2024年高中数学(必修第一册)3.1函数的概念及其表示方法精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.1函数的概念及其表示方法精品讲义(学生版+解析)，共20页。学案主要包含了函数的概念等内容，欢迎下载使用。
一 函数的概念
1 概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x) , x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fxx∈A}叫做函数的值域．
2 定义域
① 概念 函数自变量x的取值范围.
② 求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.
3 值域
① 概念 函数值y的取值范围
② 求值域的方法
(1)配方法 (2)数形结合 (3) 换元法
(4)函数单调性法 (5)分离常数法 (6)基本不等式法
4 区间
实数集R表示为(−∞ , +∞).
二 函数的表示方法
1表格法
如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
2 图像法
如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
3 解析式
求函数解析式的方法
(1)配凑法 (2)待定系数法 (3)换元法 (4)构造方程组法 (5)代入法

【题型一】 函数概念的理解
【典题1】 设集合M={x|0≤x≤2} , N={y|0≤y≤2} , 给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是 ( )

【典题2】 给定的下列四个式子中，能确定y是x的函数的是( )
① x2+y2=1 ② |x－1|+y2−1=0
③ x−1+y−1=1 ④ y=x−2+1−x．
A．①B．②C．③D．④
【题型二】求函数的定义域
【典题1】 函数y=−x2+2x+3x的定义域是 .
【典题2】 下列各组函数中表示的函数不同的是 ( )
A．f(x)=x , g(x)=3x3 B．f(x)=x2 , g(x)=|x|
C．fx=x2−3x , gt=t2−3t D．f(x)=x2−4x−2 , g(x)=x+2
【典题3】 已知fx2−1定义域为[0 , 3]，求f(2x−1)的定义域.

【题型三】求函数的值域
方法1 配方法
【典题1】 求函数y=5x2−4x+1x2在区间x∈[14 , 1]的值域.
方法2 数形结合
【典题2】 求函数fx=2x−x2 , (0≤x≤3)x2+6x , (−2≤x≤0)的值域.
方法3 换元法
【典题3】 求函数fx=2x+1−x的值域.
【典题4】 函数f(x)=−9−x+(13)x−1+34在[−1 , +∞)上的值域为 ．
方法4 函数单调性法
【典题5】 函数f(x)=2x2−2x+3 , x∈[0 , 3]的值域为 .
方法5 分离常数法
【典题6】 求函数fx=2x2−1x2+1的值域.
方法6 基本不等式法(对勾函数法)
【典题7】 求函数f(x)=x2+4x+1x2+1(x≥0)的值域.
巩固练习
1(★) 函数y=f(x−1)与函数y=f(x+1) ( )
A．是同一个函数 B．定义域相同 C．图象重合 D．值域相同
2(★) 函数f(x)=−x2+4x+12+1x−4的定义域为 .
3(★★) 已知函数f(x+1)定义域为[1 , 4]，则函数f(x－1)的定义域为 .
4(★★) 函数y=2−−x2+4x的值域是为 .
5(★★) 函数y=x−1+x+1,(x≥1)的值域为 .
6(★★) 函数f(x)=x−1x+3(x≥1)的值域为 .
7(★★) 函数y=4x+2x+1+3的值域为 .
8(★★★) 求函数y=2x2−x+12x−1(x>12)的值域.
【题型四】分段函数
【典题1】设函数f(x)=x2+2 (x≤2)2x (x>2)，若f(x0)=8，则x0= ．
【典题２】已知函数f(x)=x2−6x+6 , x≥03x+4 , x0) , 求f(x)的解析式.
方法2 待定系数法
【典题２】已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0 , 且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)的解析式．
方法3换元法
【典题３】已知f(x+1)=x+2x , 求f(x+1).
方法4 构造方程组法
【典题４】设f(x)满足f(x)−2 f(1x)=x , 求f(x)的解析式.
方法5 代入法
【典题５】与函数y=x2−3x+2的图象关于点(0,1)对称的函数是 .
巩固练习
1(★) 已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x>0)，若f(a)=10，则a的值是 ．
2 (★★) 已知函数f(x)=(2a−1)x+7a−2(x