吉林省延边州2024届高三下学期教学质量检测一模数学试卷(含答案)

这是一份吉林省延边州2024届高三下学期教学质量检测一模数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足(i是虚数单位),则( )
A.B.4C.D.5
2．若集合,集合,则的子集个数为( )
A.16B.15C.32D.31
3．若,则p成立的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
4．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是( )
A.B.C.D.
5．已知是公差不为0的等差数列,是其前n项和,若,则下列关系中一定正确的是( )
A.B.C.D.
6．如图,在中,,,P为上一点,且,若,,则的值为( )
A.B.C.D.
7．谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形是一种分形,它的构造方法如下：取一个实心等边三角形(如图1),沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形,挖去中间小三角形(如图2),对剩下的三个小三角形继续以上操作(如图3),按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形.如果图1三角形的边长为2,则图4被挖去的三角形面积之和是( )
A.B.C.D.
8．已知M,N是抛物线上不同的两点,F为抛物线的焦点,且满足,弦的中点P到直线的距离记为d,若,则的最小值为( )
A.B.2C.3D.
二、多项选择题
9．下列命题中正确的是( )
A.已知随机变量,则
B.已知随机变量,且,则
C.已知一组数据：7,7,8,9,5,6,8,8,则这组数据的第30百分位数是8
D.抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩,男生平均分123分,方差为60；女生平均分128分,方差为40,则抽取的100名学生数学成绩的方差为80
10．已知,是圆上的两点,则下列结论中正确的是( )
A.若点O到直线的距离为,则
B.若,则
C.若,则的最大值为6
D.的最小值为
11．如图,在多面体中,底面是边长为的正方形,,,平面,动点P在线段上,则下列说法正确的是( )
A.
B.存在点P,使得平面
C.三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是
D.当动点P与点F重合时,直线与平面所成角的余弦值为
12．已知当时,,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．已知函数,若对任意的正数a、b,满足,则的最小值为：______.
14．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,半径为的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球O的表面上,则球O的体积为______.
15．定义在上的函数满足,；则不等式的解集为______.
16．如图1所示,双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线(,)的左､右焦点分别为,,从发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且,,则E的离心率为.
四、解答题
17．已知函数,的最小正周期为.
(1)求的值,并写出的对称轴方程；
(2)在中角A,B,C的对边分别是a,b,c满足,求函数的取值范围.
18．已知正项数列的前n项和,满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)记,设数列的前n项和为,求证.
19．“斯诺克(Snker)”是台球比赛的一种,意思是“阻碍､障碍”,随着生活水平的提高,“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲､乙两人进行比赛采用5局3胜制,各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球,则第二局乙开球,第三局甲开球……),没有平局,已知在甲的“开球局”,甲获得该局比赛胜利的概率为,在乙的“开球局”,甲获得该局比赛胜利的概率为,并且通过“猜硬币”,甲获得了第一局比赛的开球权.
(1)求甲以赢得比赛的概率；
(2)设比赛的总局数为,写出随机变量的分布列并求其数学期望.
20．已知三棱柱,侧面是边长为2的菱形,,侧面四边形是矩形,且平面平面,点D是棱的中点.
(1)在棱AC上是否存在一点E,使得平面,并说明理由；
(2)当三棱锥的体积为时,求平面与平面夹角的余弦值.
21．已知椭圆的右焦点为,上顶点为H,O为坐标原点,,点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A,B两点,点,.若M,N分别为直线AP,BQ与y轴的交点,记,的面积分别为,,求的值.
22．已知函数,为函数的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数,存在,证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,所以,
所以.
故选:C.
2．答案：A
解析：对于集合可得,解得,
所以,
对于集合可得,解得,
所以,
所以,故的子集个数为.
故选:A.
3．答案：B
解析：p：,即且,解得或,
所以p：或,
对于A,是p的既不充分也不必要条件；
对于B,即或,是p的必要不充分条件；
对于C,即或,是p的充分不必要条件；
对于D,是p的充分不必要条件；
故选：B.
4．答案：B
解析：结合题意可得,,
因为曲线C关于y轴对称,所以,,
解得,,因为,所以当时,有最小值.
故选：B.
5．答案：A
解析：由题设,故,
所以,若的公差为,则,可得,
所以,故,A正确,B错误；
而,大小,与公差d的正负有关,大小不确定且,C、D错误.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为,所以
所以,
因为,所以,
即,
因为P,C,D三点共线,所以,解得,
所以,
而,
所以,
即.
故选：D.
7．答案：D
解析：第一种挖掉的三角形边长为,共1个,面积为；
第二种挖掉的三角形边长为,共3个,面积为,
第三种挖掉的三角形边长为,共9个,
面积为,
故被挖去的三角形面积之和是.
故选：D.
8．答案：C
解析：抛物线,即,则焦点为,
准线为,设,,由,
可得,
由抛物线定义可得M到准线的距离为,N到准线的距离为,
由梯形的中位线定理可得,
由,可得,
即,
得,当且仅当取最小值3.
故选：C.
9．答案：AB
解析：对于A,随机变量,,则,故A正确；
对于B,随机变量,且,则根据正态分布曲线的对称性可知,故B正确；
对于C,依题意,这组数据共8个,从小到大排列为5,6,7,7,8,9,8,8,第30百分位数是7,故C错误；
对于D,依题意,设50名男生为,,,,50名女生为,,,,
则,,
,,
这100名学生的平均成绩,
这100名学生数学成绩的方差,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ACD
解析：依题意,圆的圆心,半径为
如图所示：
对于A选项：因为点O到直线的距离为,所以,故选项A正确；
对于B选项：因为,且,
所以在中,由余弦定理可得：,
所以,故选项B错误；
对于C选项：由,
其几何意义为,到直线的距离之和的倍
设A,B的中点为,结合梯形的中位线可知：
则有,
因为,所以,
在直角三角形中,,
所以点C的轨迹为以原点为圆心,为半径的圆.
因为到的距离为,
所以,
所以,故选项C正确；
对于D选项：因为,
所以当,所成的角为时,.
故选项D正确;
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：设,连接,令中点为G,连接,如图所示：
由底面是正方形可得：O是,的中点,且；
由平面,平面,平面,
可得平面平面,；
由,,,可得四边形为矩形.
对于选项A:由,平面平面,
且平面平面,面,可得面,
又面,所以,故选项A正确；
对于选项B:因为在矩形中,,,
所以四边形是平行四边形,则直线,
因为平面,平面,则面.
故当P是线段的中点G时,直线面,故B正确；
对于选项C:因为在中,,,,,
所以,
由正弦定理得：的外接圆直径,
则半径为,圆面积为,
因为三棱锥的外接球的球心在过点O且与平面垂直的直线上,且四边形为矩形,
所以点F在三棱锥的外接球上.
所以三棱锥的外接球被平面所截取的截面是的外接圆,
因此三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是,故C错误.
对于选项D:因为面,平面,
所以面平面,
所以在平面内的射影在直线上,
即直线与平面所成角为.
在中,,,,
故选项D正确；
故选：ABD.
12．答案：CD
解析：对于选项A:因为,令,则,则,故选项A错误；
对于选项B:因为,所以,
则,,,,
以上各式相加有故B错误；
对于选项C:因为,所以,
则,,,,
以上各式相加有,故C正确；
对于选项D:由可得,即,
所以,因此,故选项D正确；
故选：CD.
13．答案：4
解析：对任意的,,所以,函数的定义域为R,
因为,即函数为奇函数,
又因为,且函数在R上为增函数,
所以,函数在R上为增函数,
对任意的正数a,b,满足,则,
所以,,即,
所以,,
当且仅当时,即当时,等号成立,故的最小值为4.
故答案为：4.
14．答案：/
解析：设该圆锥的底面半径为r,高为h.
由扇形圆心角为,半径为,
得圆锥底面圆周长为,解得.
因为扇形半径为,所以,所以.
易知球心O在圆锥的高所在的直线上.
设球O的半径为R,则,
即,解得,
所以球O的体积为.
故答案为：.
15．答案：.
解析：令,
则,
因为,,
所以,
所以在上单调递增；
又因为.
不等式,即为,即,
所以,
所以,
所以不等式的解集为：.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图,连接,,则,A,C和,B,D都三点共线,
设,则.
由,
所以
所以,
又,所以,即,
,即,
又,
因此,即,
在中,即.
故.
故答案为：.
17．答案：(1),,
(2)
解析：(1)
.
,.
故
令,,解得,,
故对称轴方程为：,
(2)由得,
.
,,,.
,,,
,
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)当时,,解得.
当时,由①,可得,②
①-②得：,即.
,
.
是以1为首项,以2为公差的等差数列,
数列的通项公式.
(2)由(1)可得,
,
,,,,,
,
.
19．答案：(1)
(2)分布列见解析,数学期望为
解析：(1)记第i局甲赢为事件,乙赢为事件,
则
(2)由题意知的取值为3,4,5.
由题意得,随机变量的分布列如下：
数学期望.
20．答案：(1)存在,理由见解析
(2)
解析：(1)存在,当E为AC的中点时,平面,理由如下：
如图所示：
取的中点F,连接EF,DF,
因为DF是的中位线,
,,
又,,
所以,,
所以四边形DFEA是平行四边形,
所以,
又面,面,
所以平面.
(2)因为四边形是矩形,
所以,,
又因为平面平面,
所以面,
因为,
所以,
因为侧面是菱形,,
所以是正三角形,
因为E是AC的中点,
所以,
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
则,,
设平面的一个法向量为,
由,得,
令,则,,
所以,
又平面的一个法向量,
所以,
所以平面与平面的夹角的余弦值是.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,得(c为半焦距),
因为点在椭圆E上,则.
又,解得,,.
所以椭圆E的方程为.
(2)由(1)知.设直线,,.
由消去x,得.
显然.
则,.
所以.
由,,得直线AP的斜率,直线的斜率.
又,,,
所以.所以.
因为.
所以.
22．答案：(1)函数在区间上单调递减,在区间上单调递增
(2)证明见解析
解析：(1)的定义域为R,,
令,则,
所以函数在R单调递增,
又因为,
所以,,
即：,,
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
(2)由(1),得,
又,即,
所以.
不妨设,所以.
由(1)得当,函数单调递增,所以,
故,
所以,
所以,故.
下证.
即证：,
设,,,
则,
所以函数在区间上单调递增,
所以,
故,即,
所以,即,
所以,得证.
3
4
5
P