黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2023-2024学年上学期九年级期中数学试卷+

这是一份黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2023-2024学年上学期九年级期中数学试卷+，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是( )
A. 3，，B. 3，，10C. 3，8，D. ，，
2.用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A. B. C. D.
3.下列四个图案中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为( )
A. B. C. D.
5.已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D. 或
6.如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
7.点，，是二次函数图象上的两点，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4 ，且a、b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值是( )
A. 34B. 30C. 30或34D. 30或36
10.如图，在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.抛物线的顶点坐标是______.
12.若是关于x的一元二次方程，则m的值为______.
13.已知点与点关于原点对称，则ab的值为______.
14.的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则的周长是______.
15.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为______.
16.若二次函数与x轴有两个交点，则a的取值范围是______.
17.如图，在平面直角坐标系中，将抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为______.
18.如图，中，，，将绕点C逆时针旋转至的位置，点B恰好在边DE上，则______度．
19.已知二次函数的图象如图所示，则下列四个代数式：①abc，②，③；④中，其值小于0的有______填序号
20.如图，边长为4的正方形的中心与坐标原点O重合，轴，将正方形ABCD绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转，当时顶点A的坐标是______.
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题8分
解方程：
22.本小题8分
已知关于x的方程
若方程有一根为1，求a的值；
若，求方程的两根．
23.本小题9分
如图，三个顶点的坐标分别为，，
请画出绕A点逆时针旋转90度得到的图形；
请写出关于原点O成中心对称的图形三个点的坐标；
在x轴上求一点P，使的值最小．
24.本小题6分
如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽若水面下降了，水面的宽度增加多少？
25.本小题10分
超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元市场管理部门规定，该玩具每件利润不能超过60元，每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件．
请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围．
当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
26.本小题10分
已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，
求抛物线的解析式；
若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27.本小题9分
如图1，在中，，，D为BC边上一点不与点B，C重合，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接EC，则：
①的度数是______；
②线段AC，CD，CE之间的数量关系是______.
拓展探究：
如图2，在中，，，D为BC边上一点不与点B，C重合，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接EC，请写出的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由已知方程得到：，则它的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，，
故选：
要确定二次项系数，一次项系数，常数项，首先要把方程化成一般形式．
本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2.【答案】C
【解析】解：由原方程移项，得
，
方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方1，得
故选：
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3.【答案】B
【解析】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故正确；
C、是中心对称图形．故错误；
D、是中心对称图形．故错误．
故选：
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】B
【解析】解：二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，得出：，即；
得到顶点坐标为
故选
利用平移规律左加右减，上加下减即可求得平移后的顶点坐标．
题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当时，x的取值范围，本题得以解决．
【解答】
解：由图象可知，
当时，x的取值范围是或，
故选：
6.【答案】A
【解析】[分析]
根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
本题考查了中心对称图形知识，根据中心对称的性质得到相关数据是本题的解题关键.
[详解]
解：根据题意观察图形可知，
长方形的面积，
再根据中心对称的性质得：图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，
则图中阴影部分的面积
故选
7.【答案】C
【解析】解：二次函数图象的对称轴为直线，
而点到直线的距离最小，点到直线的距离最大，
所以
故选：
先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
8.【答案】B
【解析】解：设月平均增长的百分率是x，则该企业二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
依题意，得
故选：
设月平均增长的百分率是x，则该企业二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，根据该企业第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：①当时，，
、b是关于x的一元二次方程的两根，
，
不符合；
同理，时，不符合题意；
②当时，
、b是关于x的一元二次方程的两根，
，
，
，
；
故选
分两种情况讨论，①当或时，②当时；结合根与系数的关系即可求解；
本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二次函数与一次函数的图象，用假设法来处理这种数形结合题是一种很好的方法．
可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】
解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标为
由于抛物线的顶点坐标为，由此即可求解．
【解答】
解：抛物线，
顶点坐标为：
故答案为：
12.【答案】1
【解析】解：根据题意得：且，
且，
，
故答案为：
根据一元二次方程的定义即可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，注意一元二次方程的一般形式为：
13.【答案】
【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
故
故答案为：
分析：
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
14.【答案】8
【解析】【分析】
本题主要考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键．
先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．
【解答】
解：解方程可得或，
的第三边为3或5，
但当第三边为5时，，不满足三角形三边关系，
的第三边长为3，
的周长为，
故答案为
15.【答案】
【解析】【分析】
设原正方形的边长为xm，则剩余的矩形空地长为，宽为根据矩形的面积公式方程可列出．
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握矩形的面积计算公式是解决问题的关键．
【解答】
解：设原正方形的边长为xm，则剩余的矩形空地长为，宽为，
依题意有：
故答案为：
16.【答案】且
【解析】解：抛物线与x轴有两个交点，
，，
，
，
故答案为：且
根据题意，令，得方程，有两个不同的根得，从而解出a的范围．
此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程有根说明函数与x轴有交点，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
17.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了阴影部分面积的求法，观察图形，将阴影部分的图形转化为与它相等的四边形或三角形是解题的关键．
过B作轴于C，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，然后求解即可．
【解答】
解：如图，过B作轴于C，
根据平移得：x轴上面的阴影部分的面积等于四边形OABC中空白部分的面积，
则对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积等于四边形OABC的面积，
，
点B是抛物线的顶点，
，
，，
四边形OABC为矩形，
，
即对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积等于4，
故答案为：
18.【答案】50
【解析】解：，，
，
由旋转的性质可知，，，，
，
，
故答案为：
根据三角形内角和定理求出，根据旋转变换的性质得到，，，计算即可．
本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．
19.【答案】②④
【解析】解：①由二次函数的图象可知，该函数图象开口向下，则；
对称轴在y轴的右侧，
该函数图象与y轴交于负半轴，则，
；
②由图象可知，当时，，
即；
③由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
则；
④由图象可知，对称轴为
综上，小于0的有②④．
故答案为：②④．
根据图象，结合二次函数的开口方向与a的关系、抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点位置、函数在时的函数值，及抛物线与x轴的交点个数等进行分析判断即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，数形结合，并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：四边形ABCD是正方形，，
正方形ABCD绕原点O顺时针旋转，旋转4次回到原位置，
…2，
当时，顶点A的坐标为，
故答案为：
正方形ABCD绕原点O顺时针旋转，旋转4次回到原位置，进而可以解决问题．
本题考查的是正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正方形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
21.【答案】解：，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，
【解析】利用因式分解法解方程；
先变形得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
22.【答案】解：将代入方程得，解得；
将代入方程得，
，，，
，
【解析】把代入已知方程得到关于a的一元一次方程，通过解该方程求得a的值即可；
把代入已知方程，利用公式法解方程．
本题考查了一元二次方程的解的定义和解一元二次方程--公式法，熟记求根公式即可解答一元二次方程．
23.【答案】解：如图，即为所求．
与关于原点O成中心对称，，，，
，，
如图，点P即为所求．
【解析】根据旋转的性质作图即可．
根据中心对称的性质可得出答案．
作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接AP，此时的值最小．
本题考查作图-旋转变换、轴对称-最短路线问题、中心对称，熟练掌握旋转、轴对称和中心对称的性质是解答本题的关键．
24.【答案】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为，
设顶点式，把A点坐标代入得，
抛物线解析式为，
当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，
所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度增加了2米．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
25.【答案】解：根据题意得，；
根据题意得，，
解得：，，
每件利润不能超过60元，
，
答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
根据题意得，，
，
当时，w随x的增大而增大，
当时，w最大，
答：当x为20时w最大，最大值是2400元．
【解析】根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；
根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润2250元”即可得到结论；
根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，w随x的增大而增大，于是得到结论．
本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
26.【答案】解：的坐标为，
，点C在x轴下方，
将，代入抛物线的解析式得：，解得：，，
抛物线的解析式为
如图1所示：过点D作，交AC于点
，，
设AC的解析式为
将、代入得：，解得：，，
直线AC的解析式为
设，则
，
当时，DE有最大值，最大值为
的最大面积
四边形ABCD的面积的最大值为
存在．
①如图2，过点C作轴交抛物线于点，过点作交x轴于点，此时四边形为平行四边形．
，令，
，
②平移直线AC交x轴于点，，交x轴上方的抛物线于点，，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形．
，
，的纵坐标均为
令得：，解得；，
，
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：，，
【解析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答时要注意进行分类讨论．
根据，，求出C点坐标，把点B，C的坐标代入，即可求出函数解析式；
过点D作轴分别交线段AC于点设，然后求出DE的表达式，把分解为，转化为二次函数求最值；
①过点C作轴交抛物线于点，过点作交x轴于点，此时四边形为平行四边形．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点，，由题意可知点、的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．
27.【答案】
【解析】解：①是等边三角形，
，，
由旋转知，，，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为；
②由知，≌，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；
结论：
理由：在中，，，
由旋转知，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
①先判断出，即可判断出≌，即可得出结论；
②由①得，≌，得出，即可得出结论；
先判断出，再同的方法判断出≌，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定，判断出是解本题的关键．