六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷专题40：因数与倍数（提高卷）（附参考答案）

这是一份六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷专题40：因数与倍数（提高卷）（附参考答案），共28页。试卷主要包含了下列说法正确的是，五人等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共14小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．9的倍数只有4个
B．所有偶数都是合数
C．2是所有合数的因数
D．4的倍数一定也是2的倍数
2．某市公共汽车站，1路汽车每隔6分钟发一次车，2路汽车每隔8分钟发一次车．这两路公共汽车同时发车以后，至少再过（ ）分钟两路车才第二次同时发车．
A．8B．12C．24D．48
3．张珊家客厅的长是6米，宽是4.8米，计划在地面上铺方砖，要求地面上都是整块方砖，应该选择（ ）的方砖．
A．边长为50厘米B．边长为60厘米
C．边长为80厘米D．边长为100厘米
4．五（1）班有男生48人，女生36人，男生、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多（ ）人．
A．6B．12C．24D．48
5．数1×2×3×4中，因数2的个数为3个，则数1×2×3×…×55中，因数3的个数为（ ）个
A．18B．26C．33D．37
6．体育课上，有40名同学面向老师站成一排，按老师命令，从左往右按1、2、3、4、…的顺序依次报数，然后老师让报数是4的倍数的同学向右转，接着再让所报数是3的倍数的同学向右转，有（ ）名同学转了2次．
A．1B．2C．3D．4
7．红旗小学六年级有男生48人，女生36人．男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有（ ）人．
A．4B．6C．12D．16
8．甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要（ ）
A．60天B．180天C．540天D．1620天
9．有两根绳子，一根长36厘米，另一根长48厘米，把它们剪成长度相等的小段，且没有剩余，每小段最长（ ）厘米．
A．24B．6C．12
10．小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完．如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是（ ）
A．1元B．2元C．3元D．4元
11．一块长60cm，宽32cm的纸板，把它剪成面积相等的正方形方块，正好没有剩余，小正方形的边长最长是（ ）cm．
A．3B．4C．5
12．四个购物袋中分别装着苹果或橘子，它们装的个数分别是20个、10个、8个、12个．这四个袋子中只有1袋是橘子，苹果的总个数是橘子的4倍．橘子有（ ）个．
A．10B．8C．12
13．参加团体操表演的学生按照每排4人、5人或8人都正好排完．参加团体操表演的学生至少有（ ）人．
A．20B．40C．80
14．汽车站的6路车每10分钟发一次车，8路车每15分钟发一次车，两路车在6：00同时发车，在7：00两路车又同时发车，这是第（ ）次同时发车．
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共20小题）
15．小勇跑运动场一圈要8分钟，他的妈妈跑一圈要12分钟，如果小勇和妈妈同时同地同向起跑，至少 分钟后两人在起点再次相遇．
16．要把一个长42dm、宽36dm的长方形客厅地面铺上正方形的地砖，需选边长最长为 分米的方砖，才能铺得既整齐又节约．
17．一块长方形布，长20分米，宽16分米．要把它裁成正方形手绢（没有剩余），手绢的边长最长是 分米，能裁 块．
18．五（1）班学生分组进行综合实践活动，每组6人或每组7人都正好，五（1）班最少有 名学生；五（2）班学生每组10人或每组8人都剩1人，五（2）班最少有 名学生．
19．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯，所有的红绿灯都按绿灯30秒黄灯5秒，红灯25秒的时间周期同时重复变换，一辆汽车在第一个路口处遇到绿灯后，要想在所有的红绿灯路口都遇到绿灯，则他最快该以每小时 千米的速度行驶．
20．暑期，东东和明明到图书馆看书，东东每4天去一次，明明每6天去一次．8月13日两人在图书馆相遇，8月 日他们下次相遇．
21．三个同学到少年宫参加不同的课外活动，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每10天去一次，上次他们三人在少年宫同时见面的时间是星期五，那么下次三人同时在少年宫见面的时间是星期 。
22．五（1）班同学分组参加社会实践，无论是10人一组，还是8人一组，结果都还剩3人．五（1）班至少 人．
23．把两根长度分别为45厘米和30厘米的彩带剪成同样长的短彩带，且没有剩余，每根短彩带最长是 厘米．
24．把一块长60cm、宽45cm的木板截成大小相同的正方形木板，且无剩余，截成的正方形的边长最大是 厘米，一共能截成 块。
25．从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中火车有5班，汽车有8班，轮船有2班．问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有 种不同走法．
26．十把钥匙开十把锁，你不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试 次可把钥匙与锁配对．
27．小强到图书馆借书，其中他喜欢的书有4本英语小说，2本科幻杂志，5本漫画．他每次只能借一本，那么他有 种借法．
28．盒子里有10个红球，5个黄球，1个白球，除颜色外全部相同，任意摸一个，颜色有 种可能．
29．六年级6个班之间举行拔河比赛，两两之间进行一场比赛，全年级一共要进行 场比赛。
30．一把钥匙开一把锁。现有10把钥匙和10把锁，但不知怎么相配，至少要试 次才能确保钥匙和锁全部相配。
31．广州市小学数学奥林匹克业余学校入学考试，试题有10道选择题，答对一题得4分，不答或答错得0分；还有10道简答题，答对一题得6分，不答或答错得0分．问试卷成绩最多有 种不同的分数．
32．平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分．
33．从1～10这10个不相等的自然数中每次取出2个数求和，要使它们的和小于10，不同的取法有 种．
34．书架上有6本故事书，6本画报，6本科普读物，小芳从书架上任取一本，有 种不同的取法．
三．应用题（共19小题）
35．星星幼儿园买回49块水果糖和29块奶糖．刘老师把两种糖果分别平均分给小班的每位小朋友，结果水果糖多出4块，奶糖少了1块．小班最多有多少个小朋友？
36．东东和李老师沿环形操场跑步，东东跑一圈需要6分钟，李老师跑一圈需要4分钟，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？
37．五（1）班有48人，五（2）班有54人．如果把两个班的学生都平均分成若干学习小组，且每个小组的人数相等，每组最多有多少人？各班分别有多少个学习小组？
38．有一张长方形纸，长96厘米，宽72厘米，如果要剪成同样大小的正方形且没有剩余，剪出的小正方形边长最大是几厘米？共可剪成多少块？
39．五一班全班的学生人数在40人以内，这个班的总人数恰好既是6的倍数又是9的倍数，五一班最多有学生多少人？
40．
41．有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？
42．一次考试中，总人数的13又3人得了3分，总人数的14又4人得了4分，总人数的15又5人得了5分，其余人都得了2分，已知得2分的人数和得5分的人数一样多，问有多少人得了4分？
43．体育课上，120名学生面向老师站成一排，按老师口令，从前到后报数：1，2，3，…，120，老师让所报的数是3的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？
44．甲、乙、丙三个非零自然数满足：甲和乙的最大公因数恰有1个因数，乙和丙的最大公因数恰有2个因数，丙和甲的最大公因数恰有3个因数，那么甲、乙、丙之和的最小值是多少？
45．甲有9个因数，乙有10个因数，甲、乙两数的最小公倍数是2800，甲、乙各是多少？
46．有红花24朵，黄花36朵，现要用这两种花搭配扎成一种花束，且正好扎完，最多扎几束？这时每束红花、黄花各有几朵？
47．把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸（如图）裁成同样大的正方形．如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？
48．某班同学做广播体操，每12人站一行，或者每16人站一行，都正好余3人，这个班人数不到100人，这个班有多少人？
49．同学们去永州市柳子街进行研学旅行，男同学有24人，女同学有20人，现在把男、女同学都平均分成若干学习小组，且每个小组的人数相等，每组最多有多少人？此时男、女分别有几个学习小组？
50．已知一包糖果不足50颗，平均分给12个人正好分完，平均分给16个人也正好分完，这包糖果共有多少颗？
51．亮亮和爸爸妈妈绕环形跑道跑步．若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用2分，妈妈跑一圈用3分，亮亮跑一圈用4分．多少分后，亮亮和爸爸、妈妈在起点第一次相遇？
52．五一班的人数在40﹣﹣50之间，如果体育委员一人在前，其余同学每7人一组或6人一组都能够排成长方形，这个班有学生多少人？
53．把18米和24米的两根绳子截成等长的若干段做跳绳，都没有剩余，每段跳绳最长多少米？一共可以截成几段？把你的想法写一写或者算一算．
（小升初思维拓展）专题40：因数与倍数（提高卷）六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．【答案】D
【分析】根据一个数倍数的个数是无限的，对A选项判断；根据一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数等知识，综合对其他选项判断解答即可。
【解答】解：A.一个数的倍数的个数是无限的，所以说法错误。
B.2是偶数，但不是合数，所以说法错误。
C.9是合数。但2不是9的因数，所以说法错误。
D.4的倍数一定也是2的倍数，说法正确。
故选：D。
【点评】此题涉及的知识点较多，有因数、倍数、偶数、合数等，注意平时基础知识的积累，然后结合选项内容综合分析解答即可。
2．【答案】C
【分析】1路车每6分钟发车一次，那么1路车的发车间隔时间就是6的倍数；
2路车每8分钟发车一次，那么2路车的发车间隔时间就是8的倍数；
两辆车同时发车的间隔是6和8的公倍数，最少的间隔时间就是6和8最小公倍数．
【解答】解：6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24；
两辆车每两次同时发车的间隔是24分钟；
答：这两路公交车同时发车以后，至少再过24分钟又同时发车．
故选：C．
【点评】本题关键是理解：两辆车同时发车的两次之间间隔时间就是6和8的最小公倍数．
3．【答案】B
【分析】据题意可知，要想得到整数块砖，应在所给数据中找出地板长和宽的公因数，就能得到正确答案．先换算单位长6m＝600cm，宽4.8m＝480cm，再找到600，480的公因数即可作出选择．
【解答】解：6米＝600厘米，4.8米＝480厘米，
600＝2×2×2×3×5×5；
480＝2×2×2×2×2×3×5；
故选项中只有60是600、480的因数，
所以应选边长为60厘米的方砖．
故选：B．
【点评】此题主要考查几个数的公因数，再依据题目中的条件，即可求得正确结果；注意要将6米，4.8米进行适当的单位换算．
4．【答案】B
【分析】由男女生分别排队，要使每排的人数相同，可知每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数；求出48和36的最大公因数即可求解．
【解答】解：48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是：2×2×3＝12
也就是每排最多12人．
答：要使每排的人数相同，每排最多有 12人．
故选：B。
【点评】解答本题关键是理解：每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数．
5．【答案】B
【分析】根据题意，若甲数能被乙数整除，那么乙数就是甲数的因数；应用取整法计算即可．
【解答】解：55÷3＝18个..1
55÷（3×3）＝6…1．
55÷（3×3×3）
＝55÷27
＝2个…1
18+6+2
＝24+2
＝26（个）
故选：B．
【点评】此题主要考查因数的意义，在整数中，若甲数能被乙数整除，那么乙数就是甲数的因数．
6．【答案】C
【分析】转了2次同学，他所报的数既是4的倍数，又是3的倍数，即3和4的公倍数，然后求出40以内3和4的公倍数的个数即可．
【解答】解：3×4＝12
40÷12＝3…4
即40以内3和4的公倍数有3个，那么就有3名同学转了2次．
答：有3名同学转了2次．
故选：C．
【点评】此题解答的关键是求出40以内4和3的公倍数的个数．
7．【答案】C
【分析】要求每排最多有多少人，即求48和36的最大公因数；据此解答即可．
【解答】解：48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
所以48和36的最大公因数是2×2×3＝12，即每排最多有12人；
故选：C．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数．
8．【答案】B
【分析】由甲每5天去一次，乙每9天去一次，丙每12天去一次，可知：他们三人从某天在城里相遇到下一次都到城里之间至少的天数是5、9、12的最小公倍数的数，最小公倍数是180，那么下次相遇至少要的天数是180天，据此解答。
【解答】解：9＝3×3
12＝2×2×3
所以5、9、12的最小公倍数是2×2×3×3×5＝180
即那么下次相遇至少要180天。
答：下一次相遇至少要180天。
故选：B。
【点评】本题主要考查最小公倍数的实际应用，解答本题的关键是：理解他们某天三人在城里相遇到下一次都到城里之间的天数是5、9、12的最小公倍数的数，由此即可解答。
9．【答案】C
【分析】“一根长36厘米，另一根长48厘米，把它们剪成长度相等的小段，且没有剩余”，说明截成的长度是36和48的公因数，要求每段最长是多少，就是这两个数的最大公因数是多少，求出最大公因数，即可解决问题．
【解答】解：36＝2×2×3×3
48＝2×2×2×2×3
2×2×3＝12（厘米）
答：每小段最长12厘米；
故选：C．
【点评】此题主要考查学生应用求几个数的最大公因数的方法解决实际问题的能力．
10．【答案】C
【分析】根据题干，设三角形每边有x枚硬币，则正方形的每边就是（x﹣5）枚，由正三角形的周长和正方形的周长可知，因为在每个图形的顶点上各有一枚硬币，所以正三角形顶点有3个，那么少3个，正方形的顶点有4个，那么少4个，可以得出等量关系：4（x﹣5）﹣4＝3x﹣3．再根据题意求解即可解答问题．
【解答】解：设三角形每边有x枚硬币，则正方形的每边就是（x﹣5）枚，根据题意可得：
4（x﹣5）﹣4＝3x﹣3
4x﹣20﹣4＝3x﹣3
4x﹣24﹣3x+24＝3x﹣3﹣3x+24
x＝21
小红共有5分硬币：3×21﹣3＝60（枚）
价值是：60×5＝300（分）
300分＝3元
答：小红所有五分硬币的总价值是3元．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的周长和三角形的周长问题，根据题干得出三角形和正方形的每边上的硬币个数，是解决本题的关键．
11．【答案】B
【分析】根据题意，剪成的正方形边长最大是多少，是求60和32的最大公因数，根据求两个数的最大公因数的方法，用分解质因数方法解答即可．
【解答】解：60＝2×2×3×5
32＝2×2×2×2×2
所以60和32的最大公因数是：2×2＝4
是正方形的边长最多是4厘米．
答：小正方形的边长最长是4厘米．
故选：B．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．
12．【答案】A
【分析】根据题意，苹果的总个数是橘子的4倍，设橘子有x个，则苹果有4x个，根据苹果个数+橘子个数＝总个数，由此列式解答即可．
【解答】解：橘子有x个，则苹果有4x个，根据题意得：
20+10+8+12＝x+4x
50＝5x
x＝10
10个那袋是橘子．
故选：A。
【点评】解答此题的关键是得出苹果个数+橘子个数＝总个数，据此列方程解答即可．
13．【答案】B
【分析】求演团体操的小朋友至少有多少人，即求4、5和8的最小公倍数，先把4、5和8进行分解质因数，这三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；由此解答即可．
【解答】解：8＝2×2×2，4＝2×2，5是质数，
则84、5和8的最小公倍数是2×2×2×5＝40，即至少有40人；
答：表演团体操的小朋友至少有40人．
故选：B。
【点评】此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
14．【答案】B
【分析】先求出经过的时间7时﹣6时＝1小时＝60分钟，再求2次发车时要隔多长时间，间隔时间即10和15的最小公倍数；根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；然后进行解答即可．
【解答】解：10＝2×5，15＝3×5
10和15的最小公倍数为：2×3×5＝30，即间隔时间是30分钟；
7时﹣6时＝1小时＝60分钟
60÷30+1＝3（次）
答：这是第3次同时发车．
故选：B．
【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
二．填空题（共20小题）
15．【答案】见试题解答内容
【分析】小勇和妈妈同时同地同向起跑，要求至少多少分钟后两人在起点再次相遇，就是求8和12的最小公倍数．
【解答】解：8的倍数有：8、16、24、…，
12的倍数有：12、24、…，
因此8和12的最小公倍数是24．
也就是24分钟后两人在起点再次相遇．
答：至少24分钟后两人在起点再次相遇．
故答案为：24．
【点评】此题运用了求两个数的最小公倍数的方法，解决实际问题．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】求选边长为多少分米的方砖，才能铺得既整齐又节约，即求42和36的最大公因数，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；求出42和36的最大公因数是6，即为所求．
【解答】解：42＝2×3×7
36＝2×2×3×3
所以42和36的最大公因数是：2×3＝6
即最大需边长为6分米的方砖．
答：选边长最长为6分米的方砖，才能铺得既整齐又节约．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除解答．
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出20和16的最大公因数就是小正方形手绢的边长，然后分解质因数解答即可；
（2）20里面有几个最大公因数就说明一行有几个，16里面有几个最大公因数就能裁出几行，求总块数就用乘法解答即可．
【解答】解：（1）20＝2×2×5，16＝2×2×2×2
20和16的最大公因数是：2×2＝4
所以正方形手绢的边长最长是4分米．
（2）20÷4＝5（块）
16÷4＝4（块）
5×4＝20（块）
答：手绢的边长最长是4分米，能裁20块．
故答案为：4；20．
【点评】此题主要考查：求几个数的最大公因数并解决实际问题，关键是求出20和16的最大公因数．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求五（1）班最少多少人，就是求6和7的最小公倍数；
（2）求五（2）班最少多少人，就是求10和8的最小公倍数最后加上1．
【解答】解：（1）6和7的最小公倍数是42，
答：求五（1）班最少42人；
（2）10＝2×5，
8＝2×2×2，
所以10和8的最小公倍数是2×2×2×5＝40，
40+1＝41；
答：求五（2）班最少41人．
故答案为：42，41．
【点评】此题重点考查了学生利用求最小公倍数来解决实际问题的能力．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】把每次红绿灯的变化看成一个周期，先求出路灯循环一个周期是多少秒，再化成小时；只要行驶的时间是一个周期即可，用路程除以一个周期的时间就是这辆车的速度．
【解答】解：30+5+25＝60（秒）；
60秒=160小时，
900米＝0.9千米；
0.9÷160=54（千米）；
答：他最快该以每小时 54千米的速度行驶．
故答案为：54．
【点评】本题中把每次红绿灯的变化看成需要的时间，然后用路程除以时间就是需要的速度．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】求下一次都到图书馆是几月几日，先求出两人再次都到图书馆所需要的天数，也就是求4和6的最小公倍数，4和6的最小公倍数是12；所以8月13日他们在图书馆相遇，再过12日他俩就都到图书馆，8月13日再向后推算12天即可．
【解答】解：4＝2×2，6＝2×3
所以4、6的最小公倍数是：2×2×3＝12
13+12＝25
所以应该是8月25日他们又再次在图书馆相遇．
答：8月25日他们下次相遇．
故答案为：25．
【点评】解决此题关键是先求出这两个人再次都到图书馆中间相隔的时间，也就是求4和6的最小公倍数．
21．【答案】二。
【分析】每4天、6天、10天去一次，则每4、6、10天去一次；三人下次同时在少年宫见面的天数是4、6、10的最小公倍数，即第60天；然后用天数除以7看余几，推出下一次相遇是星期几。由此解答即可。
【解答】解：由题意得：
4、6、10的最小公倍数是60，60÷7＝8（星期）…4（天），
余数是4，故在星期五之后4天，所以三人在少年宫下一次相遇是星期二。
故答案为：二。
【点评】此题主要考查三个数的最小公倍数的求法，以及应用此知识解决实际问题，三个数的最小公倍数是用三个数公有的质因数、两个数公有的质因数和各自独有的质因数连乘的积，推算星期几要用相隔的天数除以7，看余数是几，就在原星期几上加几，超过8的再减7即可。
22．【答案】43．
【分析】求五（1）班至少有多少人，即求比8和10的最小公倍数多3的数，先求出8和10的最小公倍数，然后加上3即可．
【解答】解：8＝2×2×2
10＝2×5
所以8和10的最小公倍数是：2×2×2×5＝40
所以有：40+3＝43（人）
答：五（1）班至少有43人．
故答案为：43．
【点评】明确要求的问题即求比8和10的最小公倍数多3的数，是解答此题的关键．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】要把两根分别长为45厘米和30厘米的彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求每根短彩带最长是多少厘米，只要求出45和30的最大公因数，即可得解．
【解答】解：45＝3×3×5
30＝3×2×5
所以45和30的最大公因数是3×5＝15
答：每根短彩带最长是15厘米．
故答案为：15．
【点评】灵活运用求几个数的最大公因数的方法来解决实际问题．
24．【答案】15，12。
【分析】根据题意，能截成的最大正方形的边长就是60和45的最大公因数，先把这两个数分解质因数，公因数的乘积就是它们的最大公因数。根据长方形的面积公式S＝ab，正方形的面积公式：S＝a2，分别求出长方形和正方形的面积，然后再用除法解答。
【解答】解：把60和45分解质因数：
60＝2×2×3×5
45＝3×3×5
60和45的最大公因数是：3×5＝15
60×45÷（15×15）
＝2700÷225
＝12（块）
答：能截成的最大正方形的边长是15厘米，总共可截成12块。
故答案为：15，12。
【点评】此题首先利用分解质因数的方法，求出它们的最大公因数，再根据长方形和正方形的面积公式解答。
25．【答案】见试题解答内容
【分析】根据加法原理，乘火车有5种方法，乘汽车有8种方法，乘轮船有2种方法，把所以方法加起来就可以．
【解答】解：乘火车有5种方法，乘汽车有8种方法，乘轮船有2种方法，
所以：5+8+2＝15（种）．
答：共有15种不同走法．
故答案为：15．
【点评】解决本题主要依据加法原理，：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，…，在第N类办法中有M（N）种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+…+M（N）种不同的方法．
26．【答案】见试题解答内容
【分析】考虑最差情况，试第1把锁，共试9把钥匙都没打开，剩下的1把不用试了，一定能打开，同理，第2把试8次，第3把试7次，依此类推…，共试9+8+7+…+2+1＝45次．
【解答】解：9+8+7+…+2+1，
＝（9+1）×9÷2，
＝10×9÷2，
＝45（次）；
答：最多要试45次可把钥匙与锁配对．
故答案为：45．
【点评】此题考查了加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，…，在第N类办法中有Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+…+Mn种不同的方法．
27．【答案】见试题解答内容
【分析】从4本英语小说里面借一本有4种借法，从2本科幻杂志里面借一本有2种借法，从5本漫画里面借一本有5种借法；根据加法原理可得，共有4+2+5＝11种借法．
【解答】解：根据分析可得，
4+2+5
＝6+5
＝11（种）
答：他有11种借法．
故答案为：11．
【点评】本题考查了加法原理即完成一件事情有n类方法，第一类中又有M1种方法，第二类中又有M2种方法，…，第n类中又有 Mn种方法，那么完成这件事情就有M1+M2+…+Mn种方法．
28．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，盒子里共有3种颜色的球，所以从中任意摸一个球，结果会有3种可能，有可能摸出红球，也可能摸出黄球，还可能摸出白球，据此解答．
【解答】解：盒子里有10个红球，5个黄球，1个白球，任意摸一个，有3种可能；可能摸出红球，也可能摸出黄球，还可能摸出白球．
故答案为：3．
【点评】关键是根据盒子中球的颜色，找出可能出现的情况．
29．【答案】15。
【分析】第一个班与其它班要进行比赛时，需要进行5场比赛，想一想第二个班与剩下的班进行几场比赛，第三个班与剩下的班进行几场比赛……；然后把所有的场数相加即可得解。
【解答】解：利用加法原理，
5+4+3+2+1＝15（场）
所以全年级一共要进行15场比赛。
故答案为：15。
【点评】这是一道排列组合问题的题目，根据加法原理解答。
30．【答案】45。
【分析】开第1把锁，从最坏的情况考虑，试了9把钥匙还未成功，则第10把不用再试了，一定能打开这把锁；剩下的9把锁和9把钥匙，最坏的情况要试8次，再找出1把钥匙和1把锁；接下来依次类推，然后将每次需要的次数（最坏情况）相加得到总共要试的次数即可。
【解答】解：利用加法原理，
9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（次），
所以至少要试45次才能确保钥匙和锁全部相配。
故答案为：45。
【点评】本题主要考查加法原理的应用。
31．【答案】见试题解答内容
【分析】先看选择题的得分：如果一题不答或全错，得0分，对1题得4分，2题得8分…，全对得40分，同理简答题的得分为0，6，12，…60，可将简答题从得6分开始，每种得分都可和选择题组的得分相加，从中找出得分的特点及规律．
【解答】解：选择题得分情况：0，4，8，…40．
当简答题得6分时和选择题相加得分情况：6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46；
当简答题得12分时和选择题相加得分情况：12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52；
…
当简答题得60分时和选择题相加得分情况：60，…96，100；
由此可以发现，其得分情况为：0，4，6，8，…100．从4开始构成一个公差为2的等差数列，所以共有：
（100﹣4）÷2+1+1＝50（种）
故答案为：50．
【点评】由于分值为4和6，所以不会出现得分为2的情况．
32．【答案】见试题解答内容
【分析】如图所示，1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，所以4条直线最多将平面分成7+4＝11个部分，由此可得规律：2+2+3+4+…+n＝1+n（n+1）÷2．
【解答】解：2+2+3+4+…+8
＝1+8×（8+1）÷2
＝37（个）
答：8条直线最多将平面分成37个部分．
故答案为：37．
【点评】此题主要考查加法原理，可利用此规律能解答：一般地，n条直线最多将平面分成1+n（n+1）÷2．
33．【答案】见试题解答内容
【分析】由于本题中所给数据较少，且要求的数据较简单，所以用列举法将各种取法列举出即可．
【解答】解：据题意可知，共有以下几种取法：
1+2，1+3，…，1+8，7种；
2+3，…，2+7，5种；
3+4，…，3+6，3种；
4+5，1种；
所以共有：1+3+5+7＝16（种）．
故答案为：16．
【点评】象此类数据较少且所求数据也较简单的题目可用列举法进行解答．
34．【答案】见试题解答内容
【分析】共有书6+6+6＝18（本），从中选一本有18种选法；据此解答．
【解答】解：6+6+6＝18（种），
答：小芳从书架上任取一本，有18种不同取法．
故答案为：18．
【点评】本题考查了加法原理，即完成一件事情有n类方法，第一类中又有M1种方法，第二类中又有M2种方法，…，第n类中又有 Mn种方法，那么完成这件事情就有M1+M2+…+Mn种方法．
三．应用题（共19小题）
35．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知：如果水果糖有49﹣4＝45块，奶糖有29+1＝30块，正好平均分完，求这个班最多有几位小朋友，即求45和30的最大公因数，把45和30进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；由此解答即可．
【解答】解：49﹣4＝45（块）
29+1＝30（块）
45＝3×3×5
30＝5×3×2
所以45和30的最大公因数是3×5＝15，即最多有15位小朋友；
答：小班最多有15个小朋友．
【点评】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数．
36．【答案】12。
【分析】此题关键是起点再起点相遇，实际上是求6与4的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即6和4这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可。
【解答】解：6＝2×3
4＝2×2
所以6和4的最小公倍数是2×2×3＝12。
答：至少12分钟后两人在起点再次相遇。
【点评】解此类题一定要认真读题，关键题意明白跑圈再次相遇 实际上是求他们的最小公倍数。
37．【答案】见试题解答内容
【分析】要求每组最多有多少人，也就是求48和54的最大公因数是多少，先把48和54分解质因数，找出它们公有的质因数，再根据求最大公因数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可．用人数除以最大公因数，就是可以分成的组数．据此解答．
【解答】解：48＝2×2×2×2×3
54＝2×3×3×3
48和54的最大公因数是2×3＝6，所以每组最多6人．
48÷6＝8（个）
54÷6＝9（个）
答：每组最多有6人，五（1）班有8个小组，五（1）班有9个小组．
【点评】解决此题关键是把问题转化成求两个数的最大公因数，进而进行解答．
38．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，剪成的正方形边长最大是多少，是求96和72的最大公因数，求至少可以剪成多少块这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．
【解答】解：96＝2×2×2×2×2×3
72＝2×2×2×3×3
96和72的最大公因数是2×2×2×3＝24
96×72÷（24×24）
＝6912÷576
＝12（块）
答：剪出的小正方形边长最大是24厘米；共可剪成12块．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．
39．【答案】36人．
【分析】由已知条件可知，这个班的学生人数必须是6和9的公倍数，又要符合人数在40人以内，那就先求出6和9的最小公倍数，然后再扩大几倍，求出五一班最多有学生多少人即可．
【解答】解：因为6＝2×3，9＝3×3
所以6和9的最小公倍数是：2×3×3＝18
18×2＝36（人）
18×3＝54（人），不符合要求；
答：五一班最多有学生36人．
【点评】此题主要考查公倍数的意义以及求两个数最小公倍数的方法．
40．【答案】15岁。
【分析】大象的寿命是70岁，大象的寿命再加上5岁就是狗寿命的5倍，求狗的寿命，先用70加上5，用它们的和再除以5即可，据此解答。
【解答】解：（70+5）÷5
＝75÷5
＝15（岁）
答：狗的寿命是15岁。
【点评】本题考查了加法和除法的运用，关键是知道大象的寿命再加上5岁等于狗寿命的5倍。
41．【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出每4厘米作一个记号，可以做几个记号；再求出每5厘米做一个记号，可以做几个记号；因为4和5的最小公倍数是20，所以每20厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数．
【解答】解：100÷4﹣1
＝25﹣1
＝24（个）
100÷5﹣1
＝20﹣1
＝19（个）
4和5互质，所以4和5的最小公倍数是4×5＝20，
100÷20﹣1
＝5﹣1
＝4（个）
24+19﹣4
＝43﹣4
＝39（个）
39+1＝40（段）
答：绳子一共被剪成了40段．
【点评】解答此题的关键是分析出每20厘米处的记号重合，并求出重合的记号的个数．
42．【答案】259。
【分析】把总人数看作单位“1”，根据题意可知，得2分的人数也是总人数的15又5人，所以（3+4+5+5）人就占总人数的（1−13−14−15−15），根据分数除法的意义，用（3+4+5+5）除以（1−13−14−15−15）就是总人数，再用总人数乘14加上4人就可以算出得了4分的多少人。
【解答】解：（3+4+5+5）÷（1−13−14−15−15）
＝17÷160
＝1020（人）
1020×14+4
＝255+4
＝259（人）
答：有259人得了4分。
【点评】本题考查了比较复杂的分数问题，找出单位“1”和（3+4+5+5）人就占总人数的（1−13−14−15−15）。
43．【答案】64人。
【分析】首先120里面3的倍数有40个，当老师喊3的时候，只剩下120﹣40＝80（名）学生面向老师，120里面是5的倍数有
24个，因此有24个学生需要再作一次向后转，但是24个学生里有8个学生既是3的倍数又是5的倍数，这8个数分别是15，30，45，60，75，90，105，120，这几个学生再做一次向后转，就面向老师了。
【解答】解：120﹣40＝80（人）
80﹣24+8＝64（人）
答：现在面向老师的学生有64人。
【点评】此题解答的关键是求出120以内3的倍数和5的倍数的个数以及3和5的最小公倍数。本题的难点是理解第二次是多少人向后转。
44．【答案】309。
【分析】由题意可知，甲和乙互质，乙和丙最大公因数是一个质数，不妨设为p，甲和丙最大公因数是一个质数的平方，不妨设为q2，且q≠p由于乙和丙至少差p，甲和丙至少差q2，且甲乙丙均为三位自然数，所以甲、乙、丙三数之和最小为300+p+q2。
【解答】由题意可知，甲和乙互质，乙和丙最大公因数是一个质数，不妨设为p，甲和丙最大公因数是一个质数的平方，不妨设为q2，且q≠p由于乙和丙至少差p，甲和丙至少差q2，且甲乙丙均为三位自然数，所以甲乙丙三数之和最小为300+p+q2。
当q＝2，p＝3时，丙为12的倍数，最小为108，甲最小为104，乙最小为105，和为317；
当q＝2，p＝5时，丙为20的倍数，最小为100，甲最小为104。乙最小为105，和为309；
当q＞2，p＞5时，
300+p+q2＞300+5+22＝309；
当q≥3，p≥2时，
300+p+q2≥300+2+32＝311。
综上，甲、乙、丙之和的最小值是309。
【点评】本题主要是灵活利用两个数为互质数时最大公因数为1及一个数是另一个数的倍数时，最小公倍数为较小数来解决问题的。
45．【答案】100；112。
【分析】先把最小公倍数是2800分解质因数，2800＝24×52×7，根据“甲数有9个约数”，甲数的约数的个数是奇数，说明甲数是一个完全平方数；又可知甲数的质因数的指数加1的积是：9＝3×3＝（2+1）×（2+1）；所以甲数是22×52＝4×25＝100；同理，根据“乙数有10个约数，”可知乙数的质因数的指数加1的积是：10＝2×5＝（1+1）×（4+1），所以乙数是24×71＝16×7＝112，据此解答。
【解答】解：2800＝24×52×7，
设甲数是N，乙数是M
因为N的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数：则它的质因数的指数加的积是：9＝3×3＝（2+1）×（2+1）。
所以甲数是N＝22×52＝4×25＝100。
同理M的质因数的指数加的积是：10＝2×5＝（1+1）×（4+1）。
所以乙数是M＝24×71＝16×7＝112，
答：甲数是100，乙数是112。
【点评】本题考查了约数与倍数，此题是数论中的约数个数问题，一个合数的约数个数的计算公式N＝pα×qβ×rγ（其中N为合数，p、q、r是质数），则N的约数共（a+1）（β+1）（γ+1）个约数。
46．【答案】见试题解答内容
【分析】把这些花分成相同的若干束，就是分得的红花和黄花的数量，既是36的因数也是24的因数，即是36和24的公因数，要求最多就是求36和24的最大公因数，因此求出36和24的最大公因数就是最多可以分成几束，然后用红花和黄花的数量分别除以它们的最大公因数，就是每束里红花、黄花各几朵．
【解答】解：36＝2×2×3×3
24＝2×2×2×3
所以36和24的最大公因数是：2×2×3＝12；
每束里黄花的朵数：36÷12＝3（朵）
红花朵数：24÷12＝2（朵）．
答：最多能扎12束，每束里3朵黄花、2朵红花．
【点评】解答本题要先分析理解：每束里的花的颜色和数量都相同，就是求36和24的公因数，注意掌握求最大公因数的方法．
47．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，是求18和12的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．
【解答】解：18＝2×3×3
12＝2×2×3
18和12的最大公因数是：2×3＝6
18×12÷（6×6）
＝216÷36
＝6（个）；
答：裁成的正方形边长最大是6厘米，至少可以裁成6个这样的正方形．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．
48．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意得：要求这个班有多少人，因为这个班的学生不到100人，所以也就是求比12和16的公倍数多3的数，根据求两个数的最小公倍数的方法进行解答即可．
【解答】解：12＝2×2×3
16＝2×2×2×2
12和16的最小公倍数为：2×2×3×2×2＝48
48+3＝51（人）
48×2+3＝99（人），不符合实际情况；
答：这个班有51人．
【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
49．【答案】见试题解答内容
【分析】要求每组最多有多少人，也就是求24和20的最大公因数是多少，先把24和20分解质因数，找出它们公有的质因数，再根据求最大公因数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可．用人数除以最大公因数，就是可以分成的组数．据此解答．
【解答】解：24＝2×2×2×3
20＝2×2×5
24和20的最大公因数是2×2＝4，所以每组最多4人．
24÷4＝6（个）
20÷4＝5（个）
答：每组最多有4人，男同学有6个小组，女同学有5个小组．
【点评】解决此题关键是把问题转化成求两个数的最大公因数，进而进行解答．
50．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，求这包糖果共有多少颗，也就是求12和16的最小公倍数，首先把12和16分解质因数，它们的公因数和各自单独的质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．
【解答】解：12＝2×2×3
16＝2×2×2×2
12和16的最小公倍数是：2×2×2×3×2＝48
48＜50，所以这包糖果共有48颗；
答：这包糖果共有48颗．
【点评】此题属于最小公倍数问题，根据求两个数的最小公倍数的方法解决问题．
51．【答案】见试题解答内容
【分析】此题实际上就是求2，3，4的最小公倍数，这个最小公倍数就是他们在起点第一次相遇的时间；据此解答即可．
【解答】解：因为4是2的倍数，4和3互质，
所以，3×4＝12（分钟）
答：12分后，亮亮和爸爸、妈妈在起点第一次相遇．
【点评】本题考查了公倍数应用题，考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力．
52．【答案】见试题解答内容
【分析】求这个班有学生多少人，即求40～50之间的7、6的公倍数；再加1人，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．
【解答】解：7和6互质，
6和7的最小公倍数是6×7＝42；
因为在40～50之间，所以这个班有学生应为42+1＝43人．
答：这个班有学生43人．
【点评】考查了求几个数的最小公倍数的方法，解答此题的关键是先求出6和7的最小公倍数，进而结合题意，解答得出结论．
53．【答案】见试题解答内容
【分析】截成同样长的小段就是每段绳长是18和24的公因数，要求每段绳最长是多少米，就是每段绳长是18和24的最大公因数，求一共可以截成几段，用18和24分别除以它们的最大公因数，得出18米和24米绳子可截的段数，然后把它们加起来即可．
【解答】解：18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公因数是2×3＝6，即每段跳绳最长是6米，
18÷6+24÷6
＝3+4
＝7（段）
答：每段跳绳最长是6米，一共可以截成7段．
【点评】解答本题关键是理解：截成同样长的小段就是每段绳长是18和24的公因数．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/25 22:03:24；用户：李家祯；邮箱：hfnxxx59@qq.cm；学号：47467572