2024年北师大版数学八（下）重点专项突破7 因式分解的应用

这是一份2024年北师大版数学八（下）重点专项突破7 因式分解的应用，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．若a-b=2，则a2-b2-4b的值是（ ）
A．0B．2C．3D．4
2．小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a−b、a+b、a2−b2、c−d、c+d、c2−d2依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将(a2−b2)c2−(a2−b2)d2因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）．
A．勤学B．爱科学C．我爱理科D．我爱科学
3．若a+b=﹣3，ab=1，则a2+b2=（ ）
A．﹣7B．7C．﹣11D．11
4．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定
5．按如图的运算程序，输出结果为3的x，y的值是（ ）
A．x=2y=4B．x=6y=12C．x=−5y=−13D．x=−3y=−2
6．下列四个多项式，哪一个是33X+7的倍式？
A．33x2-49B．332x2+49C．33x2+7xD．33x2+14x
7．满足m2+n2+2m-6n+10=0的是（ ）
A．m=1，n=3B．m=1，n=-3C．m=-1，n=-3D．m=-1，n=3
8．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2=2ab+2bc，那么据此判断△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
二、填空题
9．若 2a−b=4 ，则 4a2−4ab+b2= .
10．在○处填入一个整式，使关于x的多项式x2+◯+1可以因式分解，则○可以为 ．（写出一个即可）
11．把多项式x2+ax﹣15（a为常数）因式分解得到（x﹣3）（x+5），则a＝ ．
12．若一个各位数字均不为0的四位数M=abcd（1≤c≤a≤9，1≤b，d≤9，a，b，c，d为整数）满足：把M的千位数字作为十位数字，M的十位数字作为个位数字组成的两位数ac与5的和记作X，M的千位数字与个位数字的2倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与(Y−1)的和是一个正整数K的平方，则称这个四位数为“赓续数”，正整数K称“赓续元素”；当c=1，d=9时，最小“赓续数”为 ；若“赓续数”M满足前两位数字之和a+b与后两位数字之和c+d相等，且ab+cd9为整数，则满足条件的最大M为 .
13．对于任意一个三位自然数M，若十位数字等于百位数字与个位数字的和减2，我们称这个三位数为“减2数”．例如：640，123．最大的“减2数”是 ，三位数M=abc是“减2数”，记P(M)=3(a+b)−c，Q(M)=a−1，若P(M)Q(M)能被10整除，则满足条件的M的最大值是 。
14．若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=
三、综合题
15．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如 x2−4y2−2x+4y ,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为： x2−4y2−2x+4y=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x−2y)(x+2y−2) ，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
（1）分解因式： a2−9−2ab+b2 ；
（2）△ABC三边a、b、c满足 a2−4bc+4ac−ab=0 ，判断△ABC的形状．
16．两个边长分别为a、b（a>b）的正方形如图（1）放置，现在取BD的中点P，连接PA、PE，如图（2），把图形分割成三部分，分别标记①、②、③，对应的图形面积分别记为S①、S②、S③.
（1）用字母a、b分别表示S①、S②.
（2）若a-b=2，ab=15，求S①+S②.
（3）若S①+S②=3，ab=1，求S③.
17．如图，在OABC中，AB=9，AC=12，BC=15．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若点P为线段AC上一点，连接BP，且BP=CP，求AP的长。
18．先阅读下列材料，再解答下列问题：
题：分解因式： (a+b)2−2(a+b)+1
解：将“a+b”看成整体，设 M=a+b ，则原式＝ M2−2M+1 =(M−1)2
再将“ M ”还原，得原式＝ (a+b−1)2 .
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法解答下列问题：
（1）因式分解： (2a+b)2−9a2= ； (3a+2b)2−(2a+3b)2= .
（2）因式分解： (x−y)2+2（x−y)+1= ； (a+b)(a+b−4)+4= .
（3）求证：若 n 为正整数，则式子 (n+1)(n+2)(n2+3n)+1 的值一定是某一个正整数的平方.
四、实践探究题
19．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
20．已知 A=a+2，B=a2+a−7 ，其中 a>2 ，求出 A 与 B 哪个大.
21．【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).
我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行.
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.
例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3).
（1）请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6= .
（2）【理解与应用】
请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
Ⅰ.2x2+5x-7= ；
Ⅱ.6x2-7xy+2y2= .
（3）【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4= .
Ⅱ.若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式的积，求m的值.
Ⅲ.已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意的x，y的值.
22．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”.如：①8=32-12；②16=52-32；③24=72-52，因此8，16，24都是“友好数”.
（1）48是“友好数”吗?为什么?
（2）若一个“友好数”能表示为两个连续奇数2k+1和2k-1(k为正整数)的平方差，则这个“友好数”是8的倍数吗?为什么?
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵a2-b2=(a+b)(a-b)，a-b=2，
∴a2-b2-4b=2(a+b)-4b=2a-2b
=2(a-b)=2×2=4.
故答案为：D.
【分析】由平方差公式将a2-b2分解因式，整体代换后再去括号、合并同类项，再整体代换计算即可求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：(a2−b2)c2−(a2−b2)d2=(a2−b2)(c2−d2)=(a+b)(a−b)(c+d)(c−d)
∵a−b、a+b、c−d、c+d依次对应的字为：科、爱、我、理，
∴其结果呈现的密码信息可能是我爱理科．
故答案为：C
【分析】先将原式进行因式分解，即可求出答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：当a+b=﹣3，ab=1时，
a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9﹣2=7．
故选B．
【分析】根据a2+b2=（a+b）2﹣2ab，直接代入求值即可．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A、2x-y=2×2-4=0，错误；
B、2x-y=2×6-12=0，错误；
C、2x-y=2×（-5）+13=3，正确；
D、2x-y=2×（-3）+2=-4，错误.
故答案为：C.
【分析】观察运算程序得其表示的代数式为：2x-y，然后分别将每项的x、y值代入计算，即可判断.
6．【答案】C
【解析】【分析】A、利用提取公因式法或平方差公式判定即可；
B、C、D、利用提取公因式法判定即可；
【解答】A、33x2-49不能利用提公因式法或平方差公式分解因式，故选项错误；
B、332x2+49不能利用提取公因式法分解因式，故选项错误；
C、33x2+7x=x（33x+7)，故选项正确；
D、33x2+14x不能利用提取公因式法分解因式，故选项错误．
故选C．
7．【答案】D
【解析】【分析】此题应先对m2+n2+2m-6n+10=0变形得（m+1)2+（n-3)2=0，再根据非负数的性质列出等式求解即可得到m、n的值．
【解答】对m2+n2+2m-6n+10=0变形得（m+1)2+（n-3)2=0，
则m+1=0，n-3=0，
解得：m=-1，n=3．
故选D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，重点是通过变形运用非负数的性质进行求解．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a2+2b2+c2=2ab+2bc
∴a2+b2+b2+c2-2ab-2bc=0
∴(a-b)2+(b-c)2=0
∴a-b=0，b-c=0
∴ a=b=c
∵ a，b，c为∆ABC的三边长
∴∆ABC为等边三角形
故答案为：.A
【分析】本题考查完全平方式的因式分解和等边三角形的判定。把所给等式，拆解成两个完全平方式的和的形式，根据其非负性，得出a，b，c的关系，可判断三角形的形状。
9．【答案】16
【解析】【解答】解：由题可得 4a2−4ab+b2=(2a−b)2 ，
把 2a−b=4 代入上式，
原式= 42=16 .
故答案是16.
【分析】将代数式利用完全平方公式分解因式，然后把已知式子整体代入即可；
10．【答案】2x
【解析】【解答】解：∵x2±2x+1=(x±1)2，x2+(2x−1)+1=x2+2x=x(x+2)
∴○可以为2x、－2x、2x－1等，答案不唯一，
故答案为：2x．
【分析】先求出x2±2x+1=(x±1)2，x2+(2x−1)+1=x2+2x=x(x+2)，再求解即可。
11．【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得（x﹣3）（x+5）=x2+2x﹣15，
∴a=2，
故答案为：2
【分析】根据因式分解结合题意化简即可得到a的值。
12．【答案】1119；8127
【解析】【解答】解：∵c=1，d=9，
∴四位数M=ab19．
∴X=a1+5=a6，Y=a+18．
∴K2=a+6+a+18−1=2a+23．
∴当K=5时，a可以取得最小值1．
又1≤b≤9，
∴Mmin=1119．
∵a+b=c+d，
∴ab+cd9=10a+b+10c+d9=9(a+c)+a+b+c+d9=a+c+2(a+b)9．
∵ab+cd9为整数，
∴2(a+b)9为整数．
又1≤c≤a≤9，1≤b≤9，
∴a+b=18或a+b=9．
①当a+b=18时．
根据题意可知
a=9，b=9，c=9，d=9．
X=ac+5=99+5=104，Y=a+2d=9+18=27．
∴K2=1+0+4+27−1=31．
∴K=31．
∴a+b=18不符合题意．
②当a+b=9，且a=8，b=1，40 ，
∴a−b=0 ，
∴a=b ，
∴ΔABC 的形状是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；（2）先从 a2−ab 中提取公因式 a ，从 4ac−4bc 中提取公因式 4c ，再提取它们的公因式a-b，最后根据 a−b=0 ，判断出△ABC是等腰三角形.
16．【答案】（1）解：∵点P是BD的中点，∴BP=DP=12（a+b）
S①=12ABxBP=ab+b24
S②=12PDxDE=a2+ab4
（2）解：由（1） S①+S②= a2+2ab+b24 ∵ a-b=2，ab=15
∴ S①+S②=a2+2ab+b24=(a-b)2+4ab4=16
（3）解：由（2）可知 S①+S② =a2+2ab+b24 又∵S①+S②=3 ∴a2+b2+2ab=12，
又∵ab=1
∴a2+b2=12-2ab=10
∴S③ =a2+b2- （S①+S②）
=10-3
=7
【解析】【分析】（1）根据题意可得BD=a+b，由中点的概念可得BP=PD=12(a+b)，然后根据三角形的面积公式可得 S①、S②；
（2）利用（1）的结论表示出S①+S②，再根据已知条件结合完全平方公式进行计算即可；
（3）利用（1）的结论表示出S①+S②，根据S①+S②=3结合已知条件可得a2+b2的值，根据面积间的和差关系可得S③ =a2+b2- (S①+S②)，据此计算.
17．【答案】（1）证明：在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=15，
∴AB2+AC2=92+122=225 ，BC2=152=225，
∴AB2+AC2=BC2
∴△ABC是直角三角形
（2）解：由(1)得∠A=90°， ．
∵BP=CP，
∴设AP=x，则BP=12-x，
由勾股定理得，AB2+AP2=BP2，
即92+x2=(12-x)2 ，
解得x=218
故AP的长是218
【解析】【分析】（1）利用已知条件可求出AB2+AC2，BC2的值，可证得AB2+AC2=BC2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
（2）设AP=x，可表示出BP的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AP的长.
18．【答案】（1）(5a+b)(b-a)；5(a+b)(a-b)
（2）(x−y+1)2；(a+b−2)2
（3）证明：（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方.
【解析】【解答】解：(1)因式分解： (2a+b)2−9a2= (2a+b+3a)(2a+b−3a) = (5a+b)(b−a) ；
(3a+2b)2−(2a+3b)2= [(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)−(2a+3b]
= (3a+2b+2a+3b)(3a+2b−2a−3b)
= 5(a+b)(a−b) .
( 2 )因式分解： (x−y)2+2（x−y)+1= (x-y+1)2；
令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2，
故（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2.
【分析】（1）把（2a+b），（3a+2b），(2a+3b)分别看作一个整体，直接利用平方差公式因式分解即可；（2）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；把(a+b) 看作一个整体，代入后利用完全平方公式因式分解即可；（3）将原式转化为（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方.
19．【答案】解：能；
（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）
=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）
=（4x2﹣y2）2，
当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，
令（4﹣k2）2=1，解得k=± 3 或± 5 ，
即当k=± 3 或± 5 时，原代数式可化简为x4
【解析】【分析】先利用因式分解得到原式=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，再把当y=kx代入得到原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．
20．【答案】解：解： B−A=a2+a−7−a−2=a2−9=(a+3)(a−3) . ∵a>2，∴a+3>0 ，
当 z0，∴A