河南省新乡市2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省新乡市2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列集合中有无数个元素的是( )
A.B.C.D.
2．已知为纯虚数,则( )
A.3B.C.D.
3．已知向量,,若与的夹角为,则( )
A.10B.C.5D.
4．已知直线,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知球O的半径为5,点A到球心O的距离为3,则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是( )
A.B.C.D.
6．如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形,是将杨辉三角形中的换成得到的,根据莱布尼茨三角形,下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
7．倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于A，B两点.若，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．设,,,其中e是自然对数的底数,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7,方差为2,现再加入一个数据1,组成一组新数据,则( )
A.这组新数据平均数为3B.这组新数据的平均数为6
C.这组新数据的方差为D.这组新数据的方差为
10．已知m,n,l为空间中三条不同的直线,,,为空间中三个不同的平面,则下列说法中正确的是( )
A.若,,则,
B.若,,则m与n为异面直线
C.若,,,且,则
D.若,,,则
11．已知定义在R上的函数满足,且,若,则( )
A.
B.的图象关于直线对称
C.是周期函数
D.
三、填空题
12．双曲线的实轴长为4,则________.
13．已知函数,若存在,使得,则的最小值为________.
14．如图,在扇形OAB中,半径,,C在半径OB上,D在半径OA上,E是扇形弧上的动点(不包含端点),则平行四边形BCDE的周长的取值范围是______.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求的极值;
（2）若过点可以作两条直线与曲线相切,证明:.
16．如图,在四面体ABCD中,,,E,F分别为AB,AC的中点.
（1）证明:平面平面BCD;
（2）求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值.
17．甲,乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球,其中甲袋中有3个红球,3个黄球,乙袋中有1个红球,5个黄球.
（1）若从两袋中各随机地取出1个球,求这2个球颜色相同的概率;
（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中,再从乙袋中随机地取出2个球,记从乙袋中取出的红球个数为X,求X的分布列与期望.
18．已知椭圆的左,右顶点分别是,,椭圆C的焦距是2,P(异于,)是椭圆C上的动点,直线与的斜率之积为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）,分别是椭圆C的左,右焦点,Q是内切圆的圆心,试问平面上是否存在定点M,N,使得为定值?若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.
19．函数称为取整函数,也称为高斯函数,其中表示不超过实数x的最大整数,例如:.对于任意的实数x,定义数列满足.
（1）求,的值;
（2）设,从全体正整数中除去所有,剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列.
①求的通项公式;
②证明:对任意的,都有.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A,因为,,则,2,4,,故A错误;
对于B,因为,,则,
所以,故B错误;
对于C,,,所以,故C错误;
对于D,有无数个元素.故D正确.
故选:D.
2．答案：B
解析：依题意,,由是纯虚数,得,
所以.
故选:B
3．答案：A
解析：,,
则,
故选:A.
4．答案：C
解析：当时,直线,则,
当时,,解得,
所以“”是“”的充要条件.
故选:C
5．答案：C
解析：由点A到球心O的距离为3,得球心O到过点A的平面距离的最大值为3,
因此过点A的平面被球O所截的截面小圆半径最小值为,
所以过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是.
故选:C
6．答案：D
解析：观察莱布尼茨三角形,知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和,
因此,即D正确,ABC错误.
故选:D
7．答案：A
解析：首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，
如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于A，B两点.作准线的垂线，，过F作，
则，
解得，同理可得，
如图，不妨设A在第一象限，由焦半径公式得，，
则，
而，可得，故，故A正确，
故选：A.
8．答案：B
解析：令函数,,求导得,即函数在上单调递减,
而,,,又,因此,
所以.
故选:B
9．答案：BC
解析：依题意,这组新数据的平均数为,方差为.
故选:BC
10．答案：ACD
解析：对于A,显然,,又,则,,A正确;
对于B,由,,得m与n可能相交,可能平行,也可能为异面直线,B错误;
对于C,由,,,知点P在平面,,内,
即为平面,的公共点,而,因此,C正确;
对于D,由,,得,而,因此,D正确
故选:ACD
11．答案：BCD
解析：由,得,
则,即,因此是周期为4的周期函数,C正确;
令,得,则,因此,A错误;
由,得,则,
因此的图象关于直线对称,B正确;
由,得的图象关于直线对称,
因此直线及均为图象的对称轴,
从而,,令,得,
即,则,
故
,D正确.
故答案为:BCD
12．答案：1
解析：显然恒成立,则双曲线E的焦点在x轴上,
于是,所以.
故答案为:1
13．答案：或
解析：函数,由,得,
由存在,使得,得,解得,
所以的最小值为.
故答案为:
14．答案：
解析：设,则,由,得,显然,
连接,由,,得,
,
因此的周长
显然,当,即时,,而时,,
所以的周长的取值范围是.
故答案为:
15．答案：（1）极小值为,无极大值;
（2）证明见解析.
解析：（1）因为,所以,令,得,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
所以当时,取得极小值,且极小值为,无极大值.
（2）设切点为,则切线的方程为,
则,整理得,
由过点可以作两条直线与曲线相切,
可得方程有两个不相等的正根.
令,则,
当时,,在上单调递减,则方程最多只有一个正根,不符合题意,
当时,若,则在上单调递增,
若,则在上单调递减,则,
故要使得方程有两个不相等的正根,则.
16．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）取CD的中点O,连接OA,OB,因为,所以,且,
又,所以,,则,有,
因为,所以,则,
又,OA,平面ACD,所以平面ACD,
又平面BCD,所以平面平面BCD.
（2）由（1）知,OD,OB,OA两两垂直,
以O为坐标原点,直线OD,OB,OA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
设,则,,,,
因为E,F分别为AB,AC的中点,所以,,
则,,,,
设平面BDF的法向量为,则,令,得,
设平面CDE的法向量为,则,令,得,
,
所以平面BDF与平面CDE夹角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）记这2个球颜色相同为事件A,
则;
（2）依题意X的可能取值为0,1,2,
则,
,
,
所以X的分布列为:
所以
18．答案：（1）;
（2）存在,2.
解析：（1）设,,则,即,
显然点,依题意,,
解得,由椭圆C的焦距是2,得,则,
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设,因为,则,
由（1）知,则直线的方程为,即,
从而点Q到直线的距离,
即,即.
因为,所以,所以,
所以,即,
因为,所以,
因为,所以,即,点在以,为焦点,长轴长为2的椭圆上,
故存在定点,,使得.
19．答案：（1）,;
（2）①;
②证明见解析.
解析：（1）由,得,则,
所以;
由,得,则,
所以.
（2）①依题意,,则,
对于给定的,存在唯一确定的,使得,即,
而,则当时,,设,,
此时,即,;
当时,,设,,
此时,即,,
因此,
恰好跳过,即所有正整数中恰好少了,
因为,所以.
②由,得,则为递增数列,,
当时,,
则
,
所以对任意的,都有.
X
0
1
2
P