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2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.1 直线的方程(学生版+解析)
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考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴作为基准,____________与直线l________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为______________________.
2.直线的斜率
(1)定义:把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=________(α≠90°).
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=____________________.
3.直线方程的五种形式
常用结论
1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀:“斜率变化分两段,90°是分界线;
遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”.
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )
(2)直线的斜率越大,倾斜角就越大.( )
(3)若直线的倾斜角为α,则斜率为tan α.( )
(4)直线y=kx-2恒过定点(0,-2).( )
教材改编题
1.已知点A(2,0),B(3,eq \r(3)),则直线AB的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.已知直线l过点(1,1),且倾斜角为90°,则直线l的方程为( )
A.x+y=1 B.x-y=1
C.y=1 D.x=1
3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)若直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,eq \r(3))为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[-eq \r(3),1]
B.(-∞,-eq \r(3)]∪[1,+∞)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),3),1))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(\r(3),3)))∪[1,+∞)
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(2)直线2xcs α-y-3=0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(2π,3)))
听课记录:____________________________________________________________________
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思维升华 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))两种情况讨论.
跟踪训练1 (1)(2023·温州模拟)直线x+(m2+1)y+m2=0(m∈R)的倾斜角的最小值是________.
(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______,________.
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程:
(1)直线过点A(-1,-3),且斜率为-eq \f(1,4);
(2)直线过点(2,1),且横截距为纵截距的两倍;
(3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5.
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思维升华 求直线方程的两种方法
(1)直接法:由题意确定出直线方程的适当形式.
(2)待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数.
跟踪训练2 (1)在△ABC中,已知点A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,则MN所在直线的方程为( )
A.5x-2y-5=0 B.2x-5y-5=0
C.5x-2y+5=0 D.2x-5y+5=0
(2)已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M逆时针旋转45°,得到的直线方程是( )
A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程.
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延伸探究
1.在本例条件下,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
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2.本例中,当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线l的方程.
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思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题:一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
跟踪训练3 (1)直线l的方程为(a+1)x+y+3-a=0(a∈R),直线l过定点________,若直线l不经过第三象限,则实数a的取值范围是________.
(2)已知直线l过点M(1,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,则直线l的方程为________.名称
方程
适用范围
点斜式
不含直线x=x0
斜截式
不含垂直于x轴的直线
两点式
不含直线x=x1 和直线y=y1
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
α
0°
0°
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