江西省贵溪市实验中学2024届高三下学期5月高考冲刺压轴卷（一）数学试卷（原卷版+解析版）

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本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合或，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，且，则（ ）
A. 3B. C. 4D.
3. 已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知圆与中心在原点、焦点在x轴上双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为（ ）
A B. C. D.
5. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A. 674B. 675C. 676D. 677
6. 6本不同的课本分给甲、乙、丙、丁四位同学，每位同学至少分得1本，则甲分得的课本数量比乙多的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10年粮食年产量的极差为16
B. 这10年粮食年产量的第70百分位数为35
C. 这10年粮食年产量的平均数为33.7
D. 前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是周期函数
B 若，则
C. 在区间上是单调递增
D. 函数在区间上有且仅有一个零点
11. 已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为16D. 当最小时，直线的斜率不存在
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中，常数项的值为________．
13. 的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，设向量，，若向量与向量共线，则角________．
14. 如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知函数.
（1）若，求函数的极小值.
（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．
16. 如图，在四棱锥中，，，四边形为菱形，，平面，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
17. 为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
（1）当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）
18. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，且椭圆过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点．
19. 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为．
（1）直接写出所有自邻集；
（2）若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
（3）若，求证：．