人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）学案设计

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一．学习目标
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具（重点）
2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习函数的应用(一)
三．课堂导学
随着经济和社会的发展,汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表:
结合以上三年的销量及人们生活的需要,2023年初,该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标.
问题 (1)在实际生产生活中,对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息?
(2)你认为该目标能够实现吗?

知识点 常见的几类函数模型
1.某公司市场营销人员的个人月收入y与其每月的销售量x呈一次函数关系,其图象如图所示.由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )
A.3 100元 B.3 000元 C.2 900元 D.2 800元
解析:B 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0),函数图象过点(1,8 000),(2,13 000),则k＋b=8 000,2k＋b=13 000,解得k=5 000,b=3 000.所以y＝5 000x＋3 000.当x＝0时,y＝3 000,所以营销人员没有销售量时的收入是3 000元.
2.一个矩形的周长是40,矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )
A.y＝20-x(0＜x＜10) B.y＝20-2x(0＜x＜20) C.y＝40-x(0＜x＜10) D.y＝40-2x(0＜x＜20)
解析:A 由题意可知2y＋2x＝40,即y＝20-x,又20-x＞x,所以0＜x＜10.故选A.
四．典例分析、举一反三
题型一 一次函数模型的应用
【例1】某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元,卖出的价格是每份0.40元,卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的报纸份数必须相同,试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得利润最大,每月最多可获利多少元?
解 设每天从报社买进x(250≤x≤400)份报纸;每月所获利润是y元,则每月售出报纸共(20x＋10×250)份;每月退回报社报纸共10×(x-250)份.
依题意得y＝(0.40-0.24)×(20x＋10×250)-(0.24-0.08)×10(x-250).即y＝0.16(20x＋2 500)-0.16(10x-2 500),
化简得y＝1.6x＋800(250≤x≤400).
∵此一次函数(y＝kx＋b,k≠0)的k＝1.6＞0,
∴y是一个增函数,再由250≤x≤400知当x＝400时,y取得最大值,此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元).
∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大,每月最多可获利1 440元.
练1-1. 商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价20元,茶杯每只定价5元,该商店现推出两种优惠活动:
(1)买一只茶壶赠送一只茶杯;
(2)按购买总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4只,茶杯若干只(不少于4只),若购买x只茶杯时总付款为y元,试分别建立两种优惠活动中y与x之间的函数解析式,并指出如果该顾客需购买茶杯40只,应选择哪种优惠活动?
解:设优惠活动(1),(2)对应的付款分别为y1元,y2元.
由优惠活动(1)得函数解析式为y1＝20×4＋5(x-4)＝5x＋60(x≥4,x∈N*).
由优惠活动(2)得函数解析式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4,x∈N*).
当该顾客购买茶杯40只时,采用优惠活动(1)应付款y1＝5×40＋60＝260(元);采用优惠活动(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6(元).由于y2＜y1,故应选择优惠活动(2).
题型二 二次函数模型的应用
【例2】十一长假期间,某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费,消耗费用等等).受市场调控,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元(x≥0且x为10的整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为W元,求W与x的函数解析式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆每天的利润最大?最大利润是多少元?
解 (1)y＝50-110x(0≤x≤160,且x是10的整数倍).
(2)W＝50-110x(180＋x-20)＝-110x2＋34x＋8 000(0≤x≤160,且x是10的整数倍).
(3)由(2)得W＝-110x2＋34x＋8 000＝-110(x-170)2＋10 890,当x＜170时,W随x的增大而增大.
又0≤x≤160.
∴当x＝160时,Wmax＝10 880,此时y＝50-110x＝34.
故一天订住34个房间时,宾馆每天的利润最大,最大利润是10 880元.
练2-1. 某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果,假设每箱售价不低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元)之间的函数解析式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,每天可以获得最大利润?最大利润是多少?
解:(1)根据题意,得y＝90-3(x-50),
化简得y＝-3x＋240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润,所以w＝(-3x＋240)(x-40)＝-3x2＋360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w＝-3x2＋360x-9 600＝-3(x-60)2＋1 200,
所以当x＜60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x＝55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,每天可以获得最大利润,最大利润是1 125元.
题型三 分段函数模型的应用
【例3】 中国“一带一路”倡议提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时,C(x)＝12x2＋40x,当年产量不小于80台时,C(x)＝101x＋8 100x-2 180,若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数解析式;
(2)当年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?并求出这个最大利润.
解 (1)当0＜x＜80时,y＝100x-（12x2＋40x）-500＝-12x2＋60x-500;
当x≥80时,y＝100x-（101x＋8 100x-2 180）-500＝1 680-（x＋8 100x）,于是y＝-12x2+60x-500,0(2)由(1)可知当0＜x＜80时,y＝-12(x-60)2＋1 300,
当x＝60时,y取得最大值为1 300,
当x≥80时,y＝1 680-（x＋8 100x）≤1 680-2x·8 100x＝1 500,
当且仅当x＝8 100x,即x＝90时,y取最大值为1 500,
综上所述,当年产量为90台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大,最大利润为1 500万元.
练3-1. 经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数,且日销售量近似满足g(t)＝80-2t,价格近似满足f(t)＝15+12t,0≤t≤10,25-12t,10(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数解析式;
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
解:(1)由已知得,y＝（15+12t）(80-2t),0≤t≤10,（25-12t）(80-2t),10＝(t+30)(40-t),0≤t≤10,(50-t)(40-t),10(2)由(1)知,①当0≤t≤10时,y＝-t2＋10t＋1 200＝-(t-5)2＋1 225,
函数图象开口向下,对称轴为t＝5,该函数在t∈[0,5]上单调递增,在t∈(5,10]上单调递减,
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得),ymin＝1 200(当t＝0或10时取得);
②当10＜t≤20时,y＝t2-90t＋2 000＝(t-45)2-25,
函数图象开口向上,对称轴为t＝45,
该函数在t∈(10,20]上单调递减,∴y＜1 200,ymin＝600(当t＝20时取得).
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得),ymin＝600(当t＝20时取得).
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )
解析:B 由题意h＝20-5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.
2.随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x＝36 kPa时,y＝108 g/m3,则y与x的函数解析式为( )
A.y＝3x(x≥0) B.y＝3x C.y＝13x(x≥0) D.y＝13x
解析:A 由题意设y＝kx(k≠0),将(36,108)代入解析式可得k＝3,故y＝3x,考虑到含氧量不可能为负,可知x≥0.
3.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,且K(Q)＝40Q-120Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元.
解析:L(Q)＝40Q-120Q2-10Q-2 000＝-120Q2＋30Q-2 000＝-120(Q-300)2＋2 500,当Q＝300时,L(Q)取得最大值,最大值为2 500万元.
答案:2 500
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字年份
2020
2021
2022
销量/万辆
8
18
30
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)
分段函数模型
f(x)＝f1(x),x∈D1,f2(x),x∈D2,……,fn(x),x∈Dn
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0)