2024武汉华中师范大学第一附中高三下学期五月适应性考试数学试卷含解析

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时限：120分钟 满分：150分 命审题：高三数学备课组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数（ ）
A. 是偶函数，且在区间上单调递增B. 是偶函数，且在区间上单调递㺂
C. 是奇函数，且在区间上单调递增D. 既不是奇函数，也不是偶函数
3. 如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
8. 已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图，在正方体中，分别为棱中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. 四点共面B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形
C. 平面D. 平面平面
10. 已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为3D. 的最小值为3
11. 已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（ ）
A. 为偶函数B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．
12. 已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则______．
13. 已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______．
14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）．
二、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有最大值，求实数的值．
16. （1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计；
（2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-5．已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述．
令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．
18 己知圆，动圆与圆相内切，且经过定点
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．
19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．
（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”．
（2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．
（3）设数列前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．年份代码
1
2
3
4
5
销量（万）
4
9
14
18
25