2024年高考数学第一轮复习讲义第十三章13.2　参数方程(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第十三章13.2　参数方程(学生版+解析)，共16页。

知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程．
(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过________________而从参数方程得到普通方程．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是参数t的函数．( )
(2)方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝1＋2sin θ))(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )
(3)已知椭圆的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝4sin t))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq \f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq \r(3).( )
(4)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝5sin θ))(θ为参数且θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))))表示的曲线为椭圆．( )
教材改编题
1．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－t，,y＝2＋3t)) (t为参数) 的图象是( )
A．离散的点 B．抛物线
C．圆 D．直线
2．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝2sin θ)) (θ为参数)化为普通方程为( )
A．x2＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋eq \f(y2,2)＝1
C．y2＋eq \f(x2,4)＝1 D．y2＋eq \f(x2,2)＝1
3．已知直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(3)，则直线l的斜率为________．
题型一 参数方程与普通方程的互化
例1 已知曲线C1，C2的参数方程为C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋cs θ，,y＝1＋sin θ)) (θ为参数)，C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
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(2)若点P是曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最小值．
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思维升华 消去方程中的参数一般有三种方法
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．
(2)利用三角恒等式消去参数．
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．
跟踪训练1 (2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)))(t为参数)，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2＋s,6)，,y＝－\r(s)))(s为参数)．
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cs θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
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题型二 参数方程的应用
例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,λ)))，,y＝\f(\r(3),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,λ))))) (λ为参数)．
(1)求曲线C的普通方程；
(2)已知点M(2,0)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝t))(t为参数)，且直线l与曲线C交于A，B两点，求eq \f(1,|MA|)＋eq \f(1,|MB|)的值．
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思维升华 (1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决．
(2)对于形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
跟踪训练2 (2022·萍乡模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)，以直角坐标的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若A，B是曲线C上的两点，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，求|eq \(AB,\s\up6(→))|的最小值．
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题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用
例3 (2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs 2t，,y＝2sin t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
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思维升华 解决参数方程和极坐标的综合问题的方法
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋cs α，,y＝－1＋sin α)) (α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C1的极坐标方程是ρcs θ－3＝0，点P是曲线C2上的动点．
(1)求点P到曲线C1的距离的最大值；
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(2)若曲线C3：θ＝eq \f(π,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ∈R))交曲线C2于A，B两点，求△ABC2的面积．
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________________________________________________________________________点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α·(x－x0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))
圆
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rcs θ，,y＝rsin θ))(θ为参数)
椭圆
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
双曲线
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝asec φ，,y＝btan φ))(φ为参数)
抛物线
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)
§13.2 参数方程
考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程．
(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是参数t的函数．( √ )
(2)方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝1＋2sin θ))(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )
(3)已知椭圆的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝4sin t))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq \f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq \r(3).( × )
(4)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝5sin θ))(θ为参数且θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))))表示的曲线为椭圆．( × )
教材改编题
1．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－t，,y＝2＋3t)) (t为参数) 的图象是( )
A．离散的点 B．抛物线
C．圆 D．直线
答案 D
解析 参数方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))消去参数t，
可得3x＋y＋1＝0，
所以该参数方程的图象为直线．
2．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝2sin θ)) (θ为参数)化为普通方程为( )
A．x2＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋eq \f(y2,2)＝1
C．y2＋eq \f(x2,4)＝1 D．y2＋eq \f(x2,2)＝1
答案 A
解析 易知cs θ＝x，sin θ＝eq \f(y,2)，
则参数方程化成普通方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1.
3．已知直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(3)，则直线l的斜率为________．
答案 ±eq \f(\r(15),15)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，
得y＝xtan α，
设k＝tan α，得直线l的方程为y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1，
则圆心到直线y＝kx的距离为
eq \r(12－\f(|AB|2,4))＝eq \f(1,2)＝eq \f(|2k|,\r(k2＋1))，
得k＝±eq \f(\r(15),15).
题型一 参数方程与普通方程的互化
例1 已知曲线C1，C2的参数方程为C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋cs θ，,y＝1＋sin θ)) (θ为参数)，C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)若点P是曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最小值．
解 (1)已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋cs θ，,y＝1＋sin θ)) (θ为参数)，
化为普通方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－1))2＝1.
曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－t，,y＝\r(3)t))(t为参数)，
化为普通方程为eq \r(3)x＋y＝0.
所以C1的普通方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－1))2＝1，
C2的普通方程为eq \r(3)x＋y＝0.
(2)由(1)知C1是以(eq \r(3)，1)为圆心，1为半径的圆，C2为直线，
所以圆心C1(eq \r(3)，1)到直线C2的距离
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)×\r(3)＋1)),2)＝2，
所以点P到C2的距离的最小值为2－1＝1.
所以点P到C2的距离的最小值为1.
思维升华 消去方程中的参数一般有三种方法
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．
(2)利用三角恒等式消去参数．
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．
跟踪训练1 (2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)))(t为参数)，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2＋s,6)，,y＝－\r(s)))(s为参数)．
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cs θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
解 (1)由y＝eq \r(t)，得t＝y2(y≥0)，
代入x＝eq \f(2＋t,6)，
可得x＝eq \f(2＋y2,6)，即y2＝6x－2(y≥0)，
所以曲线C1的普通方程为
y2＝6x－2(y≥0)．
(2)曲线C3的极坐标方程可化为
2ρcs θ－ρsin θ＝0，
所以C3的直角坐标方程为y＝2x.
由y＝－eq \r(s)，得s＝y2(y≤0)，
代入x＝－eq \f(2＋s,6)，
可得x＝－eq \f(2＋y2,6)，即y2＝－6x－2(y≤0)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝6x－2y≥0，,y＝2x，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))
所以C3与C1交点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，(1,2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝－6x－2y≤0，,y＝2x，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2，))
所以C3与C2交点的直角坐标为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1))，(－1，－2)．
题型二 参数方程的应用
例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,λ)))，,y＝\f(\r(3),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,λ))))) (λ为参数)．
(1)求曲线C的普通方程；
(2)已知点M(2,0)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝t))(t为参数)，且直线l与曲线C交于A，B两点，求eq \f(1,|MA|)＋eq \f(1,|MB|)的值．
解 (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ2＋2＋\f(1,λ2)))，,y2＝\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ2－2＋\f(1,λ2)))，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x2－2＝λ2＋\f(1,λ2)，,\f(4,3)y2＋2＝λ2＋\f(1,λ2)，))
两式相减，可得曲线C的普通方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)直线l的方程可转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t，))
代入x2－eq \f(y2,3)＝1，
得t2＋6eq \r(2)t＋9＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t1＋t2＝－6\r(2)，,t1·t2＝9，))
所以eq \f(1,|MA|)＋eq \f(1,|MB|)＝eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(t1)))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(t2)))＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t1＋t2)),t1t2)＝eq \f(2\r(2),3).
思维升华 (1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决．
(2)对于形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
跟踪训练2 (2023·榆林模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)，以直角坐标的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若A，B是曲线C上的两点，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，求|eq \(AB,\s\up6(→))|的最小值．
解 (1)在曲线C的参数方程中，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝2t，,2x－y＝\f(2,t)，))两式相乘得C的普通方程为4x2－y2＝4，故曲线C的极坐标方程为4ρ2cs2θ－ρ2sin2θ＝4，即ρ2＝eq \f(4,4cs2θ－sin2θ).
(2)因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
所以可设A(ρA，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρB，θ±\f(π,2)))，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))))2＝ρeq \\al(2,A)＋ρeq \\al(2,B)
＝eq \f(4,4cs2θ－sin2θ)＋eq \f(4,4cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ±\f(π,2)))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ±\f(π,2))))
＝eq \f(4,4cs2θ－sin2θ)＋eq \f(4,4sin2θ－cs2θ)
＝eq \f(4,5cs2θ－1)＋eq \f(4,5sin2θ－1)
＝eq \f(12,5cs2θ－15sin2θ－1)＝eq \f(12,25sin2θcs2θ－4)
＝eq \f(12,\f(25,4)sin22θ－4)≥eq \f(12,\f(25,4)－4)＝eq \f(16,3)，
当且仅当sin22θ＝1时，等号成立，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(4\r(3),3).
题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用
例3 (2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs 2t，,y＝2sin t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
解 (1)直线l的极坐标方程为
ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0，
即ρsin θ＋eq \r(3)ρcs θ＋2m＝0，
根据eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))
得l的直角坐标方程为eq \r(3)x＋y＋2m＝0.
(2)曲线C的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs 2t，,y＝2sin t))(t为参数)，
将sin t＝eq \f(y,2)代入x＝eq \r(3)cs 2t＝eq \r(3)(1－2sin2t)，
得曲线C的普通方程为
y2＝－eq \f(2\r(3),3)x＋2(－2≤y≤2)．
联立直线l与曲线C的方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋y＋2m＝0，,y2＝－\f(2\r(3),3)x＋2－2≤y≤2，))
消去x并整理得
3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2)．
方法一 若直线l与曲线C有公共点，
则Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，
且3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0，
所以－eq \f(19,12)≤m≤eq \f(5,2)，
即m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(19,12)，\f(5,2))).
方法二 所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2)，
因为3y2－2y－6＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2－\f(2,3)y))－6
＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,3)))2－eq \f(19,3)，
所以当－2≤y≤2时，
－eq \f(19,3)≤3y2－2y－6≤10，
即－eq \f(19,3)≤4m≤10，
则－eq \f(19,12)≤m≤eq \f(5,2)，
即m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(19,12)，\f(5,2))).
思维升华 解决参数方程和极坐标的综合问题的方法
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋cs α，,y＝－1＋sin α)) (α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C1的极坐标方程是ρcs θ－3＝0，点P是曲线C2上的动点．
(1)求点P到曲线C1的距离的最大值；
(2)若曲线C3：θ＝eq \f(π,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ∈R))交曲线C2于A，B两点，求△ABC2的面积．
解 (1)由曲线C2的参数方程，得其普通方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1，
表示以(－2，－1)为圆心，以1为半径的圆．
由曲线C1的极坐标方程，得其直角坐标方程为x＝3.
则圆心C2到直线x＝3的距离d＝2＋3＝5，
所以点P到曲线C1的距离的最大值dmax＝1＋d＝6.
(2)由曲线C3：θ＝eq \f(π,4)，得其直角坐标方程为y＝x，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋22＋y＋12＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－1，,y1＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－2，,y2＝－2，))
∴|AB|＝eq \r(－1＋22＋－1＋22)＝eq \r(2)，
圆心C2到直线AB的距离d1＝eq \f(|－2＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴△ABC2的面积S＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).
课时精练
1．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋3cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs \f(π,3)，,y＝6＋tsin \f(π,3)))(t为参数)．
(1)判断直线l和圆C的位置关系，并说明理由；
(2)设P是圆C上一动点，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，0))，若点P到直线l的距离为eq \f(3\r(3),2)，求eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))的值．
解 (1)圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋3cs θ，,y＝3sin θ)) (θ为参数)，消去θ得圆C的普通方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心C的坐标为(3,0)，半径为3.
直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs \f(π,3)，,y＝6＋tsin \f(π,3)))(t为参数)，消去t得直线l的普通方程为eq \r(3)x－y＋6＝0.
∵圆心C到直线l的距离d＝eq \f(3\r(3)＋6,2)>3，
∴直线l和圆C相离．
(2)设P(3＋3cs θ，3sin θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2π))))，
由点P到直线l的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\r(3)cs θ－3sin θ＋6＋3\r(3))),2)＝eq \f(3\r(3),2)，
得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＋2＋\r(3)))＝eq \r(3)，
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝－1.
∴eq \f(π,6)＋θ＝π，则θ＝eq \f(5π,6)，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))， eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，
∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝－eq \f(3\r(3),2).
2．(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为C(2,1)，半径为1.
(1)写出圆C的一个参数方程；
(2)过点F(4,1)作圆C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
解 (1)因为圆C的圆心为(2,1)，半径为1，所以圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs θ，,y＝1＋sin θ))(θ为参数)．
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时圆心到直线的距离为2>r，不符合题意，舍去；
当直线斜率存在时，设切线为y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，
故eq \f(|2k－1－4k＋1|,\r(1＋k2))＝1，即|2k|＝eq \r(1＋k2)，
解得k＝±eq \f(\r(3),3).
故切线方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－4)＋1或y＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)＋1.
这两条切线的极坐标方程为
ρsin θ＝eq \f(\r(3),3)ρcs θ－eq \f(4\r(3),3)＋1或
ρsin θ＝－eq \f(\r(3),3)ρcs θ＋eq \f(4\r(3),3)＋1.
即ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(5π,6)))＝2－eq \f(\r(3),2)或ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝2＋eq \f(\r(3),2).
3．(2020·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2－t－t2，,y＝2－3t＋t2))(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点．
(1)求|AB|；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
解 (1)令x＝0，则t2＋t－2＝0，
解得t＝－2或t＝1(舍去)，
则y＝2＋6＋4＝12，即A(0,12)．
令y＝0，则t2－3t＋2＝0，
解得t＝2或t＝1(舍去)，
则x＝2－2－4＝－4，
即B(－4,0)．
所以|AB|＝eq \r(0＋42＋12－02)＝4eq \r(10).
(2)由(1)可知kAB＝eq \f(12－0,0－－4)＝3，
则直线AB的方程为y＝3(x＋4)，
即3x－y＋12＝0.
由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ可得，
直线AB的极坐标方程为3ρcs θ－ρsin θ＋12＝0.
4．已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝\r(3)t))(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝eq \f(2,1－sin θ).
(1)求曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；
(2)设曲线C1，C2的交点为A，B，求|AB|的值．
解 (1)因为曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝\r(3)t)) (t为参数)，
所以曲线C1的普通方程为eq \r(3)x－y＝0.
因为曲线C2的极坐标方程为ρ＝eq \f(2,1－sin θ)，
即ρ－ρsin θ＝2，
故eq \r(x2＋y2)－y＝2，
即x2＋y2＝(y＋2)2(y≥－2)，
整理得x2＝4y＋4.
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＝4y＋4.
(2)因为曲线C1的直角坐标方程为eq \r(3)x－y＝0，
所以曲线C1的极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)，
令θ＝eq \f(π,3)，则ρA＝eq \f(2,1－sin \f(π,3))＝eq \f(4,2－\r(3))，令θ＝eq \f(4π,3)，
则ρB＝eq \f(2,1－sin \f(4π,3))＝eq \f(4,2＋\r(3))，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(4,2－\r(3))＋eq \f(4,2＋\r(3))＝16.
5．(2022·萍乡模拟)在平面直角坐标系中，P为曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝sin α))(α为参数)上的动点，将P点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)得到Q点，记Q点的轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)若A，B是曲线C2上异于极点的两点，且∠AOB＝eq \f(π,6)，求|OA|－eq \r(3)|OB|的取值范围．
解 (1)将曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝sin α))化为普通方程为eq \f(x－22,4)＋y2＝1，①
设P点坐标为(x，y)，Q点坐标为(x′，y′)，
则有x′＝eq \f(x,2)，y′＝y，
代入①中消去x，y得(x′－1)2＋y′2＝1，
即C2的直角坐标方程为x′2＋y′2＝2x′，
∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
(2)设A(ρ1，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ＋\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,3)))))，
∴|OA|－eq \r(3)|OB|＝ρ1－eq \r(3)ρ2
＝2cs θ－2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))
＝eq \r(3)sin θ－cs θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))，
∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,3)))，
∴θ－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，\f(π,6)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，
∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))∈[－2,1)，
∴|OA|－eq \r(3)|OB|的取值范围是[－2,1)．点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α·(x－x0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rcs θ，,y＝rsin θ))(θ为参数)
椭圆
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))( φ为参数)
双曲线
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝asec φ，,y＝btan φ))(φ为参数)
抛物线
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)