湖南省岳阳市湘阴县第一中学2023-2024学年高三下学期5月期中考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市湘阴县第一中学2023-2024学年高三下学期5月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z的共轭复数为z，且满足2z+z=-3+i，则z在复平面内的对应点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设a=(13)2，b=312，c=lg132则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. b>a>cD. c>b>a
3.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡五千四百人，西乡四千四百八十人，南乡五千二百四十人，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡有5400人，西乡有4480人，南乡有5240人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是( )
A. 102B. 112C. 130D. 136
4.下列选项中叙述正确的是 ( )
A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角B. 锐角是第一象限的角
C. 第二象限的角比第一象限的角大D. 终边不同的角同一三角函数值一定不相等
5.8.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数
的值为（）
A. 13B. 12C. 11D. 10
6.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x>y>z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且aA. ax+by+czB. az+by+cxC. ay+bz+cxD. ay+bx+cz
7.某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为( )
A. 24B. 10C. 16D. 12
8.设D= (x-a)2+ex-2 a2+a+1，其中e≈2.71828，则D的最小值为( )
A. 2B. 2+1C. 3D. 3+1
二、多选题：本题共3小题，共18分。
9.已知Z(A)表示集合A中整数元素的个数，若集合M={x|(x-9)(2x+1)<0}，集合N= {x|2x>1}，则
( )
A. Z(M)=9B. M∩N={x|0C. Z(M∩N)=9D. (∁RN)∪M={x|x<9}
10.在△ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a=2 3，b2+c2=24，下列选项正确的是( )
A. 若A=π3，则S=3 3B. S的最大值为3 3
C. AM=3D. 角A的最小值为π3
11.对于正整数n，φn是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数φn以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如φ9=6(1,2,4,5,7,8与9互质)，则( )
A. 若n为质数，则φn=n-1B. 数列φn单调递增
C. 数列nφ2n的最大值为1D. 数列φ3n为等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知定义域为R的偶函数，f(x)满足对任意的x∈R，有f(x+2)=f(x)-f(1)，且当，x∈[2,3]时，f(x)=-(x-2)2+1.若函数y=f(x)-a(x-1112)在(0,+∞)上恰有三个零点，则实数a的取值范围是______．
13.已知椭圆：x2a2+y25=1(a> 5)，M( 3, 6)，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，有MP1⋅MP2≥1恒成立，则实数a的取值范围是 ．
14.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线x24-y23=1,y=± 32x,y=±4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设数列{an}的前n项和为Sn，且an=12(Sn+2)．
(1)求数列{an}的通项公式an．
(2)设数列{bn}满足anbn=4n-3，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<5．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC/​/AD，AB⊥AD，△PBD为正三角形，且PA=2 3．
(Ⅰ)证明：直线AB⊥平面PBC；
(Ⅱ)若四棱锥P-ABCD的体积为2，E是线段CD的中点，求直线PE与平面△PBC所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=1+ln(x-1)x-a(a为常数)，x=2是函数f(x)的一个极值点．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)如果当x≥2时，不等式f(x)≥mx恒成立，求实数m的最大值；
(Ⅲ)求证：n-2(12+23+34+…+nn+1)18.(本小题17分)
已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，H为E上任意一点，且HF的最小值为1．
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知P为平面上一动点，且过P能向E作两条切线，切点为，M,N，记直线PM,PN,PF的斜率分别为k1,k2,k3，且满足1k1+1k2=2k3．
①求点P的轨迹方程；
②试探究：是否存在一个圆心为Q(0,λ)(λ>0),，半径为 ​1的圆，使得过P可以作圆Q的两条切线l1,l2，切线l1,l2分别交抛物线E于不同的两点A(s1,t1),B(s2,t2)和点C(s3,t3),D(s4,t4)，且s1s2s3s4为定值？若存在，求圆Q的方程，不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况．
经计算可得：y=110i=110yi=2.2，i=110tiyi=118.73，i=110ti2=385．
(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn，求Pn；
(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列Pnn∈N*．
①求Pn的最值；
②数列收敛的定义：已知数列an，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N0，使得当n>N0时，an-a<ε，(a是一个确定的实数)，则称数列an收敛于a.根据数列收敛的定义证明数列Pn收敛．
参考公式：b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiyi-nx⋅yi=1nxi2-nx2，a=y-bx．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.B
6.A
7.D
8.A
9.ABD
10.ABC
11.ACD
12.(13,43)
13.( 5,2 2]
14.32π
15.(1)解：依题意，由an=12(Sn+2)，可得Sn=2an-2，
当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得a1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1，
整理，得an=2an-1，(n≥2)，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2⋅2n-1=2n，n∈N*．
(2)证明：依题意及(1)，由anbn=4n-3可得
bn=4n-3an=4n-32n，
则Tn=b1+b2+b3+…+bn=121+522+923+…+4n-32n，
12Tn=122+523+…+4n-72n+4n-32n+1，
两式相减，可得
12Tn=12+422+423+…+42n-4n-32n+1
=12+(1+12+…+12n-2)-4n-32n+1
=12+1-12n-11-12-4n-32n+1
=52-4n+52n+1，
∴Tn=5-4n+52n<5，故得证．
16.(Ⅰ)证明：∵AB⊥AD，AB=AD=2，
∴BD=2 2，∵△PBD为正三角形，∴PB=PD=BD=2 2，
又∵AB=2，PA=2 3，∴AB⊥PB，又∵AB⊥AD，BC/​/AD，
∴AB⊥BC，PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC．
(Ⅱ)解：设点P到平面ABCD的距离为h，
∵四棱锥P-ABCD的体积为2，∴VP-ABCD=13×[12×(1+2)×2]×h=2，解得h=2．
以A为原点，直线AB、AD分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，则E(1,32,0)，
设P(x,y,2)，由PA=2 3，PB=PD=2 2，
可得x2+y2+4=12x2+(y-2)2+4=8(x-2)2+y2+4=8，解得x=2，y=2，即P(2,2,2).∴PE=(-1,-12,-2)，
又由(Ⅰ)可知，AB=(2,0,0)是平面PBC的一个法向量，
∴cs=-2 21=-2 2121，
∴直线PE与平面PBC所成角的正弦值为2 2121．
17.解：(Ⅰ)由题意得：f'(x)=x-ax-1-1-ln(x-1)(x-a)2，
∵x=2是函数f(x)的一个极值点，
∴f'(2)=0，解得：a=1，
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=1+ln(x-1)x-1，定义域为(1,+∞)，
∴问题等价于m≤x⋅1+ln(x-1)x-1在[2,+∞)上恒成立，
构造函数g(x)=x⋅1+ln(x-1)x-1，x≥2，
则g'(x)=x-1-ln(x-1)(x-1)2，
令h(x)=x-1-ln(x-1)，x≥2，
则h'(x)=x-2x-1，
∴x≥2时，h'(x)≥0，h(x)在[2,+∞)递增，
∴h(x)≥h(2)=1>0，
∴g'(x)>0，
∴g(x)在[2,+∞)递增，
∴g(x)min=g(2)=2，∴m≤2，
∴实数m的最大值为2；
(Ⅲ)由(Ⅱ)得：x≥2时，f(x)≥2x，即1+ln(x-1)x-1≥2x，
整理得ln(x-1)≥1-2x>1-2x-1，
令x-1=k+1k，则1-2x-1=1-2kk+1，
即lnk+1k>1-2kk+1，
k=1时，1-2×12k=2时，1-2×23…，
k=n时，1-2·nn+1将以上不等式两端分别相加得：
n-2(12+23+…+nn+1)即n-2(12+23+…+nn+1)18.解：(1)设抛物线 E 的准线 l:y=-p2 ，
H 为抛物线上任意一点过 H 作 HH1⊥l 于点 H1 ，
由抛物线的定义得： HF=HH1 ，
所以当 H 与原点 O 重合时， HH1min=p2=1 ，所以 p=2 ，
所以抛物线 E 的方程为 x2=4y；
(2)①设 P(m.n) ，过点 P 且斜率存在的直线 l:y=k(x-m)+n,
联立 x2=4yy=k(x-m)+n ，消去 y ，整理得： x2-4kx+4km-4n=0.(*)
由题可知 Δ=16k2-4(4km-4n)=0,即k2-mk+n=0.
k1,k2 是该方程的两个不等实根，由韦达定理， k1+k2=mk1k2=n ，
又 ∵F(0,1),∴k3=n-1m,m≠0 ，
由 1k1+1k2=2k3 ，有 k1+k2k1k2=2k3,∴mn=2mn-1 ，
因为 ∵m≠0,∴n-1=2n,∴n=-1 ，
所以点 P 的轨迹方程为 y=-1(x≠0)；
②由(2)①知 P(m,-1),
设 l1:y=k4(x-m)-1,l2:y=k5(x-m)-1,m≠±1且m≠0.
所以 (*) 式即为 x2-4k4x+4k4m+4=0.
又 A(s1,t1),B(s2,t2),C(s3,t3),D(s4,t4),
由韦达定理， s1s2=4k4m+4,s3s4=4k5m+4 ，
所以 s1s2s3s4=4k4m+44k5m+4=16k4k5m2+16m(k4+k5)+16，
又因为 l1 和以圆心为 Q(0,λ)(λ>0), 半径为1的圆相切，
所以 k4(0-m)-1-λ 1+k 42=1, 即 m2-1k 42+2m(λ+1)k4+λ2+2λ=0.
同理 m2-1k 52+2m(λ+1)k5+λ2+2λ=0.
所以 k4,k5 分别是方程 m2-1k2+2m(λ+1)k+λ2+2λ=0 的两个根，
所以由韦达定理， k4+k5=-2m(λ+1)m2-1k4k5=λ2+2λm2-1,
所以 s1s2s3s4=16k4k5m2+16m(k4+k5)+16=16m2m2-1(λ2+2λ-2λ-2)+16=16m2m2-1(λ2-2)+16 ，
若 s1s2s3s4 为定值，则 λ 2-2=0，
又∵λ>0，∴λ= 2，
所以圆 Q 的方程是x2+y- 22=1．

19.解：(1)剔除第10天数据的 (y)新=19i=19yi=2.2×10-0.49=2.4 ，
(t)新=1+2+3+4+5+6+7+8+99=5 ，
(∑9i=1tiyi)新=118.73-10×0.4=114.73 ， (∑9i=1ti2)新=385-102=285 ，
所以 b=(∑9i=1xiyi)新-9(t)新⋅(y)新(∑9i=1ti2)新-9(t)新2=114.73-9×5×2.4285-9×52=6736000 ，
故 a=2.4-6736000×5=22071200 ，所以 y=6736000t+22071200 ．
(2)由题意可知 Pn=14Pn-1+34Pn-2(n⩾3) ，
其中 P1=14,P2=14×14+34=1316 ，
所以 Pn+34Pn-1=Pn-1+34Pn-2(n⩾3) ，
又 P2+34P1=1316+34×14=1 ，
所以 Pn+34Pn-1 是首项为 1 的常数列，故 Pn+34Pn-1=1(n⩾2) ，
所以 Pn-47=-34(Pn-1-47)(n⩾2) ，又 P1-47=14-47=-928 ，
所以 Pn-47 是以首项为 -928 ，公比为 -34 的等比数列，
故 Pn-47=-928⋅-34n-1 ，即 Pn=-928⋅(-34)n-1+47=47+37⋅(-34)n；
(3)①当 n 为偶数时， Pn=47+37⋅-34n=47+37⋅34n>47 单调递减，最大值为 P2=1316 ；
当 n 为奇数时， Pn=47+37⋅-34n=47-37⋅34n<47 单调递增，最小值为 P1=14 ；
综上：数列 Pn 的最大值为 1316 ，最小值为 14；
②证明：对任意 ε>0 总存在正整数 N0=lg3473ε+1 ，(其中 [x] 表示取整函数)，
当 n>lg3473ε+1 时， Pn-47=37⋅-34n=37⋅34n<37⋅34lg3473ε=ε ，
所以数列 Pn 收敛．
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y(千张)
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4