AC和AB分别作垂线DQ和DP，通过△DPM∽△DQN相似来算．
28．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，
m＝﹣4+＝﹣，
∴B的坐标为（4，﹣），
将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
解得b＝1，c＝，
∴抛物线的解析式y＝；
（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），
DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，DE有最大值为2，
此时D（2，），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．
PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），
A'D＝＝，
即PD+PA的最小值为；
（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，
∵抛物线的解析式y＝，
∴M（1，4），
∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2）
∵∠AQM＝45°，
∠AHM＝90°，
∴∠AQM＝∠AHM，
可知△AQM外接圆的圆心为H，
∴QH＝HA＝HM＝2
设Q（0，t），
则＝2，
t＝2+或2﹣
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）或Q2（0，2）．各种图书
频数
频率
自然科学
400
0.20
文学艺术
1000
0.50
社会百科
m
0.25
哲学
n
各种图书
频数
频率
自然科学
400
0.20
文学艺术
1000
0.50
社会百科
m
0.25
哲学
n