数学人教A版 (2019)第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质练习

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1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y＝x2 B.y＝x5＋1 C.y＝1x D.y＝x3
解析:D A选项,y＝x2是偶函数,故A错误;B选项,y＝x5＋1是非奇非偶函数,故B错误;C选项,y＝1x在(-∞,0),(0,＋∞)上单调递减,故C错误;D选项,y＝x3既是奇函数又是增函数,故D正确.故选D.
2.已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,＋∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)＞f(-2)＞f(-3)
B.f(π)＞f(-3)＞f(-2)
C.f(π)＜f(-2)＜f(-3)
D.f(π)＜f(-3)＜f(-2)
解析:B 因为f(x)为偶函数,所以f(-2)＝f(2),f(-3)＝f(3).又当x∈[0,＋∞)时,f(x)单调递增,且π＞3＞2,所以f(π)＞f(3)＞f(2),即f(π)＞f(-3)＞f(-2).故选B.
3.若奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为7,最小值为-1,则f(-3)＋2f(-6)＝( )
A.13 B.-13 C.5 D.-5
解析:B 由f(x)在区间[3,6]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为7,最小值为-1,得f(3)＝-1,f(6)＝7.∵f(x)是奇函数,∴f(-3)＝-f(3)＝1,f(-6)＝-f(6)＝-7,∴f(-3)＋2f(-6)＝1＋2×(-7)＝-13.
4.已知函数f(x)是奇函数,函数g(x)＝f(x)-2,则g(20)＋g(-20)＝( )
A.2 B.0 C.-2 D.-4
解析:D 根据题意,函数f(x)是奇函数,则f(x)＋f(-x)＝0,则g(x)＋g(-x)＝f(x)-2＋f(-x)-2＝0-4＝-4,则g(20)＋g(-20)＝-4,故选D.
5.(多选)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的有( )
A.这个函数有两个单调递增区间
B.这个函数有三个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值-7
解析:BC 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出其在[-7,7]上的图象,如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间,有三个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不是-7,故选B、C.
6.(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)＝x2＋x＋a-2,则( )
A.a＝2 B.f(2)＝2 C.f(x)是R上的增函数 D.f(-3)＝-12
解析:ACD f(x)是R上的奇函数,故f(0)＝a-2＝0,得a＝2,故A正确.f(2)＝4＋2＝6,故B错误.当x≥0时,f(x)＝x2＋x在[0,＋∞)上单调递增,利用奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,故f(x)是R上的增函数,故C正确.f(-3)＝-f(3)＝-9-3＝-12,故D正确.故选A、C、D.
7.已知f(x)为奇函数,g(x)＝f(x)＋9,g(-2)＝3,则f(2)＝ .
解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)＝-f(x).∵g(x)＝f(x)＋9,∴g(-x)＝f(-x)＋9＝-f(x)＋9,∴f(x)＝9-g(-x).∵g(-2)＝3,∴f(2)＝9-g(-2)＝9-3＝6.
答案:6
8.若f(x)＝(m-1)x2＋6mx＋2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是 .
解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)＝f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx＋2＝(m-1)x2＋6mx＋2恒成立,∴m＝0,即f(x)＝-x2＋2.∵f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,在[0,＋∞)上单调递减,∴f(2)＜f(1)＜f(0),又∵f(x)＝-x2＋2为偶函数,∴f(2)＝f(-2).即f(-2)＜f(1)＜f(0).
答案:f(-2)＜f(1)＜f(0)
9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若f(-3)＝0,则f(x)x＜0的解集为 .
解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在区间(0,＋∞)上单调递减.∴f(3)＝f(-3)＝0.当x＞0时,由f(x)＜0,解得x＞3;当x＜0时,由f(x)＞0,解得-3＜x＜0.故所求解集为{x｜-3＜x＜0或x＞3}.
答案:{x｜-3＜x＜0或x＞3}
10.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)＋f(1-2x)＜0.
解:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,
由f(1-x)＋f(1-2x)＜0,得
f(1-x)＜-f(1-2x),即f(1-x)＜f(2x-1).
又∵f(x)在(-1,1)上是减函数,
∴-1<1-x<1,-1<2x-1<1,1-x>2x-1,解得0＜x＜23,
∴原不等式的解集为x0＜x＜23.
11.已知偶函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增,且f(-2)＝3,则满足f(2x-3)＜3的x的取值范围是( )
A.-∞,12∪52,＋∞ B.12,52 C.-∞,-32∪12,＋∞ D.-32,12
解析:B 因为偶函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增,且f(-2)＝3,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)＝3.因为f(2x-3)＜3,所以-2＜2x-3＜2,所以12＜x＜52.故选B.
12.若函数y＝f(x)是奇函数,且函数F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0,＋∞)上有最大值8,则函数y＝F(x)在(-∞,0)上有( )
A.最大值-8 B.最小值-8 C.最小值-6 D.最小值-4
解析:D ∵y＝f(x)和y＝x都是奇函数,∴T(x)＝af(x)＋bx也为奇函数.又∵F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0,＋∞)上有最大值8,∴T(x)＝af(x)＋bx在(0,＋∞)上有最大值6,∴T(x)＝af(x)＋bx在(-∞,0)上有最小值-6,∴F(x)＝af(x)＋bx＋2在(-∞,0)上有最小值-4.
13.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)＝ .
解析:∵f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数,∴图象关于y轴对称,∴2a＋ab＝0,∴a＝0或b＝-2.若a＝0,则函数为f(x)＝bx2,当b为正数时,值域为[0,＋∞),不符合题意;当b为负数时,值域为(-∞,0],不符合题意;当b＝0时,值域为{0},不符合题意.若b＝-2,则函数为f(x)＝-2x2＋2a2.又∵值域为(-∞,4],∴2a2＝4,∴f(x)＝-2x2＋4.
答案:-2x2＋4
14.已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)＝f(x)＋f(-x)2,h(x)＝f(x)-f(-x)2.
(1)试判断 g(x)与h(x)的奇偶性;
(2)试判断g(x),h(x)与f(x)的关系;
(3)由此你能猜想出什么样的结论?
解:(1)∵g(-x)＝f(-x)＋f(x)2＝g(x),h(-x)＝f(-x)-f(x)2＝-h(x),∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数.
(2)g(x)＋h(x)＝f(x)＋f(-x)2＋f(x)-f(-x)2＝f(x).
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称,那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
15.已知函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在[2,4]上的最大值比最小值大1,则a＝ .
解析:由对勾函数的性质,可得f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,＋∞)上单调递增.
①当a≤2,即0＜a≤4时,f(x)在[2,4]上单调递增,f(x)max-f(x)min＝f(4)-f(2)＝4＋a4-2-a2＝2-a4＝1,解得a＝4;
②当a≥4,即a≥16时,f(x)在[2,4]上单调递减,f(x)max-f(x)min＝f(2)-f(4)＝2＋a2-4-a4＝a4-2＝1,解得a＝12(舍去);
③当2＜a＜4,即4＜a＜16时,f(x)在[2,a)上单调递减,在(a,4]上单调递增,f(x)min＝f(a)＝2a,f(x)max＝f(2)或f(4).当f(x)max＝f(2)时,f(x)max-f(x)min＝f(2)-f(a)＝2＋a2-2a＝1,解得a＝2＋2或a＝2-2(舍去),则a＝6＋42,经验证,符合题意.当f(x)max＝f(4)时,f(x)max-f(x)min＝f(4)-f(a)＝4＋a4-2a＝1,解得a＝6或a＝2,即a＝36(舍去)或a＝4(舍去).综上,a的值为4或6＋42.
答案:4或6＋42
16.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b∈R,当a＋b≠0时,都有f(a)＋f(b)a＋b＞0.
(1)若a＞b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;
(2)若f(1＋m)＋f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.
解:(1)因为a＞b,所以a-b＞0,
由题意得f(a)＋f(-b)a-b＞0,
所以f(a)＋f(-b)＞0.
又f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-b)＝-f(b),
所以f(a)-f(b)＞0,即f(a)＞f(b).
(2)由(1)知f(x)为R上的增函数,
因为f(1＋m)＋f(3-2m)≥0,
所以f(1＋m)≥-f(3-2m),
即f(1＋m)≥f(2m-3),
所以1＋m≥2m-3,所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(-∞,4].