2024年北师大版数学八（下）重点专项突破3 垂直平分线与角平分线的性质与应用

这是一份2024年北师大版数学八（下）重点专项突破3 垂直平分线与角平分线的性质与应用，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，在 Rt△ABC 中， ∠A=90° ， ∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点D.若 AD=2 ，则点D到BC的距离为（ ）
A．1B．3C．5D．2
2．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18 cmB．22 cmC．24 cmD．26 cm
3．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=kx的图象上，且OA⊥OB，csA=33，则k的值为( )
A．－3 B．－6 C．－4 D．-23
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，在△ABC中，∠C=85°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A．50°B．45°C．35°D．30°
6．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )

A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
7． 如图，正方形ABCD的边长为25，N为AD上一点，连接BN，AM⊥BN于点M，连接CM，且CM=CB，若AM=2，则ΔBCM的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．25
8．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
9．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（ ）
A．8B．7C．6D．5
10．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.下列结论：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③CH=HE；④∠PCF=∠CPF；⑤∠CPA=∠CEA.其中，正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题
11．如图，∠ADB=∠ABC=90°，∠DAB=∠BAC，BD=6，P为AC上一点，则BP的最小值为
12．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是 ．
13．如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的最小值是 ．
​
14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=5．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，且DF=9，则CE的长为
15．如图，在▱ABCD中，CD=5，∠B=60°，按以下步骤作图：①分别以点A，点B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE．由作图的结果可得△ABE的周长为 ．
16．如图，在 △ABC 中， AB 、 AC 的垂直平分线分别交 BC 于D、E两点，并且相交于点F，且 ∠DFE=70° ，则 ∠DAE 的度数是 .
三、作图题
17．如图，过点A做一条直线，使其将ΔABC分成两个面积相等的三角形.
18．如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D．
（1）用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线分别与AB、AC、AD交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE、DF，完成下面证明HE=HF的过程．
证明：∵∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD= ▲ ．
∵EF垂直平分AD，
∴∠AHF=∠DHE=90°，AH= ▲ ， ▲ ，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
∴△AHF≌ ▲ ASA．
∴HE=HF．
四、解答题
19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，
求证：∠B=∠E．
20． 已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．
（1）求证：PM＝PN；
（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．
五、综合题
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过 BD 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．
（1）求证：△ABF≌△ACG；
（2）求证：BE＝CG+EG．
23．如图，在 △ACD 的外接圆中，弦 AB 平分 ∠DAC ， AC=AD ，过点B作圆的切线 BE ，交 AD 的延长线于点E.
（1）求证： CD//BE ；
（2）已知， AC=5 ， sin∠CAB=35 ，求 BE 的长.
24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC；
（2）若AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长．
25．阅读下列推理过程，将空白部分补充完整．
（1）如图1，∠ABC=∠A1B1C1，BD，B1D1分别是∠ABC，∠A1B1C1的角平分线，对∠DBC=∠D1B1C1进行说理．
理由：因为BD，B1D1分别是∠ABC，∠A1B1C1的角平分线
所以∠DBC= ，∠D1B1C1= （角平分线的定义）
又因为∠ABC=∠A1B1C1
所以 12 ∠ABC= 12 ∠A1B1C1
所以∠DBC=∠D1B1C1（ ）
（2）如图2，EF∥AD，∠1=∠2，∠B=40°，求∠CDG的度数．
因为EF∥AD，
所以∠2= （ ）
又因为∠1=∠2 （已知）
所以∠1= （等量代换）
所以AB∥GD（ ）
所以∠B= （ ）
因为∠B=40°（已知）
所以∠CDG= （等量代换）
（3）下面是“积的乘方的法则“的推导过程，在括号里写出每一步的依据．
因为（ab）n= (ab)·(ab)·…·(ab)︷n个ab （ ）
= (a·a·…·a)︷n个a·(b·b·…·b)︷n个b （ ）
=anbn（ ）
所以（ab）n=anbn．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】 ∵∠A=90° ，即 AD⊥AB
∴AD 为点D到AB的距离
由角平分线的性质得：点 D 到 BC 的距离等于AD
即点 D 到 BC 的距离为2.
故答案为：D.
【分析】
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC=4cm，
而△ABD的周长为14cm，即AB+BD+AD=14cm，
∴AB+BD+DC=14cm，
∴AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，
即△ABC的周长为22cm．
故选B．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AE=EC=4cm，由AB+BD+AD=14cm，得到AB+BD+DC=14cm，所以有AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，从而得到结论．
3．【答案】C
【解析】【解答】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，

∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠EOA=90°，
∵∠BOF+∠FBO=90°，
∴∠EOA=∠FBO，
∵∠BFO=∠OEA=90°，
∴△BFO∽△OEA，
在Rt△AOB中，cs∠BAO=AOAB=33，
设AB=3，则OA=1，根据勾股定理得：BO=2，
∴OB：OA=2：1，
∴S△BFO：S△OEA=2：1，
∵A在反比例函数y=2x上，
∴S△OEA=1，
∴S△BFO=2，
则k=-4．
故选C
【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相 等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根 据cs∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之 比，由A在反比例函数y=2x上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵∠C=90°，
∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE= 12 BD，
∵BC=3，
∴CD=DE=1，
故选A．
【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=85°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=65°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=35°.
故答案为：C.
【分析】根据内角和定理可得∠BAC=180°-∠B-∠C=65°，由作图可知MN为AB的中垂线，则DA=DB，根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠B=30°，然后根据∠CAD=∠BAC-∠DAB进行计算.
6．【答案】B
【解析】【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
【解答】∵分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BM，
∵AM⊥BN，AB=BC=25，AM=2，
∴BM=AB2-AM2=4，
∵CE⊥BM，CM=BC，
∴BE=EM=2，
∴CE=BC2-BE2=4，
∴ΔBCM的面积为 12BM·CE=12×4×4=8；
故答案为：A.
【分析】过点C作CE⊥BM，由勾股定理求出BM=4，利用等腰三角形三线合一的性质可得BE=EM=2，在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE=4，根据三角形的面积公式计算即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：D．
【分析】过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，由四边形内角和及三角形内角和求出∠C+∠EPF＝180°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，从而求出∠D+∠G＝=∠C=50°，有轴对称的性质可得∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，从而得出∠GPN+∠DPM＝50°，根据∠MPN＝∠DPG-（∠GPN+∠DPM）即可求解.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝4.
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，
∴28=12×8×4+12×AC×4 ，
∴AC＝6.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的性质可得DF＝DE＝4，根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝28，即可求出AC.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB=12∠CAB，∠PBE=12∠CBE，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，故 ① 正确；
过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于点N，PS⊥BC于点S，如图，
∴PM=PN=PS，
∴PC平分∠BCD，
同理可得：∠CPA=12∠ABC，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠ABC=∠BEC+∠BCE=2∠BEC，
∴∠CPA=∠CEA，故 ⑤ 正确；
∵ S△PAC：S△PAB=(12AC·PN)：(12AB·PM)=AC：AB，故 ② 正确；
∵BE=BC，PB平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE，故 ③ 正确；
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF，
∴∠PCF=∠CPF，故 ④ 正确；
故正确的有 ①②③④⑤ ，
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的性质结合已知条件进行逐一判断即可求解.
11．【答案】6
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥AC于点G，
根据垂线段最短知，当点P与点G重合时，BP取得最小值，
∵∠ADB=90°，∠DAB=∠BAC，
∴BD=BG，
∵BD=6，
∴BG=6，即BP的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】过点B作BG⊥AC于点G，根据垂线段最短可知：当点P与点G重合时，BP取得最小值，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得BD=BG求解.
12．【答案】119°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=58°，
∴∠BAD=122°，∠B=∠D=58°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=61°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=119°．
故答案为：119°．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠B=∠D=58°，∠BAE=61°，再利用三角形外角的性质可得∠AEC=∠B+∠BAE=119°。
13．【答案】3
【解析】【解答】解：∵AP+PB=AB，
∴PM最小时，PA+PB+PM的值最小值，
由垂线段最短可知PM⊥CD时，PA+PB+PM的值最小值，
最小值为1+2=3．
故答案为：3．
【分析】根据AP+PB=AB，然后判断出PM最小时，PA+PB+PM的值最小值，再根据垂线段最短解答．
14．【答案】6.5
【解析】【解答】∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC ，DE= 12 BC= 12× 5=2.5，
∵DF=9，∴EF=DF-DE=9-2.5=6.5，
∵CF平分∠ACM，
∴∠ECF=∠FCM，
∵DF//BC，
∴∠EFC=∠FCM，
∴∠DFC=∠ECF，
∴CE=EF=6.5，
故答案为：6.5.
【分析】根据三角形的中位线定理得出DE//BC ，DE= 12BC=12 × 5=2.5，根据线段的和差得出EF的长，根据角平分线的定义得出∠ECF=∠FCM，根据平行线的性质得出∠EFC=∠FCM，故∠DFC=∠ECF，根据等角对等边得出答案。
15．【答案】15
【解析】【解答】
解：根据题意作图可知：EF垂直平分AB
∴AE=BE
∵∠B=60°
∴△ABE是等边三角形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=5
∴AE=BE=AB=5
∴C△ABE=3AB=15
故答案为：15
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质和等边三角形的判定，由题意作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，可得：AE=BE，由∠B=60°可得：△ABE为等边三角形，由平行四边形的性质：对边相等可知：AB=CD=5，代入三角形周长计算公式即可得出答案.
16．【答案】40°
【解析】【解答】解： ∵AB 、 AC 的垂直平分线相交于点 F ， ∠DFE=70° ，
∴∠BAC=360°−90°−90°−70°=110° ，
∴∠B+∠C=180°−110°=70° ，
∵AB 、 AC 的垂直平分线分别交 BC 于D、E两点，
∴DA=DB ， EA=EC ，
∴∠DAB=∠B ， ∠EAC=∠C ，
∴∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=70° ，
∴∠DAE=110°−70°=40°.
故答案为： 40° .
【分析】首先根据四边形内角和为360°求出∠BAC的度数，由三角形的内角和定理可得∠B+∠C的度数，由垂直平分线的性质可得DA=DB，EA=EC，由等腰三角形的性质可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，据此求解.
17．【答案】解：如图，作BC边上的中线AD，
∵BD=CD，△ABD、△ACD中BD、CD边上的高相等，
∴S△ABD=S△ACD，
∴AD即为所求.
【解析】【分析】作BC边上的中线，即可把ΔABC分成两个面积相等的三角形.
18．【答案】（1）解：所作图形如下：
（2）解：∵∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF垂直平分AD，
∴∠AHF=∠DHE=90°，AH=DH，EA=ED．
∴∠BAD=∠ADE．
∴∠CAD=∠ADE．
∴△AHF≌△DHEASA．
∴HE=HF．
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作法求作即可；
（2）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质证明即可。
19．【答案】证明：连接AC，AD，
∵AF是CD的垂直平分线，
∴AC=AD．
又AB=AE，BC=ED，
∴△ABC≌△AED（SSS）．
∴∠B=∠E．
【解析】【分析】连接AC，AD证得AC=AD，进而证得△ABC≌△AED，则可得∠B=∠E．
20．【答案】（1）证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
AB=BC∠ABD＝∠CBDBD=BD ，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）证明：在Rt△PDM和Rt△PDN中，
PM=PNPD=PD ，
∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），
∴DM＝DN，
∴D在MN的垂直平分线上，
∵PM＝PN，
∴P在MN的垂直平分线上，
∴PD是MN的垂直平分线．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质求证。根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定求证。利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线的判定即可得到结论。
21．【答案】（1）解：如图，连接OE，
∵FG=EG ，
∴∠GEF=∠GFE=∠AFH ，
∵OA=OE ，
∴∠OAE=∠OEA ，
∵CD⊥AB ，
∴∠AFH+∠FAH=90∘ ，
∴∠GEF+∠AEO=90∘ ，
∴∠GEO=90∘ ，
∴GE⊥OE ，
∴EG 是 ⊙O 的切线；
（2）解：连接OC，设 ⊙O 的半径为r，
∵AH=3 、 CH=4 ，
∴OH=r−3 ， OC=r ，
则 (r−3)2+42=r2 ，
解得： r=256 ，
∵GM//AC ，
∴∠CAH=∠M ，
∵∠OEM=∠AHC ，
∴△AHC ∽ △MEO ，
∴AHEM=HCOE ，即 3EM=4256 ，
解得： EM=258 ．
【解析】【分析】（1）连接OE，由 FG=EG 得 ∠GEF=∠GFE=∠AFH ，由 OA=OE 知 ∠OAE=∠OEA ，根据 CD⊥AB 得 ∠AFH+∠FAH=90∘ ，从而得出 ∠GEF+∠AEO=90∘ ，即可得证；（2）连接OC，设 OA=OC=r ，再 Rt△OHC 中利用勾股定理求得 r=256 ，再证 △AHC ∽ △MEO 得 AHEM=HCOE ，据此求解可得．
22．【答案】（1）证明：
∵∠BAC=∠FAG，
∴∠BAC−∠3=∠FAG−∠3，
即 ∠1=∠2．
在△ABF和△ACG中，
∵∠1=∠2AB=AC∠ABF=∠ACG，
∴△ABF≌△ACG（ASA）．
（2）证明：
∵△ABF≌△ACG，
∴AF=AG，BF=CG．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠1=∠3．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3．
在△AEF和△AEG中，
∵AF=AG∠3=∠2AE=AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS）．
∴EF=EG．
∴BE=BF+FE=CG+EG．
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出∠1=∠2，再利用“ASA”证明△ABF≌△ACG即可；
（2）先利用“SAS”证明△AEF≌△AEG，可得EF=EG，再利用线段的和差及等量代换可得BE=BF+FE=CG+EG。
23．【答案】（1）证明：设 AB 与 CD 的交点为F，连接 BD ，
∵AC=AD ，
∴△ACD 是等腰三角形
AB 平分 ∠DAC ，
∴AB⊥CD ， DF=CF ，
∴AB 是直径，
∵BE 是 △ACD 的外接圆的切线，
∴BE⊥AB ，
∴CD//BE ；
（2）解：∵AC=AD=5 ， sin∠CAB=35=CFAC ，
∴CF=3=DF ，
∴AF=AD2−DF2=25−9=4 ，
∵cs∠DAB=ADAB=AFAD ，
∴AB=5×54=254 ，
∵tan∠DAB=BEAB=DFAF ，
∴BE254=34 ，
∴BE=7516 .
【解析】【分析】（1）设AB与CD的交点为F，连接BD，易得△ACD是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得AB⊥CD，DF=CF，推出AB是直径，由切线的性质可得BE⊥AB，据此证明；
（2）根据∠CAB的正切函数可得CF，由勾股定理求出AF，根据∠DAB的余弦函数、正切函数可得AB、BE.
24．【答案】（1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵S△ABD= 12 AB•DE，S△ACD= 12 AC•DF，
∴S△ABD：S△ACD=（ 12 AB•DE）：（ 12 AC•DF）=AB：AC
（2）解：∵AD平分∠BAC，
∴ABAC=BDCD = 45 ，
∴BD= 45 CD，
∵BC=6，
∴BD= 83
【解析】【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据三角形角平分线定理即可得到结论．
25．【答案】（1）∠ABC；∠A1B1C1；等量代换
（2）∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；∠CDG；两直线平行，同位角相等；40°
（3）乘方的意义；乘法交换律、乘法结合律；乘方的意义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及等量代换的性质即可得到答案。
（2）根据平行线的性质以及判断直线平行的方法进行判定即可。
（3）根据乘方的意义以及乘法的交换律和结合律进行判断即可。