2024年北师大版数学八（下）重点专项突破2 等边三角形的探索类问题

这是一份2024年北师大版数学八（下）重点专项突破2 等边三角形的探索类问题，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
2．如图，AD平分∠CAB，BD平分∠ABF，DE⊥AC于E，BF//AC交ED的延长线于点F。给出以下三个结论：①AB=AC；②AD⊥BC；③DE=DF，正确的结论共有（ ）
A．0个B．3个C．2个D．1个
3．已知x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为( )
A．(3，0)B．(0，3)
C．(0，3)或(0，-3)D．(3，0)或(-3，0)
4．如图 39-3， 在菱形 ABCD中， ∠B=60∘．△AEF 的两顶点 E，F 分别落在边 BC，CD 上． 从给出的四个条件中任选一个： ①∠EAF=60∘； ②∠EF=60∘； ③AE= AF； ④EA=EF． 其中能够推出 △AEF 为等边三角形的有（ ）
提示 按时完成 “A 本”高效提分训练 39
A．①②B．②④C．①②④D．①③④
二、填空题
5．如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝1cm，BC＝3cm，CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长是： .
6．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 ．
7．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规 律排列下去，第 n 个图形中实心圆点的个数为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
9．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 1+2+3+⋯+n=n(n+1)2 ，图3图4的中的圆圈共有14层.我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，则图4中所有圆圈中各数的绝对值之和为 .
三、解答题
10．如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
11．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
12．如图，在矩形ABCD中， AB=6 ， BC=10 ，将矩形沿直线EF折叠.使得点A恰好落在BC边上的点G处，且点E、F分别在边AB、AD上（含端点），连接CF.
（1）当 BG=32 时，求AE的长；
（2）当AF取得最小值时，求折痕EF的长；
（3）连接CF，当 △FCG 是以CG为底的等腰三角形时，直接写出BG的长.
13．如图， ΔABC 中， D 是 AB 边上一点．
（1）在边 AC 上求作一点 E ，使得 AEAC=ADAB ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ΔABC 的面积是 ΔADE 面积的9倍，且 BC=6 ，求 DE 的长．
14．阅读材料
研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（xA，yA）、B（xB，yB），则线段AB的中点坐标可以表示为（xA+xB2，yA+yB2）．
（1）问题提出
如图1，直线AB与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B（6，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式．
（2）问题解决
同学通过观察发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”，如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABD＝S△BCD，则可得AO＝CO．根据上述结论，在如图3的平面直角坐标系中，M（1，6），N（4，﹣3），C（5m，m＋2），若OC恰好平分四边形OMCN的面积，求点C的坐标．
15．阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（点C与点C′重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2，在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3，在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（3）猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？
16．已知D、E分别为△ABC中AB、BC上的动点，直线DE与直线AC相交于F，∠ADE的平分线与∠B的平分线相交于P，∠ACB的平分线与∠F的平分线相交于Q.
（1）如图1，当F在AC的延长线上时，求∠P与∠Q之间的数量关系；
（2）如图2，当F在AC的反向延长线上时，求∠P与∠Q之间的数量关系（用等式表示）.
17．由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法.下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务.问题情境：在四边形ABCD中，AC是对角线，E为边BC上一点，连接AE.以E为旋转中心，将线段AE顺时针旋转，旋转角与∠B相等，得到线段EF，连接CF.
（1）特例分析：如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AC⊥CF；
（2）拓展分析一：如图2，若四边形ABCD是菱形，探究下列问题：
①当∠B＝50°时，求∠ACF的度数；
②针对图2的条件，写出一般的结论（不必证明）；
（3）拓展探究二：如图3，若四边形ABCD是矩形，且BC＝k•AB（k＞1）.若前提条件不变，特例分析中得到的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，修改题中的条件使结论成立（不必证明）.
18．如图1， ΔABC （ 12AC