宁夏银川市唐徕中学2024届高三第三次模拟考试理科数学试题（原卷版+解析版）

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理科数学
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号：非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助复数四则运算及共轭复数定义与模长公式计算即可得.
【详解】，
故.
故选：C.
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为集合，集合，
所以，
故选：A
3. 已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差中项求解.
【详解】因为数列是等差数列，
所以
解得 ，
所以，
故选：C
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解.
【详解】由已知得，即（），
则从而.
故选：A.
5. 现将包含甲、乙在内的5名老师全都安排到3个不同的班级，每个班级必须至少有1名老师，且甲、乙必须去同一个班级，则不同的选派方案共有（ ）
A. 144种B. 72种C. 36种D. 18种
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据条件分组，然后再求解分配方法种数即可.
【详解】先将人分成组，有和两种分法，
若按分组，则甲、乙还需一人，此时分组方法有种，
若按分组，则只需将除甲、乙以外的人分成组，此时分组方法有种，
所以不同的选派方案共有种.
故选：C.
6. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用奇偶性的定义来判断是否为偶函数，再利用给定的定义域去掉绝对值符号，再对函数进行单调性分析即可.
【详解】对于A：因为，所以为偶函数，
当时， ，，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B：因为，所以为偶函数，
当时， ，
当时，，
因在上单调递减，
所以在上单调递增，故B正确；
对于C：因为，所以为偶函数，
当时， ，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，故C错误；
对于D：因为，
所以为非奇非偶函数，故D错误.
故选：B.
7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可.
【详解】如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处，
设球O与母线切于M点，所以，所以，
所以与全等，所以，同理，所以，
过A作，垂足为G，则，，
所以，所以，所以，所以，
所以该圆台的体积为.
故选：C
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，应用导数得其单调性，可判断，再结合指数函数的单调性即可判断.
【详解】根据题意，构造函数，则，
当时，，所以在区间上单调递增，
因此可得，即，
所以，
又指数函数为单调递增，可得，即，
因为，所以.
故选：A.
9. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若有两解，则c的取值可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，计算即可得.
【详解】由题意可得，即.
故选：A.
10. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为，
所以，
由双曲线的定义可得，
所以，
在中，
由余弦定理得，
在中，，
设，则，
由得
，解得，所以，
所以.
故选：D.
.
11. 如图，设，是圆上的两个动点，且M、P点都不在坐标轴上，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，若直线，与y轴分别相交于和则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】求出的方程得出，求出的方程得出，再利用、点在圆上可得.
【详解】依题意，，，显然，，
的方程为，令，得，
的方程为，令，得，
所以．
故选：D
12. 已知函数有3个零点，，，有以下四种说法：
①
②
③存在实数a，使得，，成等差数列
④存在实数a，使得，，成等比数列
则其中正确的说法有（ ）种.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设，根据，求导分析单调性，进而数形结合分析，根据可判断①，根据函数的极大值可判断②，根据三次函数的对称性可判断③，举例可判断④.
【详解】由，得，
设，则，
则的极小值为，极大值为．

对①，因为，
所以，当且仅当时，，所以，①正确．
对②，因为在上单调递减，且，
所以，所以未必成立，②错误．
对③，设，令有，则有，故图象存在对称中心，
所以存在实数，使得，，成等差数列，③正确．
对④，因为，所以存在实数，使得，，成等比数列，④正确．
故选：C.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 的展开式中的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】由二项式定理求出展开项的通项公式求指定项的系数即可.
【详解】的二项展开式的通项公式为：，
所以的通项公式可以看为两项分别为，，
即，当时，，
，当时，，
故的展开式中的系数为：.
故答案为：.
14. 已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影为______.
【答案】
【解析】
【分析】由与垂直，结合与的夹角为135°，利用数量积的定义得到，解得，再利用在上的投影的定义求解.
【详解】解：因为与垂直，
所以，即，
解得，
又因为与的夹角为135°，
所以，解得，
所以在上的投影为，
故答案为：
15. 已知命题p：关于x的方程有实根；命题q：关于x的函数在上单调递增，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分分别求出两个命题为真命题时的范围，再分真假和假真两种情况讨论即可得解.
【详解】由关于x的方程有实根，
得，解得或，
由关于x的函数在上单调递增，
得，解得，
因为“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，
所以一真一真一假，
当真假时，，解得，
当假真时，，解得，
综上所述，.
故答案为：.
16. 已知曲线，，，P为C上异于A，B的一点，直线与直线交于M，直线与直线交于点N，则有以下四种说法：
①存在两个定点，使得P到这两个定点的距离之和为定值
②直线与直线的斜率之差的最小值为
③的最小值为
④当直线的斜率大于时，大于
其中正确命题的序号为______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】由曲线方程得出为椭圆的上半部分，根据椭圆定义判断①；对于②，设坐标，表示出直线与直线的斜率之差，利用基本不等式求得最小值；对于③④，表示出直线和的方程，与的坐标，利用距离公式以及基本不等式和函数单调性求得.
【详解】由，得（），
则表示椭圆的上半部分，
对于①，根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为定值，故①正确；
对于②，设，则，
设，则，，
所以直线与直线的斜率之差为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线与直线的斜率之差的最小值为，故②正确；
对于③，直线的方程为，则的坐标为，
直线的方程为，则的坐标为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故③正确；
对于④，设函数（），
由对勾函数的性质可得在上为增函数，
所以，
因为，故④错误．
故答案为：①②③.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法：特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法：常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
17. 设数列的前n项和为，已知，
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求使得成立的n的最小值.
【答案】（1）
（2）11
【解析】
【分析】（1）利用数列的通项与前n项和的关系求解；
（2）利用（1）的结论得到求解.
【小问1详解】
解：当时，；
当时，由，
得，
两式相减得，即，
又，且，
所以是等比数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）知：，
则数列的前n项和为，
所以不等式，即为，
即，所以，
所以使得成立的n的最小值为11.
18. 银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
（1）从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率；
（2）若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上人数为，求随机变量的分布列和均值.
附：若，则，，
【答案】（1）
（2）①；②分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意可得旅游支出不低于元的有人，结合古典概型概率公式即可求解；
（2）① 根据题意可得，，结合正态曲线的对称性即可求解；
②根据题意可得所有可能取值为，结合二项分布求概率和均值即可求解．
【小问1详解】
样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人，
所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，
两人旅游支出均不低于元的概率为；
【小问2详解】
以下涉及旅游支出费用，则默认单位均为千元，
，
所以，，服从正态分布，
，
，
估计襄阳市有个市民每年旅游费用支出在元以上；
②由①知，，则，
的所有可能取值为，
，，
，；
所以随机变量的分布列为：
均值为.
19. 已知三棱柱中，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，且P是的中点，求平面和平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形性质得到，再结合得到平面，根据线面垂直的性质得到，再结合得到平面，最后根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据面面垂直的性质证明平面，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
在三棱柱中，四边形是平行四边形，
而，则四边形是菱形，
连接，如图，则有，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，则，
由得，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
在菱形中，，
则为等边三角形，
又因为P是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则,
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
设平面的法向量为，
则有，可取，
故，
所以平面和平面所成二面角的正弦值为.
20. 设抛物线，直线是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，是不在直线l上的一点，直线，分别与准线交于P，Q两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：：
（3）记，的面积分别为，，若，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据准线方程可得，即可求解；
（2）设l：，，联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相交求出坐标，转化为求即可得证；
（3）由（2）可得，再由，根据可得，即可得解.
【小问1详解】
因为为抛物线的准线，
所以，即，
故抛物线C的方程为
【小问2详解】
如图，
设l：，，
联立，消去x得，
则，且，
又AM：，令得，
同理可得，
所以
，
，
故.
【小问3详解】
由（2）可得：，
，
由，得：，解得，
所以直线l的方程为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出点的坐标（含参数），第二个关键点在于将转化为关于对称，即.
21. 已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）讨论函数的极值点个数；
（3）当函数无极值点时，求证：．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对求导，构造函数后再求导，由二次导数得到在上单调递减，再由零点存在定理确定的最小值.
（2）求导后令得，再利用换元法设，得到，构造函数，利用导数分析其单调性和极值，画出图像，再由方程根的个数讨论函数零点的个数.
（3）先证明当时，，构造函数，求导后分析单调性得到最小值可证明之；再由（2）知，当函数无极值点时，，则，取最小值取，则有，即可证明.
【小问1详解】
当时，，
则，
令，则，
因为，所以．则在上单调递减，
又因为，
所以使得在上单调递增，在上单调递减．
因此，在上的最小值是与两者中的最小者．
因为，
所以函数在上的最小值为．
【小问2详解】
，
由，解得，
易知函数在上单调递增，且值域为，
令，由，解得，
设，则，
因为当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．
根据时，，
得的大致图像如图所示．

因此有：
（ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点；
（ⅱ）当时，，
设，则，令，
则在上时单调递增函数，即，
得，此时没有极值点；
（ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点；
（ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点．
综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点．
【小问3详解】
先证明当时，．
设，则，
记，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递减，，
即当时，不等式成立．
由（2）知，当函数无极值点时，，则，
在不等式中，取，则有，
即不等式成立．
【点睛】关键点点睛：
（1）求函数在给定区间上的最值时，通常求导，利用导数的单调性分析最值，若在给定区间上不是单调的，常用零点存在定理分析其单调性，再比较区间的端点值找到最值.
（2）讨论函数的极值点个数值，通常转化为分离参数，转化为两函数图像交点的个数或两函数相等时方程根的个数问题.用导数分析其单调性，求最值，再数形结合分析交点个数或方程根个数.
（3）证明不等式成立问题时可采用构造函数，找到不等式一边的最小值大于另一边，或最大值小于另一边，即函数不等式恒成立问题.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.
（1）当时，求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（2）设直线与l曲线C交于A，B两点，若为弦的中点，求弦长.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）消去参数可得l的普通方程，借助极坐标方程与直角坐标方程得关系可得C的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入C的直角坐标方程，借助参数的几何意义计算即可得.
【小问1详解】
当时，（t为参数），则，
即l的普通方程为，
由，有，即，
即C的直角坐标方程为；
【小问2详解】
将代入，有，
整理得，
显然，
故有，，
由为弦的中点，故有，即，
即，又，
即，，
则.
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；
（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，，由可得，则；
当时，，由可得显然成立，则；
当时，，由可得，则；
综上：不等式的解集为；
【小问2详解】
，当且仅当即时取等，，则，
又，，均为正数，则
，当且仅当，即时等号成立，则.
组别（支出费用）
频数
3
4
8
11
41
20
8
5