2024年高中数学(必修第一册)2.2基本不等式精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)2.2基本不等式精品讲义(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了误解分析等内容，欢迎下载使用。
1 基本不等式
若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.
② 基本不等式的几何证明
(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2 基本不等式及其变形
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)
(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① a+b≥2ab，积定求和；
② ab≤a+b22，和定求积：
③ a2+b2≥a+b22 (联系了a+b与平方和a2+b2)
④ ab≤a2+b22 (联系了ab与平方和a2+b2)
3 对勾函数
① 概念 形如y=x+ax(a>0)的函数.
② 图像
③ 性质
函数图像关于原点对称，
在第一象限中，当00时，x=a时取到最小值ymin=2a，
其与基本不等式x+ax≥2x∙ax=2a (x=a时取到最小值)是一致的.
【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解
情况1 一正：a>0 , b>0
求函数y=x+1x(x1)的最值.
情况3 三等：取到等号
求函数y=x2+5x2+4的最值.
【题型二】基本不等式运用的常见方法
方法1 直接法
【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x ( )
A．都大于4B．至少有一个大于4
C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4
【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有( )
① (x+1x)(y+1y)≥4； ② (x+y)(1x+1y)≥4；
③ x2+9x2+5≥4； ④ x+y+2xy≥4；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典题3】已知实数a，b满足ab>0，则aa+b−aa+2b的最大值为 .
方法2 凑项法
【典题1】若x>1，则函数y=4x+1x−1的最小值为 .
【典题2】若x>1，则2x+9x+1+1x−1的最小值是 ．
【典题3】设a>b>0，则ab+4b2+1b(a−b)的最小值是 ．
方法3 凑系数
【典题1】若00，x+y=2，则x+y的最大值是 ．
【典题2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2，则x+2y的最小值是 ．
【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a−2+1b的最小值为 ．

方法5 换元法
【典题1】若x>1，则y=x−1x2+x−1的最大值为 .
【典题1】若a,b∈R∗，a+b=1，则a+12+b+12的最大值 .
【典题2】设a、b是正实数，且a+2b=2，则a2a+1+4b22b+1的最小值是 .
方法6 不等式法
【典题1】已知a ,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a+b的取值范围是 .

【典题2】 已知2a+b+2ab=3，a>0，b>0，则2a+b的取值范围是 .
巩固练习
1 (★★) 已知a+b+c=2，则ab+bc+ca与2的比较 ．
2 (★★) 已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，则xy的最大值为 ．
3 (★★) 若x，y∈R+，且3x+1y=5，则3x+4y的最小值是 ．
4 (★★) 函数y=x2+x−5x−2(x>2)的最小值为 ．
5(★★) 已知实数a、b ,ab>0，则aba2+b2+a2b2+4的最大值为 ．
6 (★★) [多选题]下列说法正确的是( )
A．x+1x(x>0)的最小值是2 B．x2+2x2+2的最小值是2
C．x2+5x2+4的最小值是2 D．2−3x−4x的最大值是2−43
7 (★★★) [多选题]设a>0，b>0，且a+2b=4，则下列结论正确的是( )
A．1a+1b的最小值为2B．2a+1b的最小值为2
C．1a+2b的最小值为94D．ba+1+ab+1>87恒成立
8(★★★)若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有( )
A．mn的最小值为18B．1m+1n的最小值为42
C．2m+1+9n+2的最小值为5D．4m2+n2的最小值为12
9 (★★★) 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a+2b2+4b的最小值为 ．
10 (★★★) 若正数x、y满足x+4y−xy=0，则4x+y的最大值为 ．
11 (★★★) 已知0－2，且满足2a+b=1，则2a2+1a+b2−2b+2的最小值是 ．
15 (★★★★) 已知x>0，y>0，则2xyx2+8y2+xyx2+2y2的最大值是 ．
16 (★★★★) 设实数x,y满足x24−y2=1，则3x2−2xy的最小值是 .
挑战学霸
方程x2018+11+x2+x4+…+x2016=2018x2017的实数解的个数为 ．

基本不等式
1 基本不等式
若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.
② 基本不等式的几何证明
(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2 基本不等式及其变形
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)
(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① a+b≥2ab，积定求和；
② ab≤a+b22，和定求积：
③ a2+b2≥a+b22 (联系了a+b与平方和a2+b2)
④ ab≤a2+b22 (联系了ab与平方和a2+b2)
3 对勾函数
① 概念 形如y=x+ax(a>0)的函数.
② 图像
③ 性质
函数图像关于原点对称，
在第一象限中，当00时，x=a时取到最小值ymin=2a，
其与基本不等式x+ax≥2x∙ax=2a (x=a时取到最小值)是一致的.
【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解
情况1 一正：a>0 , b>0
求函数y=x+1x(x0,b>0的前提条件！
【正解】∵x0 ,−1x>0，
∴−x+−1x≥2−x∙−1x=2 (当x=−1取到等号)
∴x+1x=−−x−1x≤−2，
故函数y=x+1x(x1)的最值.
【误解】y=x+1x−1≥2x∙1x−1
【误解分析】套用基本不等式a=x ,b=1x−1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x∙1x−1不是一定值.
【正解】y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2x−1∙1x−1+1=3.(当x=2时取到等号)
(通过凑项得到定值“x−1∙1x−1=1”)
故函数y=x+1x−1(x>1)的最小值为2，没有最大值.
情况3 三等：取到等号
求函数y=x2+5x2+4的最值.
【误解】y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2x2+4∙1x2+4=2，即最小值为2.
【误解分析】在误解中把a=x2+4 ,b=1x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则x2+4=1x2+4⇒x2+4=1⇒x2=−3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明x2+4+1x2+4>2，那它有最小值么？
【正解】y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t≥2，
因为对勾函数y=t+1t在[2 , +∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.
故y=x2+5x2+4的最小值为52，无最大值.
【题型二】基本不等式运用的常见方法
方法1 直接法
【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x ( )
A．都大于4B．至少有一个大于4
C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4
【解析】假设三个数1x+4y0，∴x+1x≥2,y+1y≥2，当x=y=1时取到"="，所以①成立，
x+y1x+1y=2+xy+yx≥4，当x=y时取到"="，显然②成立，
x2+5+4x2+5=x2+5+4x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，
x+y+2xy≥2xy+2xy≥4，当x=y=1时成立，
故正确的有三个，故选：C．
【点拨】
① 直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"a ,b".
② 连等问题
本题中④ x+y+2xy≥2xy+2xy≥4，当x=y=1时成立，
这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到，
x+y≥2xy是当x=y时取到等号，2xy+2xy≥4是当xy=1时取到等号，
即要同时满足方程组x=yxy=1 (∗)才行，而方程组(∗)有解x=y=1，
即x+y+2xy≥4是成立的，当x=y=1取到等号.
再看一例子：设x,y∈R∗,x+y=1，求(x+1x)(y+1y)的最小值.
误解1：∵x+1x≥2 , y+1y≥2，∴x+1xy+1y≥4.
误解2：∵x+1xy+1y=xy+1xy+xy+yx≥2xy∙1xy+2xy∙yx=4.
以上两种解法问题在哪里呢？
【典题3】已知实数a，b满足ab>0，则aa+b−aa+2b的最大值为 .
【解析】aa+b−aa+2b=aa+2b−a−ba+ba+2b=aba2+3ab+2b2=1ab+2ba+3 (分子、分母均为二次项同除ab)
∵ab>0 ∴ab+2ba≥22，当且仅当ab=2ba⇒a=2b时取等号，
∴1ab+2ba+3≤122+3=3−22，故最大值为3−22．
【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x与1x，ab与2ba，2xy与2xy之类的.
方法2 凑项法
【典题1】若x>1，则函数y=4x+1x−1的最小值为 .
【解析】y=4x+1x−1=4x−1+1x−1+4≥24+4=8，当且仅当x=32时取等号．
∴函数y=4x+1x−1的最小值为8．
【点拨】把4x凑项成4x−1，目的是使得4x−1与1x−1的乘积为定值.
【典题2】若x>1，则2x+9x+1+1x−1的最小值是 ．
分析：2x、9x+1、1x−1三项都不能乘积为定值，而与9x+1、1x−1乘积为定值的分别是x+1与
x−1，而它们的和刚好是2x，故想到令2x=(x+1)+x−1，完成凑项.
【解析】
2x+9x+1+1x−1=x+1+9x+1+x−1+1x−1≥2(x+1)⋅9(x+1)+2(x−1)⋅(1x−1)=8
当且仅当x+1=3，x－1=1，即x=2时取等号，
(用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号)
故2x+9x+1+1x−1的最小值是8.
【典题3】设a>b>0，则ab+4b2+1b(a−b)的最小值是 ．
【解析】∵a>b>0 ∴a−b>0；
∴ab+4b2+1ba−b
=ab−b2+1b(a−b)+b2+4b2 (这里巧妙地"−b2+b2"完成凑项)
=ba−b+1ba−b+[b2+4b2]≥2b(a−b)×1b(a−b)+2b2×4b2=2+4=6．
当且即当b(a−b)=1b(a−b)且b2=4b2，即a=322, b=2 时取等号，
∴ab+4b2+1b(a−b)的最小值为6．
【点拨】凑项的目的是使得“ab为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到4b2、1b(a−b)的分母之和b2+ba−b=ab，刚好是所求式子的第三项ab.
方法3 凑系数
【典题1】若00，x+y=2，则x+y的最大值是 ．
【解析】∵x+1≥2x ,y+1≥2y (当x=y=1时取到等号)
(加“1” 巧妙的把x与x，y与y联系起来)
相加得x+y+2≥2x+2y
即2x+y≤4⇒x+y≤2，故最大值为2.
【典题2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2，则x+2y的最小值是 ．
【解析】∵2x+1y=2 ∴12 2x+1y=1
x+2y=(x+2y)∙1=12(x+2y)(2x+1y)=12(2+xy+4yx+2)≥12(4+2xy⋅4yx)=4，
当且仅当xy=4yx时，即x=2,y=1时等号成立，
故 x+2y的最小值为4.
【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧"1"法最简洁了！
【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a−2+1b的最小值为 ．
【解析】若a+b=3，则(a−2)+b=1，(凑项再利用巧"1"法)
则1a−2+1b=(1a−2+1b)×[(a－2)+b]=2+(ba−2+a−2b)，
又由a>2 , b>0，则ba−2+a−2b≥2ba−2∙a−2b=2，当a=52 , b=12时取到等号，
则1a−2+1b=2+(ba−2+a−2b)≥4，即1a−2+1b的最小值为4.
方法5 换元法
【典题1】若x>1，则y=x−1x2+x−1的最大值为 .
【解析】令t=x−1，则x=t+1，t>0，
原式=t(t+1)2+(t+1)−1=tt2+3t+1=1t+1t+3≤12t⋅1t+3=15，
当且仅当t=1即x=2时等号成立.
故y=x−1x2+x−1的最大值为15.
【点拨】本题是属于求函数y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.
【典题1】若a,b∈R∗，a+b=1，则a+12+b+12的最大值 .
【解析】设s=a+12 ,t=b+12，(遇到二次根式，用换元法达到去掉根号的目的)
则a=s2−12 , b=t2−12，
∵a+b=1 ∴s2+t2=2
(这相当已知s2+t2=2求s+t的最大值，想到算术均值≤平方和均值a+b2≤a2+b22)
∴s+t2≤s2+t22=1⇒s+t≤2
即a+12+b+12≤2，故最大值为2.
【点拨】
① 本题本来是“已知a+b=1求a+12+b+12的最大值 (1)”，通过换元法后变成
“已知s2+t2=2求s+t的最大值 (2)”.显然问题(2)比问题(1)看起来更舒服些，故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.
你说a+12+b+122≤a+122+b+1222=a+12+b+122=1⇒a+12+b+12≤2不更简洁？
是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路.
② 本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力！
【典题2】设a、b是正实数，且a+2b=2，则a2a+1+4b22b+1的最小值是 .
【解析】令a+1=s，2b+1=t，则a=s−1，2b=t−1；
由题意得s , t为正实数，且s−1+t−1=2⇒s+t=4；
∴a2a+1+4b22b+1=(s−1)2s+(t−1)2t=s+t−4+1s+1t=1s+1t
(以上纯是运算，没太大难度，作到这就相当于“已知s+t=4，求1s+1t最小值”，较易想到巧“1”法)
=14(1s+1t)(s+t)=14(2+ts+st)≥14(2+2ts⋅st)=1．
当且仅当s=t=2即a=1 , b=12取到等号，
即a2a+1+4b22b+1的最小值是1.
【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式，本题是分母“换元”，“宁愿分子复杂些，也想分母简单些”就这么朴素的想法！
方法6 不等式法
【典题1】已知a ,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a+b的取值范围是 .
分析：1+2ab=9a+b相当是“关于ab与a+b的方程”，而由基本不等式a+b≥2ab又确定了“关于ab与a+b的不等关系”，那用“消元思想”不就得到a+b的不等式么？！其范围就有了！
【解析】∵a ,b∈(0,+∞)，∴a+b≥2ab (∗)，
由1+2ab=9a+b得ab=2(a+b)9−(a+b)代入不等式(∗)可得a+b≥22a+b9−a+b ，
整理可得，a+b2－9(a+b)+8≤0，
解得1≤a+b≤8.

【典题2】 已知2a+b+2ab=3，a>0，b>0，则2a+b的取值范围是 .
【解析】∵a>0，b>0，∴00)的最小值是2 B．x2+2x2+2的最小值是2
C．x2+5x2+4的最小值是2 D．2−3x−4x的最大值是2−43
【答案】 AB
【解析】由基本不等式可知，x>0时，x+1x≥2，当且仅当x=1x即x=1时取等号，故A正确；
B：x2+2x2+2=x2+2≥2，当x=0时取得等号，故B正确；
C：x2+5x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t≥2，
因为y=t+1t在[2，+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52，故C错误；
D：2−(3x+4x)在x0，b>0，且a+2b=4，则下列结论正确的是( )
A．1a+1b的最小值为2B．2a+1b的最小值为2
C．1a+2b的最小值为94D．ba+1+ab+1>87恒成立
【答案】 BC
【解析】因为a>0，b>0，且a+2b=4，
对于A，1a+1b=14(1a+1b)(a+2b)=14(3+2ba+ab)≥14(3+22)，
当且仅当a=42−4，b=4−22时取等号，故选项A错误；
对于B，2a+1b=14(2a+1b)(a+2b)=14(4+4ba+ab)≥14(4+4)=2，
当且仅当a=2，b=1时取等号，故选项B正确；
对于C，1a+2b=14(1a+2b)(a+2b)=14(5+2ba+2ab)=14(5+4)=94，
当且仅当a=43，b=43时取等号，故选项C正确；
对于D，当a=43，b=43时，a+2b=4，但ba+1+ab+1=4343+1+4343+1=87，故选项D错误．
故选：BC．
8(★★★)若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有( )
A．mn的最小值为18B．1m+1n的最小值为42
C．2m+1+9n+2的最小值为5D．4m2+n2的最小值为12
【答案】 D
【解析】∵实数m，n>0，∴2m+n=1≥22mn，
整理得：mn≤18，当且仅当n=12m=14时取“=“，故选项A错误；
∵1m+1n=(2m+n)(1m+1n)=3+nm+2mn≥3+22，
当且仅当m=2−22n=2−1时取“=“，故选项B错误；
∵2m+n=1，∴2(m+1)+(n+2)=5，
∴2m+1+9n+2=152m+1+n+22m+1+9n+2
=1513+2n+2m+1+18m+1n+2≥15(13+236)=5，
当且仅当m=0n=1时取“=“，
∴2m+1+9n+2>5，故选项C错误；
∵2m+n=1，
∴1=2m+n2=4m2+n2+4mn=4m2+n2+24m2•n2≤2(4m2+n2)，
∴4m2+n2≥12，当且仅当n=12m=14时取“=“，故选项D正确，
故选：D．
9 (★★★) 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a+2b2+4b的最小值为 ．
【答案】 11
【解析】正实数a，b满足a+b=1，
则2a2+1a+2b2+4b=2a+2b+1a+4b=2+(1a+4b)(a+b)=7+ba+4ab≥7+4=11，
当且仅当ba=4ab且a+b=1即b=23，a=13时取等号，
10 (★★★) 若正数x、y满足x+4y−xy=0，则4x+y的最大值为 ．
【答案】 49
【解析】∵正数x、y满足x+4y−xy=0，
∴y=xx−4>0，解得x>4，
∴4x+y=4x+xx−4=4x+1+4x−4=4x−4+4x−4+5≤42(x−4)⋅4x−4+5=49，
当且仅当x－4=4x−4时等号成立，
∴4x+y的最大值为49．
11 (★★★) 已知01，故取a=32)，
∴aa−1+4bb−1的最小值为9；
14 (★★★★) 已知实数a>0，b>－2，且满足2a+b=1，则2a2+1a+b2−2b+2的最小值是 ．
【答案】 53
【解析】∵实数a>0，b>－2，且满足2a+b=1，
∴b+2>0，2a+(b+2)=3，
又∵2a2+1a+b2−2b+2=1a+2a+b−2+2bb+2=1a+1－2+2b+2=−1+1a+2b+2，
∴2a2+1a+b2−2b+2=−1+132a+b+21a+2b+2
=－1+13(b+2a+4ab+2+4)≥－1+13(24+4)=53，当且仅当a=34b=−12时取“=“，
故答案为：53．
15 (★★★★) 已知x>0，y>0，则2xyx2+8y2+xyx2+2y2的最大值是 ．
【答案】 23
【解析】2xyx2+8y2+xyx2+2y2=3x3y+12xy3x4+10x2y2+16y4
=3(xy+4yx)(xy)2+16(yx)2+10=3(xy+4yx)(xy+4yx)2+2=3(xy+4yx)+2xy+4yx，
令t=xy+4yx，则t≥2xy⋅4yx=4，
当且仅当x=2y时取等号，
∵函数y=t+2t，在[4，+∞)上单调递增，
∴y=t+2t的最小值为：92，
∴y=t+2t≥92，
∴3(xy+4yx)+2xy+4yx=3t+2t≤23．
∴2xyx2+8y2+xyx2+2y2的最大值为：23．
故答案为：23．
16 (★★★★) 设实数x,y满足x24−y2=1，则3x2−2xy的最小值是 .
【答案】 6+42
【解析】方法1 3x2−2xy=3x2−2xyx24−y2=3−2yx14−yx2
令t=yx，∵x24−y2=1 ∴x24−t2x2=1⇒t2=14−1x2