高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数精品课件ppt

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问题　(1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗?
(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算,把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗?
知识点一　幂函数的概念
一般地,函数 　y＝xα　⁠叫做幂函数,其中 　x　⁠是自变量, 　α　⁠是常数.
提醒　对幂函数的再理解:①xα的系数为1;②xα的底数是自变量x,指数α为常数;③项数只有一项.
知识点二　五个常见幂函数的图象与性质
1.五个常见幂函数的图象
2.五个常见幂函数的性质
{y｜y∈R且y≠0}　
提醒　对于幂函数y＝xα(α为常数)有以下结论:(1)当α＞0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递增;(2)当α＜0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递减;(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线x＝1的右侧,图象从上到下,相应的幂指数由大变小.
1.任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗?
提示:不一定.例如y＝2x-5,y＝x2＋2x分别为一次函数和二次函数,但它们都不是幂函数.
2.幂函数的图象为什么不过第四象限?
提示:因为当x＞0时,xα＞0,因此幂函数的图象不过第四象限.
2.已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数,则m＝ 　　　　⁠. 
解析:∵函数f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数,∴m＋1＝1,即m＝0.
3.函数y＝x-3在区间[-4,-2]上的最小值是 　　　　⁠. 
【例1】　(1)在函数y＝x-2,y＝2x2,y＝(x＋1)2,y＝3x中,幂函数的个数为(　　)
解析　(1)根据幂函数定义可知,只有y＝x-2是幂函数,所以选B.
(2)若f(x)＝(m2-4m-4)xm是幂函数,则m＝ 　　　　⁠. 
解析　(2)因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4＝1,即m2-4m-5＝0,解得m＝5或m＝-1.
通性通法判断一个函数是否为幂函数的方法　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.`
(多选)下列函数中是幂函数的是(　　)
若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　)
解析:B　由图象知,y＝xm在(0,＋∞)上单调递增,所以m＞0,由于y＝xm的图象增长的越来越慢,所以m＜1,y＝xn在(0,＋∞)上单调递减,所以n＜0,又当x＞1时,y＝xn的图象在y＝x-1的下方,所以n＜-1.
角度一:比较幂值的大小
【例3】　比较下列各组数的大小:
比较幂值大小的2种方法
【例4】　若幂函数f(x)过点(2,8),则满足不等式f(a-3)＞f(1-a)的实数a的取值范围是 　　　　⁠. 
解析　设幂函数为f(x)＝xα,因为其图象过点(2,8),所以2α＝8,解得α＝3,所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数,所以由f(a-3)＞f(1-a),得a-3＞1-a,解得a＞2.所以满足不等式f(a-3)＞f(1-a)的实数a的取值范围是(2,＋∞).
通性通法利用幂函数的性质解不等式的步骤(1)确定可以利用的幂函数;(2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系;(3)解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用.
1.(多选)已知α∈{-1,1,2,3},则使函数y＝xα的值域为R,且为奇函数的α的值为(　　)
结论：(1)当α＞0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递增;(2)当α＜0时,y＝xα在(0,＋∞)上单调递减;(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线x＝1的右侧,图象从上到下,相应的幂指数由大变小.
1.在函数y＝x-4,y＝3x2,y＝x2＋2x,y＝1中,幂函数的个数为(　　)
解析:B　函数y＝x-4为幂函数;函数y＝3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式,所以它不是幂函数;函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等,所以y＝1不是幂函数.
2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的是(　　)
3.幂函数f(x)的图象过点(2,m),且f(m)＝16,则实数m＝ 　　　　⁠. 
4.比较下列各组数的大小: