高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质导学案及答案

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一．学习目标
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义（重点）
2.了解奇、偶函数图象的对称性,掌握函数奇偶性的简单应用（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习奇偶性
三．典例分析、举一反三
题型一利用函数的奇偶性求解析式
角度一:定义法求函数解析式
【例1】 函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x＞0时,f(x)＝-x＋1,求f(x)的解析式.
解 设x＜0,则-x＞0,
∴f(-x)＝-(-x)＋1＝x＋1,
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(-x)＝-f(x)＝x＋1,
∴当x＜0时,f(x)＝-x-1.
又x＝0时,f(0)＝0,∴f(x)＝-x-1,x<0,0,x=0,-x+1,x>0.
角度二:方程组法求函数解析式
【例2】 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)＋g(x)＝1x-1,求函数f(x),g(x)的解析式.
解 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)＝f(x),g(-x)＝-g(x),
由f(x)＋g(x)＝1x-1, ①
用-x代替x,
得f(-x)＋g(-x)＝1-x-1,
∴f(x)-g(x)＝1-x-1, ②
(①＋②)÷2,得f(x)＝1x2-1;
-②)÷2,得g(x)＝xx2-1.
练1-1. 已知函数f(x)为R上的偶函数,且当x＜0时,f(x)＝x(x-1),则当x＞0时,f(x)＝ .
解析:当x＞0时,-x＜0,则f(-x)＝-x(-x-1)＝x(x＋1),因为函数f(x)为R上的偶函数,故当x＞0时,f(x)＝f(-x)＝x(x＋1).
答案:x(x＋1)
练2-1.已知函数f(x)＝x2+1,x>0,g(x),x≤0为奇函数,则g(x)＝ .
解析:因为函数f(x)＝x2+1,x>0,g(x),x≤0为奇函数,所以f(0)＝g(0)＝0.设x＜0,则-x＞0,f(-x)＝(-x)2＋1＝x2＋1,所以f(x)＝g(x)＝-f(-x)＝-x2-1.综上可得g(x)＝0,x=0,-x2-1,x<0.
答案:0,x=0,-x2-1,x<0
题型二 利用函数的单调性和奇偶性比较大小
【例3】 若对于任意实数x总有f(-x)＝f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则( )
A.f-32＜f(-1)＜f(2)
B.f(2)＜f-32＜f(-1)
C.f(2)＜f(-1)＜f-32
D.f(-1)＜f-32＜f(2)
解析 由题意得,f(x)为偶函数,∴f(2)＝f(-2).又f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,且-2＜-32＜-1,∴f(2)＝f(-2)＜f-32＜f(-1),故选B.
答案 B
练3-1.已知f(x)是奇函数,且在区间[0,＋∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是( )
A.f(-0.5)＜f(0)＜f(-1)
B.f(-1)＜f(-0.5)＜f(0)
C.f(0)＜f(-0.5)＜f(-1)
D.f(-1)＜f(0)＜f(-0.5)
解析:B ∵函数f(x)为奇函数,且f(x)在区间[0,＋∞)上单调递增,∴f(x)在R上是增函数,∴f(-1)＜f(-0.5)＜f(0).
练3-2.已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,在[0,5]上是单调函数,且f(-4)＜f(-2),则下列不等式一定成立的是( )
A.f(-1)＜f(3) B.f(2)＜f(3) C.f(-3)＜f(5) D.f(0)＞f(1)
解析:D 因为函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,且f(-4)＜f(-2),所以f(4)＜f(2).又f(x)在[0,5]上是单调函数.所以f(x)在[0,5]上单调递减,从而f(0)＞f(1),故选D.
题型三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式
【例4】 已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)＜f(m),求实数m的取值范围.
解 因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上是减函数.
又f(1-m)＜f(m),所以-2≤1-m≤2,-2≤m≤2,1-m＞m,
即-1≤m≤3,-2≤m≤2,m＜12.解得-1≤m＜12.
故实数m的取值范围是-1,12.
(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在区间[-2,0]上单调递减,所以函数在区间[0,2]上单调递增,
原不等式可化为f(｜1-m｜)＜f(｜m｜),
故可得-2≤1-m≤2,-2≤m≤2,｜1-m｜＜｜m|,即-1≤m≤3,-2≤m≤2,m＞12,解得12＜m≤2.故实数m的取值范围为12,2.
练4-1. 已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,又是增函数.解关于t的不等式f(t-1)＋f(2t-3)＜0.
解:因为f(x)为(-2,2)上的奇函数,所以f(t-1)＋f(2t-3)＜0可化为f(t-1)＜f(3-2t),
又因为函数f(x)在(-2,2)上是增函数,所以-2＜t-1＜3-2t＜2,解得12＜t＜43,
所以关于t的不等式f(t-1)＋f(2t-3)＜0的解集为12,43.
四、课堂小结（学生自行总结）
五、当堂检测
1.已知函数f(x)＝x2＋x,x≤0,ax2＋bx,x>0为奇函数,则a＋b＝( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
解析:C 当x＜0时,-x＞0,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)＝-f(x).即ax2-bx＝-x2-x,∴a＝-1,b＝1.故a＋b＝0.
2.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数,且在[2,6]上单调递减,则f(-5)与f(3)的大小关系是 .
解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-5)＝f(5),因为f(x)在[2,6]上单调递减,所以f(5)＜f(3),即f(-5)＜f(3).
答案:f(-5)＜f(3)
3.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,若f(a)＞f(3),则实数a的取值范围是 .
解析:由题意可知｜a｜＜3,解得-3＜a＜3.
答案:(-3,3)
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)＝2x-x2.求当x＜0时,f(x)的解析式.
解:当x＜0时,-x＞0,
于是f(-x)＝2(-x)-(-x)2＝-2x-x2.
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)＝-f(-x)＝-(-2x-x2)＝2x＋x2,即f(x)＝2x＋x2(x＜0).
六．课后作业
七、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字