广东省佛山市南海区石门中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份广东省佛山市南海区石门中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
内容：向量复数面面平行 命题：刘铠勇
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列条件不能确定一个平面的有（ ）
A.一条直线和直线外一点B.对边相等的四边形
C.两条相交直线D.两条平行直线
2.下列说法正确的是（ ）
A.直四棱柱是长方体
B.正四棱锥的侧面都是正三角形
C.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
D.棱台的侧棱延长后必交于一点.
3.复数的虚部是（ ）
A.B.1C.1D.
4.南宋杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”.把以上文字写成公式，即，其中为面积，，，为的三个内角，，所对的边；若，，且，则可得的面积（ ）
A.B.C.D.
5.对于直线，和平面，下列命题中正确的是（ ）
A.如果，，，共面，那么
B.如果，，，是异面直线，那么与相交
C.如果，，，是是异面直线，那么
D.如果，，，，共面，那么
6.已知圆锥的母线长为2，为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A.B.C.D.
7.复数（），则“是纯虚数”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8.在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，的任意一点，则（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分.
9.在中，内角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
10.在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.直线与直线是异面直线B.直线与直线是相交直线
C.存在点，使，，，四点共面D.存在点，使平面
11.关于复数，下列说法正确的有（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12.将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为______.
13.圆台上底面半径为2，下底面半径为5，体积为，则圆台的表面积为______.
14.设复数，，满足，，则______.
四、解答题：本大题共5小题，共7分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
四棱锥的底面为平行四边形，点、、分别是、、的中点.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
16.（本题满分15分）
在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径长为；已知，且.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
17.（本题满分15分）
四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
（1）求的大小；
（2）求的值.
18.（本题满分17分）
如图，直棱柱中，为的中点，，，.
（1）求棱柱的表面积；
（2）求证：平面；
（3）在答题卡的图上作出平面与平面的交线，并写出作图步骤.
19.（本题满分17分）
三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现.当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为
（1）若.求证：
①；
②为等边三角形.
（2）若求证：.
第二学期高一数学二检考试答案
选择题：
1—11：BDCB ADCB 9. AB 10. AD 11. ACD
填空题：
12. 13. 14.1
解答题：
15.（1）底面为平行四边形，故与平分；
∵为中点，则为中点
又为中点，∴
∵平面，平面，
∴平面.（本问6分）
（2）由（1）知，平面，平面，
∴平面，
∴，分别是，中点，∴在平面中，，
∵平面，平面，∴平面，
∵，、平面，
∴平面平面.（本问7分）
16.（1）由得：，
由，，得
.
整理得：，
因为，则，
因为，，所以，因为，所以.
（2）因为，故，且；
故，
又因为，所以.
因，可得，
又，
所以，故周长为.
17.（1）在中有，
∴，
又，
两式相除，有，∴.
∵，∴，.（本问7分）
（2）∵，∴.
∵平分，∴.
∵，，
∴，
所以，解得，
∴
，
∴.（本问8分）
【第2问还可以先求解得，得，从而，从而】
18.解（1）直棱柱侧面都是矩形，则侧面积为；
中，，又，故
故面积为
故棱柱表面.（本问7分）
（2）连接交于点，连接，
∵四边形为矩形，∴为的中点；
∵因为为的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.（本问5分）
（3）在平面中，延长直线，交于点，连接，
则平面平面.（作法2分，作图3分，共5分）
19.（1）
故（1式），
当时，有（**）
在，，中，分别有：
，，
，
三式相加整理得（2式），
将（**）和代入上式，有，
所以；（本问7分）
②由余弦定理可得，结合①，
则
又，得
整理得：（3式），
又，
故：，
仅当且时取等号，即
因，所以仅当，即时取等号，又
即仅当为等边三角形时（3）式成立.
故为等边三角形.（本问5分）
（2）由（1式），
得：
由（2式）：得
，
又，
代入上式，有，
整理得：，
由，得.（本问5分）
【小题详解】
5.选项A中，，共面则，相交或平行，但，则与中直线没有公共点，故；
长方形中，以平面为，对选项B，以为，为，可知B错，
若以为可知选项C错；以为，为，可知D错.
7.因为，故当时，
为纯虚数；同理，当时，
不是纯虚数；时，是实数，故仅当时方有是纯虚数.
8.因为是的外心，为的中点，
设的中点为，连接，
所以，，
设，则
10.选项AB是必不可能同时成立，至少有一个错的！易证得，故确定平面，
平面平面，而平面内点直线，故平面，
故与、、三点不共面，从而B是错的，A是对的.
因，故，，三点确定平面，平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，选项C错误；由选顶A知平面，故平面，只须令为中点，有，则平面，选项D正确.
11.易知选项A是对的.解方程，得或，
及是方程的2解，故D是对的；从而，
故B是错的，，故C是对的.
也可通过，确定B是错的，
.
12. 选自P119练习3.正方体的棱长为6，球体零件的体积最大时球内切于正方体，
则球的直径为6，半径为3.∴可能制作的最大零件的体积为.
14. 1 设，（，，，），
由，得，
又，得且，
由，可得，
故，解得，
由，可得，
所以，，所以，.
几何法：设，对应，，
对应，则为平行四边形，且，，
由平行四边形性质有，解得.