黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024届高三第四次模拟考试数学试卷.（原卷版+解析版）

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Ⅰ卷
一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数的乘法计算，再借助纯虚数的定义求解即得.
【详解】依题意，是纯虚数，于是，解得，
所以实数a的值为.
故选：D
2. 在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（ ）
A. 101B. 100C. 99D. 98
【答案】B
【解析】
【分析】利用分层抽样的均值公式求解即可.
【详解】由题意得可供参考的总人数为人，
故三所学校学生数学成绩的总平均数约为，
故选：B
3. 已知直线，直线，则“”是“或”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行满足的系数关系列式求解a，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若直线和直线平行，
则，解得，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A
4. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性比较与大小，再利用指数函数单调性得到与1的大小关系即可.
【详解】∵，
，
则，
故选：C.
5. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合可求得的值，可得出双曲线的标准方程，进而可求得该双曲线的渐近线方程.
【详解】因为抛物线的焦点为，
所以双曲线的一个焦点也是，
所以，解得，即双曲线的方程为，
其渐近线的方程为：.
故选：D.
6. 设，，，，则等于（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分析可知：可知，且，结合周期性分析求解.
【详解】由题意可得：，
可知，且，
且，所以.
故选：A.
7. 如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【详解】依题意
，
所以
，
所以，即.
故选：C
8. 设A，B，C是集合的子集，且满足，，这样的有序组的总数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步计数法可求有序组的总数.
【详解】如图：
考虑，，把集合划分为5个集合:，，，，，接下来将集合中的元素逐一安排到集合，，，，中即可，
因为集合中的每个元素都可能安排到5个位置中的一个，所以中2024个元素的安排方法共有种．
故选：D
二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11
B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
C. 已知随机变量，若，则
D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在11次射击中，最有可能击中的次数是9次
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用百分位数的概念判断A选项；根据平均数和中位数的概念判断B选项；根据正态分布的性质判断C选项；根据二项分布的期望判断D选项.
【详解】对A选项：把数据按从小到大顺序排列：1，2，4，5，7，11，16，21，因为，所以该组数据的第75百分位数是第6，7两个数的平均数，为：，故A错.
对B选项：根据频率分布直方图可知，若频率分布直方图单峰不对称在右边“拖尾”，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，B对；
对C选项：因为，且，所以，所以，故C正确；
对D选项：设射击命中的次数为，则，所以，所以最有可能击中的次数是9次，D对.
故选：BCD
10. 已知曲线，其中，则（ ）
A. 存在使得C为两条直线
B. 存在使得C为圆
C. 若C为椭圆，则越大，C的离心率越大
D. 若C为双曲线，则越大，C的离心率越小
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由即可判断；对于B，若C为圆，则,求出即可判断；对于C，若C为椭圆，可得，根据椭圆离心率公式及正切函数的单调性即可判断；对于D，若C为双曲线，可得，根据双曲线的离心率公式及正切函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，若，则曲线，即，为两条直线，故A正确；
对于B，若C为圆，则,
由，，可得，解得，
满足，故B正确；
对于C，若C为椭圆，则，且，
所以.
可化为，
若，即，，
则椭圆C的离心率为,
当时，单调递减，故C错误；
对于D，时，，
若C为双曲线，则，即，得.
曲线可化为，
故双曲线C的离心率为，
当时，单调递减，故D正确.
故选:ABD.
11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，即可得到，，根据初始值，由此递推即可求得结果.
【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，
所以，，故B错；
又，所以，故A对；
由题意得，又，
所以
，所以 ，
故C错；D对；
故选：AD
Ⅱ卷
三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数值的定义及奇函数的性质,结合对数的运算即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以.
故答案为：.
13. 在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，从而有，再根据三点共线，得到，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：因为在中，，
所以，
又因为，则，
因为三点共线，则，结合题意知，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
14. 若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，外接球的半径为，根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半径，即可由球的表面积公式即可求解．
【详解】设，外接球的半径为，
该多面体是由棱长为正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，
如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即，
根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，
故，即，
故该多面体的棱切球的表面积为．
故答案为：．
四、解答题：本大题共有5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，再根据棱锥的体积计算公式，求解即可；
（2）根据（1）中所求棱锥的体积，求得点到平面的距离，结合的长度，利用公式，直接求解即可.
【小问1详解】
面面，故，故，
又在直角梯形中，，；
又为中点，故
.
【小问2详解】
因为//，故，又面面，故，
又面，
故面面，则，则△为直角三角形；
易知，
故，
设点到面的距离为，
由（1）可得，解得；
因为分别为的中点，故//，
则面，又面，则，
故△为直角三角形，则，
设直线与平面所成角为，则.
16. 已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前2n项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据递推公式，结合已知条件，判断为等差数列，再求得首项，直接写出其通项公式即可；
（2）根据（1）中所求写出，再求，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果.
【小问1详解】
，当时，，两式作差可得：，
，，又，
故，又当时，，解得；
故数列为首项，公差为的等差数列，则.
【小问2详解】
；
，
故
.
17. 2024年4月13日，以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会倒计时300天主题活动在哈尔滨大剧院举行，现场有若干志愿者小组参与交通员、宣传员、引导员三项工作.其中志愿者第一小组共有男生4人，女生2人，现从第一小组随机选取2人，要求每名女生只参加1项工作，每名男生至多从中选择参加2项工作，且选择参加1项或2项的可能性均为.志愿者每人每参加1项工作可获纪念品1份，选择参加几项工作彼此互不影响.
（1）求在有女生参加工作的条件下，恰有一名女生的概率；
（2）记选取女生的人数为X，求X的分布列，并求出X的期望与方差；
（3）记随机选取的两人获得纪念品之和为Y，求Y的期望
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）利用条件概率公式和古典概型来求解即可；
（2）利用超几何分布概率计算公式来求解概率即可得到分布列，再利用期望和方差公式求解；
（3）依题意得到的可能取值，分析各取值对应的情况，进而求得其对应的概率，从而利用期望公式即可得解.
【小问1详解】
现从第一小组随机选取2人，
记选到有女生参加工作记为事件A，选到恰有一位女生参加工作记为事件B，
则.
【小问2详解】
现从第一小组随机选取2人，记选取女生的人数为X，则X的可能取值有，
；；；
所以X的分布列为：
所以；
.
【小问3详解】
由随机选取两人获得纪念品之和为Y，则Y的可能取值有，
其中表示选到2个男生，而且2个男生都参加两项活动；
表示选到2个男生，其中一个参加一项，另一个参加两项活动，
或者选到1个男生和1个女生，且这个男生参加两项活动；
表示选到2个男生或1男1女或2个女生，他们各自都参加一项活动；
则；
；
；
所以.
18. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点.
（1）求曲线的方程；
（2）求面积的最大值；
（3）已知点，设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，，使得为定值
【解析】
【分析】（1）设点，，根据给定条件，利用坐标代换法求出曲线的方程；
（2）设直线为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，再换元，利用基本不等式可得；
（3）表示出，，从而表示出，再将代入，结合为定值求出的值，即可得解.
【小问1详解】
设点，，则，由，
即，
因此，而，即，
所以曲线的方程为．
【小问2详解】
设直线为，，，
由，消去整理得，
由，则，
所以，，
所以
，
令，，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
【小问3详解】
存在，，使得为定值.
依题意，，且，，
则，
所以，
，
要使为定值，则，解得或（舍去），
所以存在，使得为定值.
19. 已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当时，若，满足，求证：；
（3）已知，证明：当，方程在有两个实根.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）函数单调递增即导函数大于等于零，转化成不等式恒成立求参数范围；
（2）当时，单调递增，将要证明的式子等价转化成即证，构造新函数，利用导数求解函数最值即可证明.
（3）将方程在有两个实根等价转化成在有两个零点，多次求导研究函数的单调性结合零点存在性定理即可证明.
【小问1详解】
由题意可得：，因为在上单调递增，
则在上恒成立，即，令，，
则，由得，
可得在上单调递减，则，所以，
故实数的取值范围.
【小问2详解】
当时，，则，所以单调递增，
因为，，所以，要证，需证，
即证，即证，只需证，
令，
则，令，
则，所以在上单调递增，
所以，所以，所以在上单调递减，
所以，
即，所以，得证；
【小问3详解】
令，，即，
即，令，则，
当时，，，则，在上单调递减，
当时，令，则，
此时单调递增，又，，
由零点存在性定理得在上存在唯一零点，即，使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，令，则，
所以在上单调递减，又，，
由零点存在性定理得在上存在唯一零点，即，使得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增.
综上，当时，单调递减；当时，单调递增；
又因为，所以，由上可知，
即，所以，
当时，单调递增，
又，
则范围缩小为，令，，
则，所以在上单调递减，
所以，
所以，所以当时，，，
所以当时，存在唯一零点，当时，存在唯一零点，
即方程在有两个实根.
【点睛】方法点睛：①对于不等式的证明，一般通过构造函数，求函数最值来证明；②对于求导一次不能解决问题的，可再求一次导来解决.X
0
1
2